10.1.2 复数的几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

10．1.2　复数的几何意义 知识点一　复数与复平面内点的对应关系 1．复数1－2i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：复数1－2i在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．故选D. 2.如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为(　　) A．1＋i B．－1－i C．1－i D．－1＋i 答案：C 解析：由题图可知，＝(1，－1)，所以z在复平面内所对应的点为(1，－1)，则z＝1－i. 3．已知复数z＝2m＋(4－m2)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为A. (1)若点A位于虚轴上，求实数m的值； (2)若点A位于第一或第三象限，求实数m的取值范围． 解：(1)若点A位于虚轴上，则2m＝0，解得m＝0， ∴实数m的值为0. (2)若点A位于第一或第三象限， 则2m(4－m2)>0，即m(m＋2)(m－2)<0， 解得m<－2或0<m<2， ∴实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(0，2)． 知识点二　共轭复数 4．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(－2，－1)，则复数z的共轭复数＝(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2＋i D．2－i 答案：B 解析：依题意，z＝－2－i，所以复数z的共轭复数＝－2＋i. 知识点三　复数与复平面内向量的对应关系 5．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 答案：B 解析：因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以对应的复数为－2＋i.故选B. 6．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝________． 答案： 解析：因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以＝(4，3)，＝(2a，－3)．因为⊥，所以8a＝9，即a＝. 知识点四　复数的模 7．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　) A．z1>z2 B．z1<z2 C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2| 答案：D 解析：两个复数至少有一个为虚数时，不能比较大小，排除A，B；又|z1|＝，|z2|＝，所以|z1|<|z2|.故选D. 8．[多选]若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝(　　) A．1－2i B．－1－2i C．±1±2i D．1＋2i 答案：BD 解析：∵复数z对应的点在直线y＝2x上，∴可设z＝a＋2ai(a∈R)，∵|z|＝，∴＝，即|a|＝1，∴a＝±1，∴z＝1＋2i或z＝－1－2i.故选BD. 9．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________． 答案： 解析：|z|＝≤2，解得－≤m≤. 知识点五　复数几何意义的应用 10．复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若|z|≥1，0<a<2，0<b<2，求复数z对应的点的集合形成的图形的面积． 解：复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点的坐标为(a，b)， 因为|z|≥1，0<a<2，0<b<2， 所以a2＋b2≥1，0<a<2，0<b<2， 所以复数z对应的点的集合形成的图形如图中的阴影部分(不包括x，y轴上的点)： 所以复数z对应的点的集合形成的图形的面积S＝2×2－×π×12＝4－. 一、单选题 1．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1，3) D．(1，5) 答案：B 解析：|z|＝.∵0＜a＜2，∴0＜a2＜4.∴1＜＜，即1＜|z|＜.故选B. 2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 答案：A 解析：由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1.故选A. 3．向量＝(，1)按逆时针方向旋转60°后得到的向量所对应的复数为(　　) A．－＋i B．2i C．1＋i D．－1＋i 答案：B 解析：向量＝(，1)，设其方向与x轴正方向夹角为θ，tanθ＝＝，则θ＝30°，按逆时针方向旋转60°后与x轴正方向夹角为90°，又||＝2，所以旋转后对应的复数为2i.故选B. 4．已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为(　　) A．－＋2i B．－－2i C.＋2i D.－2i 答案：A 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－.由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴y＝2.∴z＝－＋2i.故选A. 5．(2024·河北承德高一开学考试)已知z1＝(a＋1)－2i为纯虚数，则z2＝a＋i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：复数z1＝(a＋1)－2i为纯虚数，则a＋1＝0，则a＝－1，所以z2＝－1＋i，所以复数z2在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．故选B. 二、多选题 6．(2024·海南省直辖县级单位高一下期末)已知复数z＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是(　　) A．z的虚部为i B.＝1＋i C．||＝2 D．z在复平面内对应的点在第二象限 答案：CD 解析：对于A，因为z＝－1＋i，所以z的虚部为，故A错误；对于B，＝－1－i，故B错误；对于C，||＝＝2，故C正确；对于D，z在复平面内对应的点为(－1，)，位于第二象限，故D正确．故选CD. 7．已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是(　　) A．复数z在复平面内对应的点可能落在第一象限 B．复数z在复平面内对应的点可能落在实轴上 C．|z|＝2cosθ D.＝－2cos2θ－isin2θ 答案：ABC 解析：z＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cos2θ＋2isinθcosθ，∵－<θ<，∴cosθ∈(0，1)，sinθ∈(－1，1)，∴复数z在复平面内对应的点可能落在第一象限、实轴上或第四象限，A，B正确；|z|＝＝2|cosθ|＝2cosθ，C正确；＝1＋cos2θ－isin2θ＝2cos2θ－isin2θ，D错误．故选ABC. 三、填空题 8．若复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y＝x＋2上，则a＝________． 答案：2 解析：复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点为(a－1，3)，由该点在直线y＝x＋2上，可得3＝a－1＋2，解得a＝2. 9．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，如果点B关于原点的对称点为A，则点A的坐标为________，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________． 答案：(－3，4)　3＋4i 解析：∵点B的坐标为(3，－4)，∴点A的坐标为(－3，4)．∴点C的坐标为(3，4)．∴向量对应的复数为3＋4i. 10．已知复数z满足|z|2－4|z|＋3≤0，则复数z对应的点Z(x，y)构成的图形的面积为________． 答案：8π 解析：由题意，可知|z|2－4|z|＋3＝(|z|－3)·(|z|－1)≤0，即1≤|z|≤3，∴点Z(x，y)构成的图形是以原点为圆心，分别以1和3为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环边界)，其面积为S＝32π－12π＝8π. 四、解答题 11．求实数m为何值时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于：(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线y＝3x＋1上． 解：∵m为实数，∴1－m，4－m2都是实数， ∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i在复平面内对应的点的坐标为(1－m，4－m2)． (1)∵复数z在复平面内对应的点位于虚轴上， ∴1－m＝0，解得m＝1. (2)∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限， ∴∴ 故1＜m＜2. (3)∵复数z对应的点位于直线y＝3x＋1上， ∴4－m2＝3(1－m)＋1， 即m2－3m＝0， 解得m＝0或m＝3. 12．已知复数z＝(3m2－2m－1)＋(6m2＋5m＋1)i，m∈R. (1)若复数z在复平面内对应的点在虚轴上，求m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点Z在第一象限，且与a＝(－1，－3)共线，求m的值以及方向的单位向量． 解：(1)依题意，得3m2－2m－1＝0， 解得m＝1或m＝－. (2)∵与a＝(－1，－3)共线， ∴－3(3m2－2m－1)＋(6m2＋5m＋1)＝0， 解得m＝4或m＝－. 当m＝4时，代入可得Z(39，117)，满足在第一象限，成立； 当m＝－时，代入可得Z(0，0)，不满足在第一象限，舍去． ∵与a＝(－1，－3)共线且反向， ∴方向的单位向量为－＝. 13．若复数z＝λ＋isinθ(0<θ<π)在复平面内对应的点位于直线y＝x上，则λ的最大值为________． 答案：－1 解析：z＝λ＋isinθ(0<θ<π)在复平面内对应的点为，故λ＝sinθ，故λ＝sinθ，由于θ∈(0，π)，故sinθ>0，则λ＝＝ ≤＝－1，当且仅当＝sinθ，即sinθ＝，即θ＝或θ＝时，等号成立． 14．(2024·河南洛阳高一下期末)已知复数z1＝－i与z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|的值； (2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？ 解：(1)|z1|＝|－i|＝＝2， |z2|＝|－＋i|＝＝1. (2)由(1)知1≤|z|≤2， 因为不等式|z|≥1的解集是以O为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式|z|≤2的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以O为圆心，1和2分别为半径的两圆所夹的圆环(包括圆环边界)，如图所示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$