课时测评6 复数的几何意义-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

课时测评6　复数的几何意义 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—7每小题5分，共35分) 1．复数z＝3＋4i所对应的点位于复平面的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：因为复数z＝3＋4i，所以z在复平面内对应的点的坐标为(3，4)，位于第一象限. 故选A． 2．若复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在上半平面(不包括实轴)，则(　　) A．a＞0且b＞0 B．a∈R且b＞0 C．a≥0且b＞0 D．a∈R且b＜0 答案：B 解析：因为复数a＋bi在复平面内对应的点在上半平面(不包括实轴)，所以复数的实部a∈R，虚部b＞0．故选B． 3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为Z(a，b)，若|z|≤1，则满足条件的点Z的集合是(　　) A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆及其内部 答案：D 解析：因为|z|≤1，所以a2＋b2≤1，所以点Z的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部． 4．已知i为虚数单位，x，y∈R，若复数z＝x＋yi，z1＝2＋i，z1的共轭复数为，且z＝，则x＋y＝(　　) A．3 B．－1 C．1 D．－3 答案：C 解析：复数z＝x＋yi，z1＝2＋i，故z1的共轭复数为＝2－i，且z＝，故x＝2，y＝－1，故x＋y＝1．故选C． 5．(多选)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(　　) A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z可能是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 答案：BC 解析：2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，结合选项知选BC． 6．复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)的共轭复数＝________． 答案：1－i 解析：由共轭复数的概念可知，＝1－i. 7．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为________． 答案：＋1 解析：因为z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，所以z1－z2＝(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i，因此|z1－z2|＝＝ ＝，所以当sin ＝－1时，|z1－z2|有最大值，且最大值为|z1－z2|max＝＝＋1． 8．(10分)在复平面内，复数z＝a2－a－2＋(a2－3a－4)i(其中a∈R). (1)若复数z为实数，求a的值；(3分) (2)若复数z为纯虚数，求a的值；(3分) (3)对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．(4分) 解：(1)由a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4； (2)由解得a＝2； (3)由解得2<a<4． 9．(10分)已知复数z1＝－i，z2＝－＋i. (1)求||，||的值并比较大小；(4分) (2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．(6分) 解：(1)||＝|＋i|＝＝2， ||＝＝＝1． 所以||＞||. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2． 不等式1≤|z|≤2等价于不等式组 因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)， 而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)， 所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示． 10．(5分)设(－1＋2i)x＝y－1－6i，x，y∈R，则|x－yi|＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案：B 解析：因为(－1＋2i)x＝y－1－6i，x，y∈R，所以－x＋2xi＝y－1－6i，所以解得x＝－3，y＝4，所以|x－yi|＝|－3－4i|＝ ＝5．故选B． 11．(5分)若t∈R，t≠－1，t≠0，则复数z＝＋i的模的取值范围是________． 答案：[，＋∞) 解析：|z|2＝＋≥2··＝2，当且仅当＝，即t＝－时取等号，所以|z|≥. 12．(10分)已知i为虚数单位，复数z满足|z|＋z＝8＋4i. (1)求z；(4分) (2)在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是z，c＋(2－c)i，若∠AOB是直角，求实数c的值．(6分) 解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由|z|＋z＝8＋4i，得(a＋)＋bi＝8＋4i， 所以解得 所以z＝3＋4i. (2)由题意，得＝(3，4)，＝(c，2－c)， 因为∠AOB是直角，所以·＝3c＋4(2－c)＝0，解得c＝8． 13．(10分)设z＝a＋bi(a，b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，又ω＝sin θ－i cos θ，求z的值和|z－ω|的取值范围． 解：因为4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i， 所以6a＋2bi＝3＋i， 所以所以 所以z＝＋i， 所以z－ω＝－(sin θ－icos θ) ＝＋i， 所以|z－ω|＝ ＝ ＝ ＝， 因为－1≤sin ≤1， 所以0≤2－2sin ≤4， 所以0≤|z－ω|≤2， 故z＝＋i，|z－ω|的取值范围为[0，2]. 14．(15分)已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i. (1)当x为何值时，复数z的模最小？(6分) (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn>0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值．(9分) 解：(1)由题意得|z|＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2. (2)由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2，2). 因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2． 又mn>0，所以m>0，n>0． 所以＋＝＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即当m＝2－，n＝2－2时等号成立． 故＋的最小值为＋，此时m＝2－，n＝2－2． 学生用书第28页 学科网（北京）股份有限公司 $$