9.1.1 正弦定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

9．1.1　正弦定理 知识点一　已知两角及一边解三角形 1．(2024·天津高一下期中)在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则b＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由正弦定理，得＝，解得b＝.故选A. 2．在△ABC中，a＝26，cosA＝，cosB＝，则b＝________． 答案：30 解析：因为cosA＝，所以sinA＝＝.同理得sinB＝.由＝，得b＝＝＝30. 知识点二　已知两边及一边的对角解三角形 3．已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A＝(　　) A．60° B．120° C．90° D．60°或120° 答案：D 解析：由正弦定理＝，得＝，∴sinA＝，∴A＝60°或A＝120°. 4．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝________． 答案： 解析：由＝，知＝，即sinB＝. 5．在△ABC中，cosA＝，a＝4，b＝4，则B＝________． 答案：45° 解析：由cosA＝，得sinA＝，A＝60°，由正弦定理，得sinB＝＝.又a>b，所以B<A，故B＝45°. 知识点三　三角形面积的计算问题 6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________． 答案：4 解析：在△ABC中，∵cosC＝，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝×3×2×＝4. 知识点四　判断三角形解的个数 7．(2024·河北石家庄高一下期末)在△ABC中，A＝60°，a＝7，b＝8，则△ABC(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 答案：B 解析：由正弦定理＝，得sinB＝＝<1，又b>a，则B>A，所以满足条件的B有两个．故选B. 知识点五　正弦定理的综合应用 8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　) A．无法确定 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 答案：D 解析：因为bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，解得sinA＝0或sinA＝1，因为0<A<π，所以sinA>0，所以sinA＝1，所以A＝，所以△ABC是直角三角形． 9．在△ABC中，sinA＝，a＝10，则c的取值范围是________． 答案： 解析：∵＝＝，∴c＝sinC.∵C∈(0，π)，∴0<c≤，即c的取值范围是. 10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角． (1)证明：B－A＝； (2)求sinA＋sinC的取值范围． 解：(1)证明：由a＝btanA及正弦定理， 得＝＝， 所以sinB＝cosA， 即sinB＝sin. 又B为钝角，因此＋A∈， 故B＝＋A，即B－A＝. (2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A>0， 所以A∈. 于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2＋. 因为0<A<， 所以0<sinA<， 所以<－2＋≤. 所以sinA＋sinC的取值范围是. 一、单选题 1．在钝角三角形ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则角A的大小为(　　) A．120° B．45° C．30° D．15° 答案：C 解析：由正弦定理，得＝，将AB＝，AC＝1，B＝30°代入，求得sinC＝.又由△ABC是钝角三角形，知C＝120°，所以A＝30°.故选C. 2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sinB＝2sinC，则△ABC的面积为(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案：B 解析：由正弦定理，得b＝2c＝4，由三角形面积公式，得S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝2. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若C＝120°，c＝a，则(　　) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定 答案：C 解析：由正弦定理可得＝＝＝2a，所以sinA＝，又显然A为锐角，可得A＝30°.所以B＝180°－A－C＝30°，所以a＝b.故选C. 4．在△ABC中，已知3b＝2asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D.等腰直角三角形 答案：B 解析：利用正弦定理及3b＝2asinB，可得sinA＝，A＝或，但由cosB＝cosC及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．故选B. 5．(2024·黑龙江哈尔滨高一下阶段练习)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知acosC＝3ccosA，且tanC＝，则A＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为acosC＝3ccosA，所以sinAcosC＝3sinCcosA，又cosC≠0，cosA≠0，从而得＝，即tanC＝tanA，又tanC＝，所以tanA＝1，又A∈(0，π)，所以A＝.故选B. 二、多选题 6．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　) A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45° C．a＝8，b＝4，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30° 答案：BC 解析：对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sinB＝＝＝>1，无解；对于B，因为b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sinC＝＝＝<1，且c<b，有一解；对于C，因为a＝8，b＝4，B＝60°，所以由正弦定理可得sinA＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sinB＝＝＝<1，且b>a，所以B有两个值，有两解．故选BC. 7．(2024·吉林四平高一下阶段练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(　　) A．若a>b，则sinA>sinB B．若sinA>sinB，则A<B C．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形 D．若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB 答案：AD 解析：对于A，在△ABC中，由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，因为a>b，所以2RsinA>2RsinB，所以sinA>sinB，故A正确；对于B，在△ABC中，由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，因为sinA>sinB，所以2RsinA>2RsinB，所以a>b，所以A>B，故B错误；对于C，若acosA＝bcosB，由正弦定理，可得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，若△ABC为锐角三角形，则所以>A>－B>0，又正弦函数在上为增函数，所以sinA>sin，即sinA>cosB，故D正确．故选AD. 三、填空题 8．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________． 答案：1 解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝1. 9．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________，△ABC的面积为________． 答案：2　 解析：因为A＝75°，B＝45°，所以C＝60°，由正弦定理可得＝，解得AC＝2.△ABC的面积为AB×ACsin75°＝AB×ACsin(45°＋30°)＝××2×＝. 10．若满足c＝，acosC＝csinA的△ABC有两个，则边BC的取值范围是________． 答案：(，2) 解析：由acosC＝csinA及正弦定理，得sinAcosC＝sinCsinA，即tanC＝1，所以C＝.过点B作BD⊥AC，垂足为D，则BD＝BC，要使满足条件的△ABC有两个，则需BC＜＜BC成立，解得＜BC＜2. 四、解答题 11．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A. (1)求cosA的值； (2)求c的值． 解：(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A， 所以在△ABC中，由正弦定理，得＝， 所以＝，故cosA＝. (2)由(1)，知cosA＝，所以sinA＝＝. 又因为B＝2A，所以cosB＝2cos2A－1＝. 所以sinB＝＝， 在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝. 所以c＝＝5. 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosCsinA＝cosA(b－csinA)． (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的外接圆圆心为点P，求△PBC的周长． 解：(1)由已知及正弦定理， 得sinAcosCsinA＝sinBcosA－sinCsinAcosA， 所以sinA(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinBcosA， 所以sinAsin(A＋C)＝sinBcosA， 即sinAsinB＝sinBcosA， 又B∈(0，π)，所以sinB>0，所以tanA＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)设△ABC的外接圆半径为r， 则由正弦定理知＝2r， 又a＝BC＝2，A＝， 所以r＝2，即PB＝PC＝2， 所以PB＋PC＋BC＝4＋2， 即△PBC的周长为4＋2. 13．(2024·安徽宣城高一下期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠ACB＝60°，∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD＝2，则△ABC面积的最小值为________． 答案： 解析：若∠ACB＝60°，∠ACB的角平分线交AB于点D，则∠ACD＝∠BCD＝30°，由S△ACD＋S△BCD＝S△ABC且CD＝2，得b×2×sin30°＋a×2×sin30°＝absin60°，整理得a＋b＝≥2，得ab≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，则ab的最小值为，由S△ABC＝absin∠ACB，得△ABC面积的最小值为××＝. 14．(2024·四川内江高一下期中)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋2sinBcosB－sin2B＝1. (1)求角B的大小； (2)若2ccosA＋2acosC＝bc，求a＋b的取值范围． 解：(1)由cos2B＋2sinBcosB－sin2B＝1， 可得cos2B＋2sinBcosB－sin2B＝cos2B＋sin2B， 可得2sinBcosB＝2sin2B， 可得cosB＝sinB， 即tanB＝，因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为2ccosA＋2acosC＝bc， 由正弦定理，可得 2sinCcosA＋2sinAcosC＝csinB， 即2sin(A＋C)＝csinB， 因为A＋C＝π－B， 所以sin(A＋C)＝sinB， 则2sinB＝csinB，因为B＝，则sinB≠0， 所以c＝2， 由正弦定理，可得＝＝， 则b＝，a＝， 所以a＋b＝＋＝， 由于A＝π－(B＋C)＝－C， 所以a＋b＝ ＝＝1＋·， 因为B＝，△ABC为锐角三角形， 所以即<C<， 因为＝＝＝， <C<，所以<<， 所以tan＝tan<tan<tan，即2－<tan<1， 则1<<2＋， 所以1＋<1＋·<4＋2， 即1＋<a＋b<4＋2， 所以a＋b的取值范围是(1＋，4＋2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$