11.2 平面的基本事实与推论-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第十一章　立体几何初步 11.2　平面的基本事实与推论 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　共面问题 1．下列说法中正确的是(　　) A．空间中不同的三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C．空间中有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一个平面内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 4 解析：空间中共线的三点不能确定一个平面，所以 A错误；空间中两两相交的三条直线交于同一点时，可能 确定一个平面也可能确定三个平面，所以B错误；空间中 有三个角为直角的四边形可能是空间图形，所以C错误； D正确，如图，因为a∥b，所以直线a，b确定一个平面α.因为b∥c，所以直线b，c确定一个平面β.因为l⊂α，l⊂β，由“过两条相交直线有且只有一个平面”可知α与β重合，所以a，b，c，l共面． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 5 2．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　) A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．A，B，C，D四点中不存在三点共线 C．直线AB与CD相交 D．直线AB与CD平行 解析：两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．故A，C，D错误，B正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 6 3．[多选]如图所示的各正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，使这四个点共面的图形是(　　) 解析：A中PS∥QR，C中SR∥PQ，所以P，Q，R，S四点共面．而B，D中四点两两组成的直线既不平行又不相交．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 7 4．过已知直线a外一点P，与直线a上的四个点A，B，C，D分别画四条直线，求证：这四条直线在同一平面内． 证明：∵点P在直线a外， ∴过直线a及点P作一平面α. ∵A，B，C，D均在a上， ∴A，B，C，D均在α内． ∵直线PA，PB，PC，PD上各有两点在α内， ∴由基本事实2可知，直线PA，PB，PC，PD均在平面α内，即这四条直线在同一平面内． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 8 知识点二　共线问题 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱D1C1上靠近D1的三等分点．设AE与平面BB1D1D的交点为O，则(　　) A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1 B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1 C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1 D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 9 解析：连接AD1，BC1，BD1，∵O∈直线AE，AE⊂平面ABC1D1，∴O∈平面ABC1D1.又O∈平面BB1D1D，平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1，∴O∈直线BD1，∴三点D1，O，B共线．∵△ABO∽△ED1O，∴OB∶OD1＝AB∶ED1＝3∶1，∴OB＝3OD1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 6.如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面 α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，求证：P，Q，R三点共线． 证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P. ∴AB，CD可确定一个平面，设为β. ∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β. ∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交． ∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R， ∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点． ∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 11 知识点三　线共点问题 7.如图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们 的交点一定(　　) A．在直线DB上 B．在直线AB上 C．在直线CB上 D．以上都不对 解析：设EF与GH的交点为M，因为M∈EF，EF⊂平面ABD，所以M∈平面ABD.因为M∈GH，GH⊂平面BCD，所以M∈平面BCD.又平面ABD∩平面BCD＝DB，所以M∈DB.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 14 知识点四　两平面的交线问题 9．(1)如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线； (2)如图2，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBC与平面SAD的交线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 15 解：(1)记B1D1∩A1C1＝O，连接AO， 则AO即为平面AB1D1与平面ACC1A1的交线，如图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 16 (2)延长BC，与AD延长线交于点O，连接SO， 则SO即为平面SBC与平面SAD的交线，如图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 17 40分钟综合练 一、单选题 1．下列图形中，不一定是平面图形的是(　　) A．一组对边平行的四边形 B．两组对边延长后，都相交的四边形 C．四边相等的四边形 D．对角线相交的四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 解析：对于A，由两条平行线确定一个平面，得到一组对边平行的四边形一定是平面图形，故A一定是平面图形；对于B，由两条相交直线确定一个平面，得两组对边延长后，都相交的四边形一定是平面图形，故B一定是平面图形；对于C，四边相等的四边形有可能是空间四边形，不一定是平面图形，故C不一定是平面图形；对于D，由两条相交直线可以确定一个平面，得对角线相交的四边形一定是平面图形，故D一定是平面图形．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 2．圆心和圆上任意两点可确定的平面有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或无数个 解析：若圆心和圆上两点共线，则可确定无数个平面；若圆心和圆上两点不共线，则可确定1个平面．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 3.在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上依次取点E，F，G，H.若EH，FG所在直线相交于点P，则(　　) A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面BCD外 D．点P必在平面ABC内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 解析：如图，连接EH，FG，BD.∵EH，FG所在直线相交于点P，∴P∈EH，且P∈FG.∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 5．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中是三条直线确定一个平面的充分条件的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：对于①，三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①符合题意；对于②，三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②不符合题意；对于③，三条直线共点，有可能确定三个平面，故③不符合题意；对于④，有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④符合题意．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 二、多选题 6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则下列判断正确的是(　　) A．A，C，O1，D1四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，D1四点共面 D．G，E，O1，O2四点共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 解析：因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别 为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1， A1B1C1D1的中心，连接AD1，AC，CD1，所以O1是AD1的中 点，所以O1在平面ACD1上，故A正确；因为E，G，F在平 面BCC1B1上，D不在平面BCC1B1上，所以D，E，G，F四点 不共面，故B错误；连接EF，由已知可得EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于点H，则H为A1D1的中点，连接HO1，GE，则HO1∥AA1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面，故D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 7．(2024·河北邯郸高一下期中)下列四个命题中正确的是(　　) A．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有6条 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 解析：正方体有6个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，故A正确；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E可能不共面，比如平面ABCE与平面ABCD相交于A，B，C所在直线，而D，E均不在该直线上，故B错误；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能不共面，比如a，b相交，且a∥c，此时b，c异面，故C正确；依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D错误．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 三、填空题 8．若A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的关系是________，依据为____________． 解析：∵A∈α，∴平面ABC与α一定相交，依据是若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线，即基本事实3. 相交 基本事实3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 9．已知平面α∩平面β＝l，M∈α，N∈α，P∈β，P∉l，且MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________． 解析：如图，MN⊂γ，R∈MN，所以R∈γ，又R∈l， 所以R∈β.又P∈γ，P∈β，所以β∩γ＝PR. PR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 10．不共线的三点A，B，P∉平面α，AP∩α＝A1，BP∩α＝B1，AB∩α＝O，当点P在空间中运动时，定点O与动直线A1B1的位置关系是__________． 解析：由题意知平面ABP∩α＝A1B1，AB∩α＝O，所以O∈平面ABP，且O∈α，所以O∈A1B1. O∈A1B1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 四、解答题 11.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，E，F，G，H分别为 BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点．证明：EG，FH，AA1三线共点． 证明：如图，延长EG，FH相交于点P. ∵P∈EG， EG⊂平面ABB1A1， ∴P∈平面ABB1A1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 33 ∵P∈FH， FH⊂平面ACC1A1， ∴P∈平面ACC1A1. ∵平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1， ∴P∈AA1， ∴EG，FH，AA1三线共点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 34 12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为8 cm，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点． (1)画出过M，N，P三点的平面与平面A1B1C1D1和平面BB1C1C的交线； (2)设过M，N，P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长． 解：(1)如图，设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面ABB1A1交于MP. 设MP∩A1B1＝R， 则RN是α与平面A1B1C1D1的交线． 设RN∩B1C1＝Q， 则PQ是α与平面BB1C1C的交线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 38 14.如图，点O1是长方体ABCD－A1B1C1D1的上底面的中心， 过D1，B1，A三点作一个截面． (1)求证：对角线A1C与平面AB1D1的交点P一定在AO1上； (2)若AB＝AD＝4，AA1＝6，求四棱锥P－ABCD的体积． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 39 解：(1)证明：如图所示，连接A1C1，AC， 因为O1是长方体ABCD－A1B1C1D1的上底面的中心， 所以O1∈A1C1，O1∈B1D1， 因为A1C1⊂平面ACC1A1，B1D1⊂平面AB1D1， 所以O1∈平面ACC1A1，O1∈平面AB1D1， 又因为A∈平面ACC1A1，A∈平面AB1D1，所以平面AB1D1∩平面ACC1A1＝AO1， 因为对角线A1C∩平面AB1D1＝P，所以P∈平面ACC1A1，P∈平面AB1D1， 所以由基本事实3可得，对角线A1C与平面AB1D1的交点P一定在AO1上． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 41 　　　　　　　　　　　　　 R 8.如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,3)，求证：直线EF，GH，AC交于一点． 证明：因为AE＝EB，AH＝HD， 所以EH∥BD，且EH＝eq \f(1,2)BD. 因为eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,3)， 所以FG∥BD，且FG＝eq \f(2,3)BD. 所以EH∥FG，且EH≠FG，故四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交， 设交点为P，则P∈平面ABC，且P∈平面DAC， 又平面ABC∩平面DAC＝AC，故P∈AC，即直线EF，GH，AC交于一点． 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝eq \f(1,3)DD1，NB＝eq \f(1,3)BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝eq \f(1,3)DD1，NB＝eq \f(1,3)BB1，如图，延长C1M，交CD的延长线于点P，延长C1N，交CB的延长线于点Q，连接PQ，交AD于点E，交AB于点F，连接NF，ME，则正方体中过点M，N，C1的截面图形是五边形．故选C. (2)∵正方体的棱长为8 cm，M，P分别为AB，BB1的中点， ∴B1R＝BM＝4 cm. 在△RA1N中，eq \f(B1Q,A1N)＝eq \f(RB1,RA1)， ∴B1Q＝eq \f(4,12)×4＝eq \f(4,3)(cm)． 在Rt△PB1Q中， ∵PB1＝4 cm，B1Q＝eq \f(4,3) cm， ∴PQ＝eq \r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2))＝eq \f(4\r(10),3)(cm)． 13．(2024·辽宁高一下开学考试)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足CF＝2FB，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则eq \f(PG,PB)的值为________． eq \f(3,4) 解析：如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G.理由如下：设D，E，F三点确定的平面为α，因为AB∩DF＝Q，则Q∈α，Q∈平面PAB，又因为α∩平面PAB＝EG，所以E，G，Q三点共线，即EQ∩PB＝G.取AB的中点M，连接EM，因为CF＝2FB，由△FBQ∽△FCD可得BQ＝eq \f(1,2)CD，因为BM＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)CD，所以BM＝BQ，又E是棱PA的中点，则EM∥PB，得EG＝GQ，故有BG＝eq \f(1,2)EM，又EM＝eq \f(1,2)PB，所以BG＝eq \f(1,4)PB，故eq \f(PG,PB)＝eq \f(3,4). (2)由图可知，△A1O1P∽△CAP， 所以eq \f(A1O1,CA)＝eq \f(A1P,CP)＝eq \f(1,2)， 所以CP＝eq \f(2,3)CA1. 在△A1AC中，作PO∥AA1，交AC于点O， 则OP＝eq \f(2,3)AA1＝4， 所以V四棱锥P－ABCD＝eq \f(1,3)×4×4×4＝eq \f(64,3). $$