第11章 阶段练6 (范围11.2)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练6　(范围:11.2) 第十一章　立体几何初步 1.空间四个点中,三点共线是这四个点共面的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 解析:空间四个点中,有三个点共线,根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面,即充分性成立; 反之,当四个点共面时,不一定有三点共线,即必要性不成立, 所以空间四个点中,三点共线是这四个点共面的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.下列推理错误的是(　　) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β ⇒α∩β=AB C.l⊄α,A∈l⇒A∉α D.A∈l,l⊂α⇒A∈α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 解析:由 A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,可得l⊂α,故A选项正确; 由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,可得α∩β=AB,故B选项正确; 由l⊄α,l可能与α相交,A∈l可能有A∈α,故C选项错误; 由A∈l,l⊂α,可得A∈α,故D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.三个不互相重合的平面将空间分成n个部分,则n不可能是(　　) A.4　　　　　　　　　　　　 B.5 C.6 D.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 解析:按照三个平面中平行的个数来分类: (1)三个平面两两平行,如图1,可将空间分成4部分; (2)两个平面平行,第三个平面与这两个平行平面相交,如图2,可将空间分成6部分; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)三个平面中没有平行的平面: ①三个平面两两相交且交线互相平行,如图3,可将空间分成7部分; ②三个平面两两相交且三条交线交于一点,如图4,可将空间分成8部分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ③三个平面两两相交且交线重合,如图5,可将空间分成6部分.   综上,可以为4,6,7,8部分,不能为5部分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,平面D1PQ∩平面ABCD=l,则下列结论错误的是(　　) A.l过点B B.l不一定过点B C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上 D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 解析:连接PB,QB,如图, 因为P,Q分别是棱AA1,CC1的中点, 由勾股定理得D1P=D1Q=QB=BP, 所以四边形D1PBQ是菱形, 所以D1,P,B,Q四点共面,即B∈平面D1PBQ. 又B∈平面ABCD,所以B∈l,故A结论正确,B结论错误. 如图,延长D1P与DA的延长线交于点F,延长D1Q与DC的延长线交于点E. 因为D1F⊂平面D1PBQ,所以F∈平面D1PBQ, 因为DF⊂平面ABCD,所以F∈平面ABCD, 所以F∈l, 同理E∈l,故C,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.(多选)以下四个命题正确的是(　　) A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则“a与b相交”与“α与β相交”等价 C.若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且a∩b=P,则P∈l D.若空间中三个平面两两相交,则他们的交线互相平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AC 解析:对于A,三个平面两两平行时,可以把空间分成4部分,如图1; 三个平面中恰有两个平面平行时,可把空间分成6部分,如图2; 三个平面两两相交于一条直线时,可以把空间分成6部分,如图3; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三个平面两两相交于三条直线,且三条直线互相平行时,可以把空间分成7部分,如图4; 三个平面两两相交于三条直线,且三条直线交于一点时,可以把空间分成8部分,如图5, 所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分,故A正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于B,因为直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,由a与b相交一定可以得到α与β相交, 但是由α与β相交,则a与b可以相交、平行或异面,故B错误; 对于C,因为a∩b=P,直线a⊂平面α,则P∈a⊂α且P∈b. 又直线b⊂平面β,所以P∈β. 又α∩β=l,所以P∈l,故C正确; 对于D,若空间中三个平面两两相交,则他们的交线可以互相垂直, 如图在正方体EFNM-GDHP中:平面EFNM∩平面MNHP=MN, 平面EFNM∩平面MEGP=ME,平面MEGP∩平面MNHP=MP, 由正方体的性质可知MN,ME,MP两两互相垂直,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”为　　 　　.  解析:由点A在直线l上,得A∈l;由l在平面α外,得l⊄α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A∈l,l⊄α 7.给出下列命题:①书桌面是平面; ②平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点;③如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.正确的是　　　　(填写序号).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ③ 解析:对于①:由平面性质知,平面具有无限延展性,所以桌面只是平面一部分,不是平面,故①错误; 对于②:根据公理3可知,若两个平面有一个共点,则有过该点的唯一交线,可知有无限个公共点,且在一条直线上,故②错误; 对于③:根据公理1可知,不共线的三个点确定一个平面,因此两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合,③正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为　　　　.  解析:由m∩n=P,得P∈m,P∈n.而m⊂α,n⊂β,则P∈α,P∈β.又α∩β=l,所以P∈l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P∈l 9.如图,在空间四边形ABCD中,点H,G分别是AD,CD的中点,E,F分别是边AB,BC上的点,且==.求证:直线EH,BD,FG相交于一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明:如图所示,连接EF,GH. 由H,G分别是AD,CD的中点,则GH∥AC,且GH=AC. 又==,则EF∥AC,且EF=AC, 所以GH∥EF,且GH≠EF,所以EH与FG相交,设交点为P. 又P∈EH,EH⊂平面ABD,则P∈平面ABD. 同理P∈平面BCD. 又平面ABD∩平面BCD=BD,则P∈BD, 所以直线EH,BD,FG相交于一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图是一个棱长为2的正方体的展开图,其中M,N分别是棱DB,KF的中点.请以G,E,K三点所在面为底面将展开图还原为正方体.   (1)求证:点M在平面AEN内; (2)用平面AEN截正方体,将正方体分成两个几何体,两个几何体的体积分别为V1,V2,试判断体积较小的几何体的形状(不需要证明),并求V1∶V2的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1)证明:将展开图还原为如图所示的正方体, 连接MN,在正方体中,∵AD∥EK且AD=EK, ∴四边形ADKE是平行四边形,∴AE∥DK. 由M,N分别是棱DB,KF的中点,有MN∥DK, 则MN∥AE, ∴M,N,E,A四点共面,即点M在平面AEN内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)解:连接AM,所以平面AEN截正方体的截面是四边形AENM. 在平面AHBD中,延长AM与HB的延长线交于点P,M是棱DB中点,则B为HP中点. N为KF中点,则延长EN与HB的延长线交于点P, 所以体积较小的几何体,即体积为V1的几何体是三棱台AHE-MFN. 正方体的体积V=23=8,其中V1是三棱台AHE-MFN的体积. ∵V1=·HF·(S△AHE++S△MFN)= ×2=, ∴V2=V-V1=, ∴V1∶V2=7∶17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$