11.3.2 第2课时 直线与平面平行的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第十一章　立体几何初步11.3　空间中的平行关系 11.3.2 　直线与平面平行 第2课时　直线与平面平行的性质 (教师独具内容) 课程标准：从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面平行的关系，并归纳出直线与平面平行的性质定理． 教学重点：直线与平面平行的性质定理及应用． 教学难点：综合运用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、线面平行的相互转化． 核心素养：通过应用直线与平面平行的性质定理解决空间中的平行关系，培养直观想象素养和逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 一条直线与一个平面平行 且经过这条直线的平面 这个平面相交 交线 l∥m 核心概念掌握 5 [提醒]　用该定理判断直线l与m平行时，必须具备三个条件： ①直线l与平面α平行，即l∥α； ②直线l在平面β内，即l⊂β； ③平面α与平面β相交，即α∩β＝m. 核心概念掌握 6 1．(线面平行的性质定理)若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　) A．都平行 B．都相交且一定交于同一点 C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点 核心概念掌握 7 2.(线面平行的性质定理的应用)如图，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点．若GH∥平面SCD，则(　　) A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 核心概念掌握 8 3.(与线面平行性质有关的计算)如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝____． 5 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　直线与平面平行的性质及应用 如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是AP，BP，BQ，AQ的中点，平面PCD∩平面EFQ＝GH.求证：AB∥GH. 证明 　因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC. 又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH， 所以EF∥GH. 又EF∥AB，所以AB∥GH. 核心素养形成 11 【感悟提升】　 (1)运用线面平行的性质定理证线线平行时，要能够从图形中熟练地确定和直线平行的平面，再寻找过此直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行． (2)当观察图形发现不易直接用线面平行性质定理时，要善于利用平行的传递性进行转化，通过第三条直线并运用线面平行性质定理来证明． 核心素养形成 12 【跟踪训练】 1.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，且BC＝AD. 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD， 又BC⊂平面BCFE，平面PAD∩平面BCFE＝EF， ∴BC∥EF. 在△PAD中，易知EF≠AD，∴EF≠BC， ∴四边形BCFE是梯形． 核心素养形成 13 题型二　与线面平行性质定理有关的计算问题 核心素养形成 14 【感悟提升】　利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：①根据已知线面平行关系推出线线平行关系；②在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；③利用所得关系计算求值． 核心素养形成 15 【跟踪训练】 2.如图，a∥α，A是α另一侧的点，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝____． 核心素养形成 16 题型三　直线与平面平行的综合应用 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M的位置． 解　若MB∥平面AEF，如图，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N. 因为BF∥CC1，CC1⊂平面AA1C1C，BF⊄平面AA1C1C， 所以BF∥平面AA1C1C， 又BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN， 所以BF∥MN. 核心素养形成 17 核心素养形成 18 【感悟提升】　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链． 核心素养形成 19 【跟踪训练】 3.如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l. (1)求证：l∥BC； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 核心素养形成 20 核心素养形成 21 随堂水平达标 1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 解析：条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱 AA1，BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H， 则GH与AB的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 解析：由长方体的性质，知EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 3．已知平面α∩平面β＝l，直线a∥α，a∥β，则直线a与l的位置关系是(　　) A．平行或异面 B．相交 C．平行 D．异面 解析：过a作平面γ∩α＝m，a∥α，则m∥a；过a作平面η∩β＝n，a∥β，则n∥a，所以m∥n，m⊄β，n⊂β，则m∥β，而m⊂α，平面α∩平面β＝l，则m∥l.综上，a∥l.故选C. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 4.(2024·新疆维吾尔自治区直辖县级单位高一下阶段练习)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，F为AD的中点，E为CD的动点．若EF∥平面AB1C，则EF＝____． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 5.如图所示，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上下底面平行且均为矩形，侧棱延长后相交于E，F两点．求证：EF∥平面ABCD. 证明：∵AB，CD是矩形的一组对边， ∴AB∥CD. 又CD⊂平面CDEF，AB⊄平面CDEF， ∴AB∥平面CDEF. 又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF＝EF， ∴AB∥EF. ∵AB⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 线面平行的性质判断；直线与直线的位置关系 线面平行的性质判断；直线与直线的位置关系 线面平行与线线平行相关命题的判断 利用线面平行的性质计算线段比例 利用线面平行的性质计算线段比例 与线面平行的性质定理有关的计算问题 线面平行判定与性质的综合应用 利用线面平行的性质判断线线平行 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用线面平行的性质判断线线平行 利用线面平行的性质求线段长度 利用线面平行的性质判断线线平行 线面平行的证明　 利用线面平行的性质判断点的位置 利用线面平行的性质求线段长度 线面平行的判定与性质的综合运用 线面平行的证明；与线面平行的性质定理有关的计算问题 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 一、单选题 1．(2024·河南周口高一下阶段练习)已知直线a与平面α没有公共点，直线b⊂α，则a与b的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 解析：依题意可知a∥α，而b⊂α，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 2.如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点， 且EF∥平面ABC，则(　　) A．EF与BC相交 B．EF∥BC C．EF与BC异面 D．以上均有可能 解析：因为EF∥平面ABC，EF⊂平面SBC，平面ABC∩平面SBC＝BC，所以EF∥BC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 3．(2025·湖南长郡中学高一月考)设m，n为平面M外的两条直线，且m∥M，则m∥n是n∥M的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由m∥M，则存在过直线m的平面N，使得平面N与平面M相交，令交线为l，则m∥l，若m∥n，则n∥l，而n⊄平面M，因此n∥M；反之，当n∥M时，m与n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，所以m∥n是n∥M的充分不必要条件． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是(　　) A．E，F，G，H一定是各边的中点 B．G，H一定是CD，DA的中点 C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC 解析：由于BD∥平面EFGH，由直线与平面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 二、多选题 6.(2024·四川自贡高一期末)如图，已知三棱锥A－BCD的截面EFGH平行于对棱AC，BD.下列命题正确的是(　　) A．四边形EFGH是平行四边形 B．四边形EFGH是梯形 C．当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形 D．当AC＝BD＝2时，四边形EFGH的周长为4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上，则(　　) A．PA∥平面BDM B．PA与平面BDM相交 C．PA∥GH D．PA与GH相交 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 解析：如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴MO∥PA.又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM.又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM＝GH，∴PA∥GH.故选AC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 三、填空题 8．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β.命题“α∩β＝a，b⊂γ，且__________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)． 解析：①中a∥γ，a⊂β，γ∩β＝b，得出a∥b；③中a⊂γ，α∩β＝a，则β∩γ＝a，又b∥β，b⊂γ，得出a∥b. ①或③ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 9.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.则四边形EFHG的形状是_____________． 解析：∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB⊂平面ABC，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，CD⊂平面BCD，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形． 平行四边形 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 10.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8.点P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝____． 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 四、解答题 11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，求证：M为PB的中点． 证明：连接BD，设AC与BD的交点为E，连接ME. 因为PD∥平面MAC，PD⊂平面PDB，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME. 因为底面ABCD是正方形，所以E为BD的中点． 所以M为PB的中点． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 12．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG. 证明：FG∥平面AA1B1B. 证明：在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1， BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D， 所以CC1∥平面BB1D. 又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG. 因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG. 而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B， 所以FG∥平面AA1B1B. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 13.(2024·山东烟台高一下阶段练习)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，从A，B，C，A1，B1，C1中取3个点确定平面α，若平面α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是(　　) A．A1，B，C B．A1，B，C1 C．A，B，C1 D．A，B1，C1 解析：由于几何体ABC－A1B1C1是三棱台，则AB∥A1B1，又AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，当AB⊂平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时，由直线与平面平行的性质定理可知m∥AB，C项符合题意． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 14．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，M为线段SA上一点，且AM＝2MS，平面MCD与侧棱BS交于点N，则MN＝____． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 15.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明． 解：直线l∥平面PAC.证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC. 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l.所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 16．如图所示，四边形EFGH为四面体A－BCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 解：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. ∵EF⊂平面ABC， 平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB. 又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理可证CD∥平面EFGH. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点　直线与平面平行的性质定理 1．文字叙述：如果__________________________，_______________________与_______________，那么这条直线就与两平面的______平行．该定理简称为线面平行的性质定理． 2．符号表示：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l⊂β,α∩β＝m)) ⇒____________． 3．图形表示 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是菱形，E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且eq \f(SF,SC)＝λ，SA∥平面BEF，则实数λ＝____． 解析　如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面BEF＝FG，∵SA∥平面BEF，SA⊂平面SAC，平面SAC∩平面BEF＝FG，∴SA∥FG，∴eq \f(SF,FC)＝eq \f(AG,GC)，∵AE∥BC，∴△GEA∽△GBC，∴eq \f(AG,GC)＝eq \f(AE,BC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(SF,FC)＝eq \f(AG,GC)＝eq \f(1,2)，即SF＝eq \f(1,3)SC，∴λ＝eq \f(1,3). 解析：∵a∥α，a⊂平面ABD，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，∴eq \f(EG,BD)＝eq \f(AF,AF＋CF)，则EG＝eq \f(AF×BD,AF＋CF)＝eq \f(5×4,5＋4)＝eq \f(20,9). eq \f(20,9) 因为MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN， 所以四边形BFNM是平行四边形， 所以MN＝BF＝1. 而EC∥BF，EC＝2BF＝2， 所以MN∥EC，MN＝eq \f(1,2)EC＝1， 故MN是△ACE的中位线． 所以若MB∥平面AEF，则M为AC的中点． 解：(1)证明：由题意知BC∥AD， 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD. 又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l， ∴l∥BC. (2)平行．证明如下： 如图，取PD的中点E，连接AE，NE. ∵N是PC的中点，∴EN綊eq \f(1,2)CD. ∵M为▱ABCD边AB的中点， ∴AM綊eq \f(1,2)CD.∴EN綊AM， ∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE. 又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，又因为F为AD的中点，所以E是CD的中点，EF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2) eq \r(AB2＋BC2)＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)＝eq \r(2). eq \r(2) 5.如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是矩形，D是A1C1上的动点，若A1B∥平面B1CD，则eq \f(DC1,A1C1)的值为(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．1 解析：连接BC1交B1C于点O，连接OD，因为A1B∥平面B1CD，平面B1CD∩平面A1BC1＝OD，所以A1B∥OD，又因为O是B1C的中点，所以D是A1C1的中点，即eq \f(DC1,A1C1)＝eq \f(1,2).故选B. 解析：由AC∥平面EFGH，AC⊂平面ABC，平面EFGH∩平面A BC＝EF，得EF∥AC，同理GH∥AC，于是EF∥GH，同理EH∥BD∥FG，因此四边形EFGH是平行四边形，A正确，B错误；由EF∥AC，得eq \f(EF,AC)＝eq \f(BE,AB)，由EH∥BD，得eq \f(EH,BD)＝eq \f(AE,AB)，又AC＝BD，则eq \f(EF,EH)＝eq \f(BE,AE)，而BE与AE不一定相等，因此EF与EH不一定相等，即四边形EFGH不一定是菱形，C错误；由C项分析知，eq \f(EF,2)＝eq \f(BE,AB)，eq \f(EH,2)＝eq \f(AE,AB)，两式相加，得eq \f(EF＋EH,2)＝1，即EF＋EH＝2，所以四边形EFGH的周长为4，D正确．故选AD. 解析：连接AC交BD于点O，连接PO.因为EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO.在PA1上截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，所以EF∥QC，所以易知四边形EFCQ为平行四边形，则CF＝EQ.又AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，所以A1E＝CF＝EQ＝eq \f(1,2)A1Q＝2，故CF＝2. 解析：因为AB∥CD，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，所以CD∥平面SAB，又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD⊂平面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以eq \f(MN,AB)＝eq \f(SM,SA)＝eq \f(1,3)，所以MN＝eq \f(4,3). eq \f(4,3) (2)设EF＝x(0<x<4)， 由(1)知，eq \f(CF,CB)＝eq \f(EF,AB)＝eq \f(x,4). 则eq \f(FG,CD)＝eq \f(BF,BC)＝eq \f(BC－CF,BC)＝1－eq \f(x,4). 从而FG＝6－eq \f(3,2)x. ∴四边形EFGH的周长l＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋6－\f(3,2)x))＝12－x. 又0<x<4，则有8<l<12， 即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)． $$