专题01 空间向量与立体几何（易错必刷50题10种题型专项训练）高二数学下学期苏教版

专题01 平面向量（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 题型二　用空间向量基本定理解决相关的几何问题 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 题型四　求平面的法向量 题型五　利用向量研究平行问题 题型六　利用向量研究垂直问题 题型七　异面直线所成的角 题型八　利用空间向量解决线面角 题型九　利用空间向量解决二面角 题型十　利用空间向量距离问题 题型一　利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 1．已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 5．已知向量，，且与垂直，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 题型二　用空间向量基本定理解决相关的几何问题 6．如图，在正方体中，，M为棱的中点，动点P满足，其中，，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为4 B．若，则点P在平面上 C．若，则点M到平面的距离为定值1 D．若点N为外接圆的圆心，则 7．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 8．已知，，且，则（   ） A．-6 B．5 C．4 D．6 9．已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 10．已知向量为直线的方向向量，为平面的法向量，若，则实数等于（   ） A．5 B．2 C． D． 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 11．若，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 13．已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 14．已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为 . 15．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，则在的投影向量为 题型四　求平面的法向量 16．已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则（    ） A．当时，平面 B．当时，异面直线与所成的角为 C．当时， D．当时，线段的长度最小值为 17．已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 18．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（    ） A．与点关于x轴对称的点的坐标为 B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．已知，平面的法向量为，则 19．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 20．下列结论错误的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．两个不同的平面的法向量分别是，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，若，则 D．若，则点在平面内 题型五　利用向量研究平行问题 21．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 22．如图所示，在几何体中，底面，，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 23．如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 24．如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 25．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 题型六　利用向量研究垂直问题 26．如图，在四棱锥中，于，,平面. (1)判断与是否垂直并说明理由； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 27．在正方体中，点分别是和的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．与平面所成的角为 28．如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面. (1)若是的中点，证明:； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 29．如图，正方体的棱长为，为线段上的动点，，分别是线段，上的点，且，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另外一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离； (3)求异面直线与所成角的余弦值的最大值，并说明点的位置. 30．如图，在正三棱柱中，，，是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则与平面成角 B．若，则平面平面 C．若，则 D．若，则三棱柱有内切球 题型七　异面直线所成的角 31．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为 . 32．北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（   ）    A． B． C． D． 33．已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（    ） A． B．异面直线和所成角的余弦值为 C．四棱锥的体积为 D．与三棱锥各棱均相切的球的体积为 34．在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C．当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 35．正四棱台的体积为，，，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型八　利用空间向量解决线面角 36．已知正三棱柱的所有棱长为是中点，求： (1)直线与平面所成角的大小； (2)二面角的大小. 37．如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 38．如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点P在底面上的射影为底面的中心O，点M在棱上，且的面积为1． (1)若点M是PD的中点，证明：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成夹角的正弦值． 39．如图，在直三棱柱中，为的中点，.    (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型九　利用空间向量解决二面角 40．如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：； (2)已知点P为空间内一点，且满足，求直线与平面所成的角的正弦值． 41．如图，在三棱柱中，底面ABC是等腰直角三角形，且，D，E分别是，的中点，且平面ABC.    (1)证明：侧面为矩形； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 42．如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求五面体的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 43．如图，已知正方形和等腰梯形所在的平面互相垂直，，，. (1)求证：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 44．如图，四边形与四边形是全等的矩形，，，为线段上的点． (1)若，求平面与平面夹角的余弦值； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求． 45．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为，求平面与平面所成夹角的余弦值． 题型十　利用空间向量距离问题 46．如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 47．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，，.    (1)若为线段的中点，求证：平面. (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 48．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 49．已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 50．在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点. (1)若为的中点， （i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系； （ii）求证：平面. (2)若三棱柱是棱长均为2的正三棱柱，当二面角为时，求到平面的距离. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 题型二　用空间向量基本定理解决相关的几何问题 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 题型四　求平面的法向量 题型五　利用向量研究平行问题 题型六　利用向量研究垂直问题 题型七　异面直线所成的角 题型八　利用空间向量解决线面角 题型九　利用空间向量解决二面角 题型十　利用空间向量距离问题 题型一　利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 1．已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用坐标计算，最后求一元二次函数的最小值. 【详解】因点在直线上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得 则当时，，此时，点 故选：A 2．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 3．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 4．如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 【答案】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 5．已知向量，，且与垂直，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】依据条件，计算坐标，再利用数量积为0计算即可. 【详解】因，，则， 因与垂直，则，得. 故选：C 题型二　用空间向量基本定理解决相关的几何问题 6．如图，在正方体中，，M为棱的中点，动点P满足，其中，，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为4 B．若，则点P在平面上 C．若，则点M到平面的距离为定值1 D．若点N为外接圆的圆心，则 【答案】ABD 【分析】将用表示，再根据数量积的运算律即可判断A；根据平面向量共线定理的推论即可判断B；连接，证明平面，进而可判断C；取的中点，连接，再根据数量积的几何意义即可判断D. 【详解】对于A， ， 所以 ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为4，故A正确； 对于B，连接， 若，则三点共线， 因为，所以共面， 所以点P在平面上，故B正确； 对于C，连接，则，且互相平分， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为， 因为M为棱的中点， 所以点M到平面的距离为，故C错误； 对于D，如图，取的中点，连接，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 7．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 8．已知，，且，则（   ） A．-6 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 9．已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题设条件建系，写出相关点的坐标，设,则由，可求得，利用空间两点之间距离公式和二次函数的最值求出线段长度的范围即可. 【详解】如图所示，以为原点，以,,所在直线分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，则、、、、、 .设，由点是上的动点，知，即 ，∴ ，故， ∴ 所以. 故选：A 10．已知向量为直线的方向向量，为平面的法向量，若，则实数等于（   ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面垂直可得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用两向量平行的充要条件即可求解. 【详解】因为直线与平面垂直， 所以. 所以存在，使得，即. 解得：，. 故选：D 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 11．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以则. 故选：A. 12．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由，得到两平面法向量共线，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B 13．已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量垂直可得，即可得到结果. 【详解】∵与垂直，∴，解得， ∴，故. 故选：C. 14．已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解. 【详解】点O为坐标原点，， 则， 所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 15．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，则在的投影向量为 【答案】A 【分析】对于A由即可判断，对于B当，同向共线时即可判断，对于C由即可判断，对于D在上的投影向量为即可判断. 【详解】对于A：在中，故P，A，B，C四点共面，故A正确； 对于B：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C：由，即，故，故C错误； 对于D：在上的投影向量为，故D错误. 故选：A. 题型四　求平面的法向量 16．已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则（    ） A．当时，平面 B．当时，异面直线与所成的角为 C．当时， D．当时，线段的长度最小值为 【答案】ACD 【分析】以正方体一个顶点及三条棱建立空间直角坐标系，得到点的坐标.A选项由空间向量证明线面平行；B选项由空间向量的夹角公式求得线线角；C选项由空间向量的数量积为0证明线线垂直；D选项由基本不等式求得的模长的最小值. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别为如图建立空间直角坐标系. ， ， ∵，∴， A选项：，， ∴，即是平面的法向量， 又∵，∴平面，A选项正确； B选项：设，则，，设异面直线与所成的角为， 则，显然，选项错误； C选项：设，则，即，，则，∴，C选项正确； D选项：，∵，则 即，当且仅当时取等号， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题是立体几何中的动点产生的线线和线面的关系，所以本题建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标关系求得对称结果即可. 17．已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 18．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（    ） A．与点关于x轴对称的点的坐标为 B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．已知，平面的法向量为，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量坐标的定义，以及相关知识，即可判断选项. 【详解】A. 与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； B. ，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误； C. 在上的投影向量为，故C正确； D.因为，所以，所以或，故D错误. 故选：AC 19．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 20．下列结论错误的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．两个不同的平面的法向量分别是，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，若，则 D．若，则点在平面内 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与直线平行的关系判断A；由平面的法向量和平面位置的关系判断B；利用线面垂直时直线的方向向量和平面的法向量垂直可判断C；根据四点共面的判断可判断D. 【详解】对于A，由于，则，故，则，A正确； 对于B，由，则， 即，故，B正确； 对于C，若，则，则，即，则，C错误； 对于D，假设， 则，解得，即， 故共面，且三向量有共同起点，则点在平面内，D正确， 故选：C 题型五　利用向量研究平行问题 21．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量的坐标运算可得线面平行； （2）利用空间向量坐标运算分别得到平面与平面一个法向量，计算面面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，， 以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，点是棱上靠近端的三等分点 则. ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 又，可得， 因为平面，所以平面. （2）易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 22．如图所示，在几何体中，底面，，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）由（1）（2）求出平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求出的长. 【详解】（1）由底面，，得直线两两垂直， 以点为原点，直线两两垂直分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 显然是平面的一个法向量，而，， 即，因此平面，又平面， 所以平面.    （2）由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）知，，设平面的法向量， 则，令，得， 由（2）知平面的法向量，由平面与平面所成角的余弦值为， 得，解得， 所以线段的长为. 23．如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2）易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 24．如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，应用向量法得，再由线面平行的判定证明结论； （2）（3）根据（1），应用向量法求线面角、面面角的正余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，因为，所以． 又面面，面，面面， 所以平面． 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以． 设为平面的一个法向量，则，得， 令，则，从而． 因为，所以． 因为，所以，又平面，则平面． （2）设与平面的夹角为，则． （3）显然，平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则． 25．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面即可； （2）借助（1）中的数据，结合线面角的向量解法即可得答案； （3）借助（1）中的数据，结合平面与平面所成角的向量解法即可得答案. 【详解】（1）由题意，以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，，，为棱的中点， 可得、、、、、、、、， 则， 设平面的法向量为， 因为，， 且，可得， 取，则，，所以， 则，故， 因为平面，所以平面． （2）由（1）可得为平面的一个法向量， 又， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）易知是平面的一个法向量， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为. 题型六　利用向量研究垂直问题 26．如图，在四棱锥中，于，,平面. (1)判断与是否垂直并说明理由； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2). 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据题意，求得，得到，求得，得到直线与不垂直. （2）由（1）中的空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为平面，且平面，所以, 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则， 因为且，所以，所以， 所以， 所以， 所以异面直线与不垂直. （2）解：设平面的法向量为， 因为，则， 取，可得，所以 设平面的法向量为， 因为，则， 取，可得，所以 设平面与平面的夹角为， 由图形可得，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 27．在正方体中，点分别是和的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．与平面所成的角为 【答案】ACD 【分析】设正方体的棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断可得答案. 【详解】    设正方体的棱长为，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. 则，由得，，故，A正确. 由，则得与不垂直，B错误. 由题意得，平面的法向量为. ∵，平面， ∴平面，C正确. 由题意得，平面的法向量为， 设与平面所成的角为，则， 由得，D正确. 故选：ACD. 28．如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面. (1)若是的中点，证明:； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点为的中点 【分析】（1）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解， （2）求解平面法向量，根据法向量的夹角即可求解， （3）根据线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）连接，因为三角形是正三角形，且是的中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为四边形是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则， 可得，则，所以. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设二面角为， 则， 又二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. （3）由（1）可得， 设，可得， 由（2）可知：平面的法向量， 则由， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可知存在点，点为的中点. 29．如图，正方体的棱长为，为线段上的动点，，分别是线段，上的点，且，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另外一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离； (3)求异面直线与所成角的余弦值的最大值，并说明点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，点在靠近点的线段的三等分点处 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据条件求得，从而有，，利用线面垂直的判断定理得面，再利用面面垂直的判定定理，即可求解； （2）设是直线上任意一点，且，利用向量法，求得到直线的距离，即可求解； （3）利用线线角的向量法，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为，且， 则 ， 所以， 因为，则，即， 又，则，即， 又平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）设是直线上任意一点，且， 又，所以，得到， 则，又，设到直线的距离为， 则， 所以当时，取到最小值，最小值为，故异面直线与之间的距离为. （3）因为为的中点，所以，设， 则，，设异面直线与所成的角为， 则， 令，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以， 又当时，，即点在靠近点的线段的三等分点处. 30．如图，在正三棱柱中，，，是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则与平面成角 B．若，则平面平面 C．若，则 D．若，则三棱柱有内切球 【答案】ACD 【分析】对于A，找到线在平面上的射影，通过相关线段的长度关系求解角度；对于B，C，运用空间向量法，计算判断；对于D，三棱柱内切球，找出其半径与三棱柱棱长的关系，计算判断. 【详解】对于选项A，取中点，连接.因为正三棱柱中平面，所以就是与平面所成的角. 已知，则，. 当时，，所以，选项A正确.   对于选项B，以为原点，分别以所在直线为、、轴建立空间直角坐标系. 当时，，，，，. 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，解得. 又，， 设平面的法向量为，则， 令，解得. 计算， 所以平面与平面不垂直，选项B错误.   对于选项C，，. 已知，，，，，. 当时， ，故，选项C正确.   对于选项D，若正三棱柱有内切球，则内切球的半径等于底面正三角形的内切圆半径且等于侧棱长的一半， 即，此时，选项D正确. 故选：ACD. 题型七　异面直线所成的角 31．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】先利用向量夹角公式求出，再取绝对值得直线夹角的余弦值. 【详解】因为， 所以， 所以和夹角的余弦值为. 故答案为：. 32．北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱柱的几何特征建立空间直角坐标系，设出相邻两面钟的时针所在直线的方向向量，利用线线角的向量坐标公式计算即可求最大值. 【详解】    由题意，在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设平面上的时钟的时针的方向向量，不同时为0， 因为四面钟都正常显示标准北京时间，所以设平面上的时钟的时针的方向向量. 设相邻两面钟的时针所在直线所成角为， 则， ①当时，，则； ②当时，，因为，则， 即，则； 综上所述：，则的最大值为， 因此，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为. 故选：C. 33．已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（    ） A． B．异面直线和所成角的余弦值为 C．四棱锥的体积为 D．与三棱锥各棱均相切的球的体积为 【答案】BCD 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断AB选项；求出平行六面体的高，分析可知四棱锥的平行六面体体积的，结合柱体的体积公式可判断C选项；求出三棱锥棱切球的半径，结合球体体积公式可判断D选项. 【详解】由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 所以 ，所以，故A错误； 因为， 则 ， ， 所以， 所以，异面直线和所成角的余弦值为，故B正确； 四棱锥的体积为平行六面体体积的， 平行六面体的高即为正四面体的高，如下图所示： 设点在平面的射影为点，则为正的中心， 由正弦定理可得，， 菱形的面积为， 所以平行六面体的体积为， 所以四棱锥的体积为，故C正确； 三棱锥为正四面体，棱长为6， 设正四面体的棱切球球心为，且也为其外接球球心，则， 则，即，解得， 取线段的中点，连接，则， 且， 所以，正四面体的棱切球的半径为， 故球的体积为，故D正确. 故选：BCD. 34．在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C．当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用线面垂直的性得到，，由线面垂直的判定得面，再由面面垂直的判定，即可求解；对于B，建立空间直角坐标系，设四面体的外接球球心，半径为，根据条件直接求出，即可求解；对于C，设，求出与，再利用线线角的向量法，即可求解；对于D，，根据条件，利用线线角的向量法，得到，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，又面，面， 所以，又，面，所以， 连接，同理可证，又，面，所以面， 又面，所以平面平面，故选项A正确， 对于选项B，如图建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为， 则, 设四面体的外接球球心，半径为， 由，得到， 解得，则，则球的表面积为，所以选项B错误， 对于选项C，因为点在线段上，设， 因为，，，又， 设异面直线与所成的角为，则， 又，则，所以， 又，所以，故选项C正确， 对于选项D，易知，设，则，又， 则， 整理得到，其轨迹为平面上，以为圆心，为半径的圆， 又是侧面内的动点， 所以点的轨迹长度为，所以选项D正确， 故选：ACD. 35．正四棱台的体积为，，，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱台的体积公式求出正四棱台的高，建立空间直角坐标系，再利用向量法求解异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设正四棱台的高为, 已知体积、下底面积、上底面积, 代入正四棱台体积公式,可得， 解得高， 取AB的中点,连接OF, 取AD的中点,连接OE， 如图，以 所在的直线分别作 轴，建立空间直角坐标系， 而，， 则顶点, ，顶点 ， 直线的方向向量为,， 直线 的方向向量为，， 则， 则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为: . 故选：C. 题型八　利用空间向量解决线面角 36．已知正三棱柱的所有棱长为是中点，求： (1)直线与平面所成角的大小； (2)二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（2）求出平面的法向量和直线的一个方向向量，利用向量的夹角公式即可求解； （3）求出平面的一个法向量，结合（2）中的平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图，过点在平面内作， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 则，即，取，得， 直线的一个方向向量， 设与平面所成角为， 所以，则． （2）平面的一个法向量， 设夹角为，则， 由图可知二面角是锐二面角， 所以二面角大小为． 37．如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先判断的位置关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角、面面角和点到直线的距离. 【详解】（1）由侧面为矩形，得， 又平面，，平面， 则，， 即直线，，两两垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，， ，，.    设平面的法向量为 则，令，得， 设直线与平面所成的角为 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）， 设平面的法向量为 则，令，得， 设平面与平面的夹角为 则 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（1）（2）可知，平面的法向量为， 点到平面的距离. 38．如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点P在底面上的射影为底面的中心O，点M在棱上，且的面积为1． (1)若点M是PD的中点，证明：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判断推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，连接， 由点O为底面正方形的中心，得过点O，且点O为的中点， 由点M是PD的中点，得，又平面，平面， 所以平面． （2）由四边形是边长为的正方形，得， 由点P在底面上的射影为底面的中心O，得平面， 平面，则，由的面积为1，得，则， 又，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 由，得，则，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线PA与平面所成夹角为，则， 所以直线PA与平面所成夹角的正弦值为. 39．如图，在直三棱柱中，为的中点，.    (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先连接，再根据中位线得出，最后应用线面平行判定定理证明平面； （2）求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）连接， ∵E为中点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面；    （2）以点C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则，取，则， 设与平面所成角为， 则与平面所成角的正弦值为： ． 题型九　利用空间向量解决二面角 40．如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：； (2)已知点P为空间内一点，且满足，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可证平面，进而可得，，结合线面垂直分析证明； （2）建系标点，利用垂直关系可得，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）连接， 因为，则， 又因为平面平面，平面平面，平面 所以平面， 且平面，可得， 由题意可知：， 则，可得， 且平面，，可得平面， 又因为平面，所以. （2）因为，平面， 以D为坐标原点，向量分别为x，y轴，过点D且与向量同向的向量为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又因为， 则， 可得， 则，，， 又因为，可设， 则，                 且，有， 解得，即，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 41．如图，在三棱柱中，底面ABC是等腰直角三角形，且，D，E分别是，的中点，且平面ABC.    (1)证明：侧面为矩形； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用公式求解即可. 【详解】（1）如图，连接DE， 由题知，E是的中点，， 平面，平面，. 又，平面，. D，E分别是BC，的中点，，. 侧面为矩形.    （2）连接AD，以D为坐标原点，以直线DB，AD，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 易知，， ，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取.     ， 平面与平面的夹角的余弦值为. 42．如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求五面体的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理与矩形可得线线垂直，利用线面垂直的判定与面面垂直的判定，可得答案； （2）将图形分割为三棱柱与四棱锥，利用三棱柱与四棱锥的体积公式，可得答案； （3）由题意建立坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）证明：取棱的中点G，连接， 易证四边形为平行四边形，则， 因为，所以，所以． 因为四边形是矩形，所以． 因为，平面，且，所以平面． 因为平面，所以平面平面．    （2）取棱的中点O，连接． 因为，所以，． 因为平面平面，平面平面，所以平面． 取棱的中点H，连接， 则． （3）取棱的中点M，连接，易证两两垂直， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，则，． 设平面的法向量为，则 令，得． 平面的一个法向量为． 设平面与平面所成的角为，则． 43．如图，已知正方形和等腰梯形所在的平面互相垂直，，，. (1)求证：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作相关辅助线，证明，利用线面平行的判定定理证结论； （2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，根据垂直条件，利用向量数量积的坐标运算求点的坐标，求平面与平面的法向量，求二面角的余弦值. 【详解】（1）设与交于点，连接. 在正方形中，，所以，所以， 而，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）设的中点为，连接，由题知四边形为等腰梯形，又为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 则以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 设，，则，， 由，得，解得（舍去）. 所以，，，，， 设平面的法向量为， 则得取，则. 设平面的法向量为，则得 取，则. 因为， 易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 44．如图，四边形与四边形是全等的矩形，，，为线段上的点． (1)若，求平面与平面夹角的余弦值； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别为z轴，x轴，y轴，建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，利用公式即可求解； （2）由（1）可得，平面，所以即为直线与平面所成角，求出，即可得到P点坐标，然后利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1），又四边形与四边形是全等的矩形， 所以两两垂直，以为原点，分别为z轴，x轴，y轴，建系如图，设，则， 所以， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，解得，，所以， 设平面一个法向量为， 则，取，解得，，所以， 设求平面与平面夹角的平面角为，由图，显然为锐角， 所以. （2）由（1）可得，平面， 所以即为直线与平面所成角， 同（1），设，则， 所以，， 所以，同（1）建系，则， 所以， 所以. 45．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成夹角的余弦值． 【详解】（1）由四边形是直角梯形，，， 可得，，从而是等边三角形，，平分． 为的中点，，， 又，，平面，平面 平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）取的中点为，连接，则，连接，则有， 又因为平面平面且平面平面，平面， 平面，所以是斜线在平面上的射影． 为与平面所成的角，即，故， 如图建系，则有，，，， 所以，，，， 设为平面的法向量， 则有，即，故可取； 设为平面的法向量， 则有，即，取. 设平面与平面所成夹角为，则有 即平面与平面所成夹角的余弦值为． 题型十　利用空间向量距离问题 46．如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的法向量，然后利用向量法求解两平面夹角的余弦值； （3）利用点到平面的向量距离公式求解即可. 【详解】（1）如图所示， 建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， ， 则 设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 因为， 所以，且平面，即∥平面； （2）设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）由，平面的法向量， 则平面， 所以点到平面的距离为． 47．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，，.    (1)若为线段的中点，求证：平面. (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一：以为原点，，，，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用可得结论；法二：取、的中点分别为、，连接、、，利用线线平行证明线面平行； （2）法一：求得平面的一个法向量，利用向量法求得点到平面的距离；法二：利用等体积法求得点到平面的距离； （3）法一：设平面与平面夹角为，利用向量法可求平面与平面夹角的正弦值.法二：延长，交于点，连接.可证为平面与平面所成二面角的平面角，求解即可. 【详解】（1）法一：以为原点，，，，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，    由为线段的中点，可得，. 由题意可得为平面的一个法向量. ，且平面，平面 法二：取、的中点分别为、，连接、、，   为的中位线，，. ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 又面，面 平面 （2）法一：，. 设为平面的一个法向量，则， 不妨设，则. 设点到平面的距离为，则 法二：，，底面，，. ， 设点到平面的距离为，则由可得： ，解得： （3）设平面与平面夹角为，由题意可知，为锐角， 即平面与平面夹角的正弦值为. 法二：延长，交于点，连接.   底面为直角梯形，，，为的中位线. .又底面，，为等腰直角三角形，其中. 同理可证：. 为平面与平面所成二面角的平面角. 在中，，，，. 即平面与平面夹角的正弦值为. 48．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；或 【分析】（1）先由勾股定理证明，再由面面垂直的性质定理得到面，最后再由线面垂直的判定定理可得； （2）由几何关系建立如图所示空间直角坐标系，求出面的一个法向量，代入空间点到面的距离公式解一元二次方程可得. 【详解】（1）证明：，，，故． 又面面，面面，面， 面． 面，， 又，面，，面． （2）面，，四边形为菱形， 取的中点为，连接，，为等边三角形． ．又，． 又平面，． 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，． 设为面的一个法向量， 则  令，则． 设为点到面的距离， 则． ，即或． 故存在或，满足题意． 49．已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最小值. 【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径. ∵，平面，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵平面，，∴平面平面， ∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴点到平面的距离为， ∴圆的半径为， 由得，， ∴， ∴的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定点的轨迹为平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，结合条件计算圆的半径，结合点与圆的位置关系可求最值. 50．在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点. (1)若为的中点， （i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系； （ii）求证：平面. (2)若三棱柱是棱长均为2的正三棱柱，当二面角为时，求到平面的距离. 【答案】(1)（i）作图见解析，点在线段BE上；（ii）证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）利用重心的性质即可判断点在线段BE上. （ii）利用重心性质与对应线段比例即可证明平面 （2）建立空间直角坐标系，设，可知，所以，再利用面面角的向量求法即可求出参数，再利用点面距的向量求法即可求出结果. 【详解】（1）（i）连结，交于点，连结交BE于点. 因为为的中点，为的中点， 所以为的重心，所以. 又因为为的中线， 所以点也为的重心，所以点在线段BE上. （ii）连结，并延长交AC于点，连结DG. 因为为的重心，所以. 又因为，所以，即. 又因为平面，平面，所以平面. （2）取AB的中点. 因为为棱长相等的正三棱柱，所以为正三角形，所以. 又因为在正三棱柱中平面，所以，. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 设，可知，所以， 所以，. 设平面的法向量为，则所以 令，则可得. 易知平面的一个法向量为， 所以，即，解得（舍），或. 所以，.又， 则到平面的距离. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$