精品解析：2025年河北省石家庄市长安区初中毕业年级质量检测一模数学试卷

2025年初中毕业年级教学质量检测 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效，答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题．每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某一天这四个城市的最高气温和最低气温（单位：），则这天日温差最小的城市是（ ） A. 杭州 B. 武汉 C. 重庆 D. 拉萨 2. 如图于点，点在射线上，则线段的长不可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 截止到2025年1月24日8时，某公众号发布的某篇文章的浏览量达到万次，把“万次”表示成“次（为整数）”的形式，则的值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 4. 图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，现将小正方体①移到②的正上方后，这个几何体的三视图中不变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 俯视图与主视图 5. 已知关于一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿北偏东方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的（ ） A. 北偏东 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 北偏西 7. 某学校篮球队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16这五种情况，如图所示，其中部分数据因破损无法看到，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则年龄为14岁的队员人数可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 9. 将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22 10. 是外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（ ） A. 三种作法均正确 B. 只有作法一和作法二正确 C. 只有作法二和作法三正确 D. 只有作法二正确 11. 如图，在边长为5的正五边形中，点是对角线上一点，连接后将正五边形分成了①、②、③、④、⑤这五个三角形，则下列能确定大小的是（ ） A. ①与②的面积和 B. ②与③的面积和 C. ②与④的面积和 D. ④与⑤的面积和 12. 将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图-1所示，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点的运动时间的关系如图-2所示，以下结论：①；②；③点从点运动到点需要，正确的结论是（ ） A ③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算=________． 14. 如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点P．分别测得，，若A、B间的距离长度为偶数（单位：），那么A、B间的最大距离是________． 15. 如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 16. 如图，在中，是线段外一动点．，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则长度的最大值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知整式． （1）若，求整式； （2）对任意实数，判断整式的值能为负数吗？说明理由． 18. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 19. 数学活动课上，刘老师让同学们做一个数学游戏，规则如下：每次游戏都涉及三种运算，分别代表下面的运算．每一种运算都是在上一步运算结束后进行的一步运算．运算过程中自动添加必要的括号．如对数1按的顺序计算，列式为：． （1）求对按的顺序运算后的结果； （2）对数按的顺序运算后，结果大于．请从下面的问题①和②中选择其中一个进行解答： ①直接写出的正整数值； ②求的取值范围． 20. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下侧面结构示意图(是基座的高，是主臂，是伸展臂，)．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （1）求点P到地面的高度； （2）若，求的长．（结果保留根号）（参考数据，，，） 21. 如图，直线分别与轴及直线交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，连接． （1）直接写出点的坐标，并求直线的表达式； （2）设，求的值； （3）设直线关于轴对称的直线为，请通过计算说明点是否在上． 22. 【概念学习】 在物理学中，速度具有大小和方向．如图-1，点受到两个速度的影响，其大小分别用线段、的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的长度和方向表示与的合速度（即实际速度）的大小和方向，这种求与合速度的方法称为平行四边形法则． 【问题解决】 利用平行四边形法则解决下面的问题． （1）如图-2，若小河的水流速度为，方向为正东，小船在静水中的航行速度也为，方向为正北．根据平行四边形法则可知，小船的实际速度方向为北偏东________．方向，大小为_________； （2）如图-3，小河的水流速度仍为，若要使小船的实际速度方向为正北，大小为． ①尺规作图：在图-3中作出表示小船在静水中的速度的有向线段（保留作图痕迹，不写作图过程）；②直接写出小船在静水中航行的方向，并求其在静水中航行的速度． 23. 如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面点上方的处开出一高球（在轴上），球的运动路线可看作抛物线．运动员甲在距点的处发现球在自己的正上方达到最高点，最高点距地面．球在下落至距地面时被运动员乙（点）跳起后头顶触球（点），弹起后的运动路线看作抛物线与形状相同．且最大高度为． （1）求抛物线的表达式（不写的取值范围），并求运动员乙（点）到守门员（点）的距离（结果保留根号）； （2）求抛物线的对称轴（结果保留根号）； （3）运动员甲（点）要抢到落点，直接写出他应再向前跑多少米？（结果精确到．参考数据：取取5） 24. 如图①，在矩形中，，点P、Q分别是、的中点，点E是折线段上一点． （1）点C到直线距离的最大值是___________． （2）如图②，以为直径，在的右侧作半圆O． ①当半圆O经过点D时，求半圆O被边所在直线截得的弧长；（注：， ） ②当半圆O与边相切时，设切点为M，求值； （3）沿所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业年级教学质量检测 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效，答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题．每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某一天这四个城市的最高气温和最低气温（单位：），则这天日温差最小的城市是（ ） A. 杭州 B. 武汉 C. 重庆 D. 拉萨 【答案】C 【解析】 【分析】根据温差的定义，逐一计算，比较大小解答即可． 本题考查了有理数减法的应用，有理数的大小比较，熟练掌握运算和比较大小是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 杭州的温差为：；武汉的温差为：； 重庆的温差为：；拉萨的温差为：； 且， 故重庆的温差最小． 故选：C． 2. 如图于点，点在射线上，则线段长不可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短．根据题意利用垂线段最短即可得到最短为3，不能比3小，继而得到答案． 【详解】解：∵于点，点在射线上， ∴线段长最小值为3，不可能是2， 故选：D． 3. 截止到2025年1月24日8时，某公众号发布的某篇文章的浏览量达到万次，把“万次”表示成“次（为整数）”的形式，则的值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：∵万， ∴等于5． 故选：C． 4. 图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，现将小正方体①移到②的正上方后，这个几何体的三视图中不变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 俯视图与主视图 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，利用结合体的形状，结合小正方体移动前后三视图可得出没有发生变化的视图；根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题的关键． 【详解】解：A．原主视图为三列，小正方形个数从左往右依次是2、1、2，下对齐；新主视图为三列，小正方形个数从左往右依次是3、1、1，下对齐；主视图发生改变，故此选项不符合题意； B．原俯视图为一行三列，小正方形个数从左往右依次是1、1、1；新主视图为一行三列，小正方形个数从左往右依次是1、1、1；俯视图没有发生改变，故此选项符合题意； C．原左视图为两行一列，上下对齐；新左视图为三行一列，上下对齐；左视图发生改变，故此选项不符合题意； D．因主视图发生改变，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、相反数的定义，根据一元二次方程的两根互为相反数，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：设、是一元二次方程的两根， 根据一元二次方程的两根互为相反数， 可得：， ， 解得：．   故选：B ． 6. 如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿北偏东方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的（ ） A. 北偏东 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 北偏西 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角（与方向角有关的计算题），熟练掌握方向角的表示方法是解题的关键：方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角；注：在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度；当方向角在方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向． 由题意得，，，由图可知，，由此即可求出，进而得出乙相对于地的方向角． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 则 ， 乙位于地的南偏东， 故选：． 7. 某学校篮球队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16这五种情况，如图所示，其中部分数据因破损无法看到，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则年龄为14岁的队员人数可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据众数和中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：由图中数据可知小于14的4人，大于14的也是4人， ∴这组数据的中位数为14， ∵队员年龄的唯一的众数与中位数相等， ∴众数14， 即年龄为14的人最多， ∴14岁的队员最少有4人． 故选：D． 8. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 9. 将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程求解即可判断A，B，C选项，同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，列出方程求解即可判断D选项． 【详解】解：根据图可知：， 即，故选项A错误，选项B正确； 解得：， 经检验，是原分式方程的解，故选项C错误； 同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y， 则，解得：， 经检验，是原分式方程的解，故选项D错误； 故选：B． 10. 是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（ ） A. 三种作法均正确 B. 只有作法一和作法二正确 C. 只有作法二和作法三正确 D. 只有作法二正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线作法及性质，垂直平分线作法及性质，垂径定理等．根据题意逐一对作法进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∴，即作法一正确， 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵经过圆心， ∴，即作法二正确， 由作图可知垂直平分选段，经过圆心， ∴，故作法三正确， 故选：A． 11. 如图，在边长为5的正五边形中，点是对角线上一点，连接后将正五边形分成了①、②、③、④、⑤这五个三角形，则下列能确定大小的是（ ） A. ①与②的面积和 B. ②与③的面积和 C. ②与④的面积和 D. ④与⑤的面积和 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作于点M，过点E作于点N，根据正五边形性质得出，进而证明，解直角三角形得出，，，，再分别进行判断即可． 【详解】解：过点B作于点M，过点E作于点N，如图所示， 五边形正五边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 的值不固定，的值固定， ①与②的面积和不能确定大小， 故A不符合题意； ， 的值不固定，和的值固定， ②与③的面积和不能确定大小， 故B不符合题意； ， 和的值固定， ②与④的面积和能确定大小， 故C符合题意； ， 的值不固定，的值固定， ④与⑤的面积和不能确定大小， 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 12. 将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图-1所示，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点的运动时间的关系如图-2所示，以下结论：①；②；③点从点运动到点需要，正确的结论是（ ） A. ③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查观察函数图象，动点问题和面积结合．根据题意先通过函数图象得到，，再分别利用面积逐一分析判断即可． 【详解】解：由题意和函数图象可知：，， 当点与重合时，， ∴，解得：，①正确， 当点与重合时，，解得：，②错误， ∴， ∴， ∵， ∴点从点运动到点需要，③正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算=________． 【答案】1 【解析】 【详解】试题解析：3-2=1. 14. 如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点P．分别测得，，若A、B间的距离长度为偶数（单位：），那么A、B间的最大距离是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边的关系求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边的关系可得， ∵，， ∴，即， ∵A、B间的距离长度为偶数， ∴A、B间的最大距离是， 故答案为：10． 15. 如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，在中，是线段外一动点．，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则长度的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．当点D在的延长线上时，的长度取得最大值，可得和都是等腰直角三角形，可证，根据对应边成比例解题即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴当点D在的延长线上时（如图所示），的长度取得最大值． 由题意可得和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴长度的最大值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知整式． （1）若，求整式； （2）对任意实数，判断整式的值能为负数吗？说明理由． 【答案】（1）； （2）整式不能为负数．理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、公式法分解因式，解决本题的关键是根据平方的非负性判断整式的取值范围． 把整式，，代入，根据整式的加法法则进行计算即可； 利用公式法分解因式可得：，根据平方的非负性可得：，从而可得整式的值不能为负数． 【小问1详解】 解：整式，， ； 【小问2详解】 解：整式不能为负数， 理由如下： ， 不论为何值，， ， 即该化简结果不能为负数． 18. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根据公式简单求概率，列表法或树状图法求概率等． （1）根据题意即可得到本题答案； （2）根据题意列表算出共有的可能性，并找出符合题意的可能性即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵小王需要坐第三排，且第三排共有三个座位， ∴小王选择座位的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小王小李 小李随机坐第二排和小王随机坐第三排共有9种等可能情况，其中两位老师刚好坐在同一列的结果有两种， （两位老师刚好坐在同一列）． 19. 数学活动课上，刘老师让同学们做一个数学游戏，规则如下：每次游戏都涉及三种运算，分别代表下面的运算．每一种运算都是在上一步运算结束后进行的一步运算．运算过程中自动添加必要的括号．如对数1按的顺序计算，列式为：． （1）求对按的顺序运算后的结果； （2）对数按的顺序运算后，结果大于．请从下面的问题①和②中选择其中一个进行解答： ①直接写出的正整数值； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）①1，2；② 【解析】 【分析】本题考查实数计算，解一元一次不等式． （1）将代入运算式子中计算即可； （2）将代入运算式子中列出关于的一元一次不等式，解出的范围即为②结果，再根据实数分类中正整数定义即可写出①结果． 【小问1详解】 解：由题意得： 【小问2详解】 解：由题意得： ，解得：． ∴①正整数为：1，2． ∴②． 20. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图(是基座的高，是主臂，是伸展臂，)．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （1）求点P到地面的高度； （2）若，求的长．（结果保留根号）（参考数据，，，） 【答案】（1）点到地面的高度约为； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答； （2）根据三角形的内角和定理和解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 21. 如图，直线分别与轴及直线交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，连接． （1）直接写出点的坐标，并求直线的表达式； （2）设，求的值； （3）设直线关于轴对称的直线为，请通过计算说明点是否在上． 【答案】（1），，； （2）； （3）点不在直线上，见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式． 因为当时，可得，解方程求出，从而可得点的坐标为，根据点与点关于轴对称，可得点的坐标为；设直线的表达式为，利用待定系数法求直线的解析式即可； 分别求出和四边形的面积，把两个面积相加即可； 因为点与点关于轴对称，可知直线与直线关于轴对称，利用待定系数法求出直线的解析式，即为直线的解析式，把代入解析式，可得：，所以可知点不在直线上． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， 点的坐标为， 又点与点关于轴对称， 点的坐标为； 设直线的表达式为， 把，分别代入， 可得：， 解得：， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 点的坐标为， ， ， ， ， ，，， ， ； 【小问3详解】 解：直线与关于轴对称， 直线经过点． 设直线的表达式为， 把，分别代入， 可得：， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 点不在直线上． 22. 【概念学习】 在物理学中，速度具有大小和方向．如图-1，点受到两个速度的影响，其大小分别用线段、的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的长度和方向表示与的合速度（即实际速度）的大小和方向，这种求与合速度的方法称为平行四边形法则． 【问题解决】 利用平行四边形法则解决下面的问题． （1）如图-2，若小河的水流速度为，方向为正东，小船在静水中的航行速度也为，方向为正北．根据平行四边形法则可知，小船的实际速度方向为北偏东________．方向，大小为_________； （2）如图-3，小河的水流速度仍为，若要使小船的实际速度方向为正北，大小为． ①尺规作图：在图-3中作出表示小船在静水中的速度的有向线段（保留作图痕迹，不写作图过程）；②直接写出小船在静水中航行的方向，并求其在静水中航行的速度． 【答案】（1）， （2）①见解析；②小船应朝北偏西方向航行，速度大小为． 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，平行四边形的判定，解本题的关键在理解平行四边形法则． （1）设小船的实际速度方向为北偏东角度，根据锐角三角函数，得出，再根据特殊角的三角函数值，得出，进而得出小船的实际速度方向；再根据勾股定理，计算得出小船的实际速度大小； （2）①以点G为圆心，为半径画弧与以点N为圆心为半径画弧交点为点H，即可作出有向线段；②根据勾股定理，计算得出小船在静水中的航行速度；再设小船在静水中的航行的方向为北偏西角度，根据锐角三角函数，得出，再根据特殊角的三角函数值，得出，进而得出小船的实际速度方向． 【小问1详解】 解：设小船的实际速度方向为北偏东角度， ∵小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为3km/h， ∴， ∴， ∴小船的实际速度方向为北偏东； ∵小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为， ∴小船的实际速度为：； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①如图， ②∵小河的水流速度仍为3km/h，小船的实际速度为km/h， 小船在静水中的航行速度为：； 设小船在静水中的航行的方向为北偏西角度， ∵小河的水流速度仍为3km/h，小船的实际速度为km/h， ∴， ∴， ∴小船在静水中的航行的方向为北偏西， 综上可得：小船在静水中的航行的方向为北偏西，航行速度为． 23. 如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面点上方的处开出一高球（在轴上），球的运动路线可看作抛物线．运动员甲在距点的处发现球在自己的正上方达到最高点，最高点距地面．球在下落至距地面时被运动员乙（点）跳起后头顶触球（点），弹起后的运动路线看作抛物线与形状相同．且最大高度为． （1）求抛物线的表达式（不写的取值范围），并求运动员乙（点）到守门员（点）的距离（结果保留根号）； （2）求抛物线的对称轴（结果保留根号）； （3）运动员甲（点）要抢到落点，直接写出他应再向前跑多少米？（结果精确到．参考数据：取取5） 【答案】（1），乙到守门员的距离为 （2） （3）运动员甲要抢到落点，他应再向前跑 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题关键． （1）设抛物线的表达式为，利用待定系数法解答即可； （2）利用抛物线与形状相同，且最大高度为，得到抛物线的解析式为，利用待定系数法求得值，则结论可得； （3）由（2）知：抛物线的解析式为，令，求得点坐标，则可求，． 【小问1详解】 解：根据题意，可设抛物线的表达式为， 将代入，得：， 解得：． 的表达式为． 当时，， 解得：． 运动员乙在点的右侧， 乙到守门员的距离为． 【小问2详解】 解：由（1）得，点． 与形状相同，且最大高度为， 可设抛物线的表达式为． 将代入，得：， 解得：（舍去）． 抛物线的对称轴为． 【小问3详解】 解：抛物线的解析式为． 当时，， 解得：（舍去）． ． ． 运动员甲要抢到落点，他应再向前跑． 24. 如图①，在矩形中，，点P、Q分别是、的中点，点E是折线段上一点． （1）点C到直线距离的最大值是___________． （2）如图②，以为直径，在的右侧作半圆O． ①当半圆O经过点D时，求半圆O被边所在直线截得的弧长；（注：， ） ②当半圆O与边相切时，设切点为M，求的值； （3）沿所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，直接写出的长． 【答案】（1）5 （2）①，② （3）或3 【解析】 【分析】（1）根据斜边大于直角边可知当时，点C到直线的距离最大，故可求解； （2）①根据题意作图，求出此时，再得到圆心角的度数，利用弧长公式即可求解；②根据题意分情况作图，利用矩形的性质、勾股定理解直角三角形的应用分别求解； （3）分当点E在上时和当点E在边上时，利用勾股定理和等腰三角形与矩形的性质可求解． 【小问1详解】 解：当时，点C到直线的距离最大， ∵点P、Q分别是、的中点， ∴此时点C到直线距离为． 故答案为：5． 【小问2详解】 （2）①如图，当半圆O经过点D时，点E恰好在点D处， ∵， ∴点C在半圆O上，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴CQ弧长． ②或， 情况一：如图，当点E在线段上时，连接，延长交于点N， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 情况二：如图，当点E在边上时，点M与点E重合， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 （3）或3， 情况一：如图当点E上时，， 在中，， 解得：． 情况二：如图，当点E在边上时，连接、， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，或3． 【点睛】此题考查的是圆的综合题目，熟练掌握矩形性质、圆的性质、勾股定理及解三角形是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $