精品解析：2025年陕西省商洛市洛南县九年级中考一模数学试题

2025年陕西省初中学业水平考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 2. 航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国三艘航空母舰满载的总排水量约为217000吨．将数据217000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线交于点，则图中与一定互余的角的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 6. 已知方程的解为，则直线与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，连接，，点是优弧上一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图为某数字孪生灌区的灌溉渠道轮廓图，可近似看作抛物线的一部分，其两岸的宽度，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，已知该灌溉渠道的深度与到点O的水平距离之间的函数关系式为．某日大雨后，该计算机平台接到指令，进行泄洪，将水位从降低至．若，则泄洪后该灌溉渠道的最大水深为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解x3－9x=__________． 10. 如图是由大小相同的正六边形组成的“蜂窝图”，按此规律排列下去，则第9个图案中有_______个正六边形． 11. 2025春晚吉祥物形象“巳升升”，一亮相就收获许多观众的喜爱，它憨态可掬的外表蕴含满满的中式美好寓意．某礼品店抓住商机，分别购进50个款“巳升升”吉祥物和30个款“巳升升”吉祥物，一共花费1660元，其中款“巳升升”吉祥物的单价比款“巳升升”吉祥物的单价贵2元，则款“巳升升”吉祥物的单价为_______元． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，，顶点和的中点均在反比例函数的图象上．若，则的值为_______． 13. 如图，在矩形中，，点分别在边上，，连接，点分别在上（点G不与点A，点E重合），连接．若，则四边形的面积为_______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组：． 16. 先化简，再从中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 17. 如图，在中，，请在上分别作点（不与顶点重合），使得是等腰直角三角形．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可．保留作图痕迹，不写作法．） 18. 如图，在和中，，且．求证：． 19. 如图①，将一张长为，宽为的矩形卡片过顶点A剪去一个角后分别以为轴旋转一周，得到两个几何体（图②，图③）．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 20. 一个不透明的袋子中共有5个小球，这5个小球上各标有一个数字，分别为，这些小球除所标数字外完全相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球1次，摸到的小球上的数字为偶数的概率为_______； （2）随机摸球2次，请用画树状图或列表的方法，求出两次摸到的小球上的数字之和为0的概率． 21. 为重温八路军东渡黄河出师抗日的红色记忆，某校组织学生到八路军东渡黄河出师抗日纪念碑所在地研学，大家被纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的高度，于是师生组成综合与实践小组进行测量活动，测量碑体的高度，记录如下： 活动项目 测量八路军东渡黄河出师抗日纪念碑的高度 活动方案 “测角仪”方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 选取与纪念碑底部B位于同一水平地面的处，分别用测角仪测量纪念碑顶部A的仰角． 同一时刻下，纪念碑的影子顶端落在地面点D处，垂直于地面放置的标杆的影子顶端落在地面点P处；站在F处眼睛E恰好看到纪念碑顶部A和标杆顶端C共线． 测量数据 备注 点共线，；参考数据： 点共线；共线；均与地面垂直 请你从以上两种方案中任选一种，计算纪念碑的高度．（结果保留整数） 22. 物体通常有热胀冷缩现象，根据调查及查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度 0 5 10 15 20 … 体积 … （1）根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是_______函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； （3）在温度为时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 23. 生态文明建设同每个人息息相关，“节”尽所“能”践行绿色低碳生活，每个人都是践行者、推动者．某校九年级数学综合实践小组想了解学校周边社区每户居民每月使用天然气的情况，从该社区去年1月份住户使用天然气数量统计表中随机抽取了20户的数据（单位：），经整理，绘制了如下的统计图表． 组别 用气量 组内平均数 A 8 B 17 C 27 D 33 C组数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）这20个数据的中位数为_______； （2）试求这20户居民去年1月份的总用气量； （3）若该社区有1200户居民，今年1月份每户的用气量比去年1月份减少，请估计这1200户居民今年1月份节约的天然气量． 24. 如图，内接于，直线与相切于点，连接并延长交直线于点，交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标． 26. 问题提出 （1）如图①，在等边三角形中，，点为上一动点，求的最小值； 问题解决 （2）如图②，某市计划将四边形修建为一个批发市场，其中E为该批发市场的车辆入口，为货物零售区域，现需在边上的点F处设置一个快递分类装车点，并修建车道用来运送货物．已知．为节约成本，需将车道修建的尽可能短，则的值是否存在最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省初中学业水平考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解:∵， ∴的倒数是． 故选择A． 【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键． 2. 航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国三艘航空母舰满载的总排水量约为217000吨．将数据217000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成的形式，其中，n是正整数且n的值比原数的整数位少1；根据科学记数法的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：B 3. 如图，直线交于点，则图中与一定互余的角的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是垂直的定义，互余的含义，根据垂直的含义与对顶角的性质可得，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴图中与一定互余的角的个数为个， 故选：C 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同底数幂的乘法运算、合并同类项、积的乘方运算、幂的乘方运算、完全平方公式等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查整式混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、合并同类项、积的乘方运算、幂的乘方运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关整式运算法则是解决问题的关键． 5. 如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 6. 已知方程的解为，则直线与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据两函数交点坐标即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴方程组的解为， ∴直线与直线的交点坐标为， 故选：A． 7. 如图，是的弦，连接，，点是优弧上一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、三角形内角和、等腰三角形的判定与性质等知识，先由得到，结合等腰三角形性质及三角形内角和定理得到，最后由圆周角定理即可得到答案，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， ， ，则， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图为某数字孪生灌区的灌溉渠道轮廓图，可近似看作抛物线的一部分，其两岸的宽度，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，已知该灌溉渠道的深度与到点O的水平距离之间的函数关系式为．某日大雨后，该计算机平台接到指令，进行泄洪，将水位从降低至．若，则泄洪后该灌溉渠道的最大水深为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先求解二次函数的解析式，再求解对称轴方程与顶点纵坐标，判定，再进一步求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 把代入， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点纵坐标为：， ∵， ∴， ∴， ∴泄洪后该灌溉渠道的最大水深为， 故选：B 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 10. 如图是由大小相同的正六边形组成的“蜂窝图”，按此规律排列下去，则第9个图案中有_______个正六边形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的数字规律，通过前面几个图案得到正六边形个数的规律为，将代入即可得到答案．根据图形准确找出规律是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知， 第1个图案有个正六边形； 第2个图案有个正六边形； 第3个图案有个正六边形； 第个图案有个正六边形； 当时，则第9个图案中有个正六边形， 故答案为：． 11. 2025春晚吉祥物形象“巳升升”，一亮相就收获许多观众的喜爱，它憨态可掬的外表蕴含满满的中式美好寓意．某礼品店抓住商机，分别购进50个款“巳升升”吉祥物和30个款“巳升升”吉祥物，一共花费1660元，其中款“巳升升”吉祥物的单价比款“巳升升”吉祥物的单价贵2元，则款“巳升升”吉祥物的单价为_______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，设款“巳升升”吉祥物的单价为元，则款“巳升升”吉祥物的单价为元，由题中等量关系列一元一次方程求解即可得到答案．读懂题意，准确找到等量关系列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设款“巳升升”吉祥物的单价为元，则款“巳升升”吉祥物的单价为元， 购进50个款“巳升升”吉祥物和30个款“巳升升”吉祥物，一共花费1660元， 可得方程为， 解得， 答：款“巳升升”吉祥物的单价为元， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，，顶点和的中点均在反比例函数的图象上．若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，进而得到菱形的边长为，过点作轴，过点轴，如图所示，由菱形性质得到相关线段长及角度，再由含的直角三角形性质得到、，将代入反比例函数表达式得一元二次方程求解得到或，最后由待定系数法代值求解即可得到答案． 【详解】解：设， ， 菱形的边长为， 过点作轴，过点轴，如图所示： ，， ， 在中，，，则，， 即； 在中，，，则，， 即； 顶点和点均在反比例函数的图象上， ，即， 解得或， 或（与重合，舍去）， ，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数，涉及反比例函数图象与性质、菱形性质、平行线性质、含的直角三角形性质、解一元二次方程等知识，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 13. 如图，在矩形中，，点分别在边上，，连接，点分别在上（点G不与点A，点E重合），连接．若，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，，过作于，作于，求解，，设，则，可得，证明四边形是菱形，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过作于，作于， ∵矩形，， ∴，，， ∵， ∴，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，菱形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂运算、算术平方根运算、化简绝对值运算等知识，先分别计算负整数指数幂、算术平方根及去绝对值，再由有理数加减运算求解即可得到答案．熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．首先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分，即可求解． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴， ∴不等式组的解集为：． 16. 先化简，再从中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式的值为 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在，，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的的值代入即可解答． 【详解】解： ； 由分式有意义的条件可知， ， ∴不能取，可取， 当时，原式． 17. 如图，在中，，请在上分别作点（不与顶点重合），使得是等腰直角三角形．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可．保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】 解：如图所示： 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查复杂作图，涉及基本尺规作图-作角平分线、基本尺规作图-作垂线，根据题意，，且是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质，作出一个角即可，从而先作的角平分线得到的角，再过角平分线与边的交点作边的垂线，垂足为，即可得到题中要求的是等腰直角三角形，熟练掌握五种基本尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】略 18. 如图，在和中，，且．求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质；先由得到，再由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形性质即可得证．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】略 19. 如图①，将一张长为，宽为的矩形卡片过顶点A剪去一个角后分别以为轴旋转一周，得到两个几何体（图②，图③）．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 【答案】 解：图③中圆锥的体积更大．理由如下： 设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为， 则， ∴． ∴，则， ∴图③中圆锥的体积更大． 【解析】 【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小，先计算体积，再作差比较大小即可. 【详解】略 20. 一个不透明的袋子中共有5个小球，这5个小球上各标有一个数字，分别为，这些小球除所标数字外完全相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球1次，摸到的小球上的数字为偶数的概率为_______； （2）随机摸球2次，请用画树状图或列表的方法，求出两次摸到的小球上的数字之和为0的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率问题、两步概率问题及简单概率公式，掌握列举法求概率是解决问题的关键． （1）根据题意，得到偶数是共3个，由简单概率公式代值求解即可得到答案； （2）列表，得到所有两个数字之和的结果数，再得到两次摸到的小球上的数字之和为0的结果数，代入简单概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：这5个小球上各标有一个数字，分别为，其中偶数是共3个， 随机摸球1次，摸到的小球上的数字为偶数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二次 第一次 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 4 由上表可知，共有25种等可能得结果，其中数字之和为0的结果有5种， 两次摸到的小球上的数字之和为0的概率为． 21. 为重温八路军东渡黄河出师抗日的红色记忆，某校组织学生到八路军东渡黄河出师抗日纪念碑所在地研学，大家被纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的高度，于是师生组成综合与实践小组进行测量活动，测量碑体的高度，记录如下： 活动项目 测量八路军东渡黄河出师抗日纪念碑的高度 活动方案 “测角仪”方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 选取与纪念碑底部B位于同一水平地面的处，分别用测角仪测量纪念碑顶部A的仰角． 同一时刻下，纪念碑的影子顶端落在地面点D处，垂直于地面放置的标杆的影子顶端落在地面点P处；站在F处眼睛E恰好看到纪念碑顶部A和标杆顶端C共线． 测量数据 备注 点共线，；参考数据： 点共线；共线；均与地面垂直 请你从以上两种方案中任选一种，计算纪念碑的高度．（结果保留整数） 【答案】纪念碑的高度约为米； 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，相似三角形的应用； 选择①：设，可得，结合，再进一步求解即可； 选择②：如图，过作于，交于，证明，可得，设，由，证明，再进一步求解可得答案． 【详解】解：选择①： 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； ∴纪念碑的高度约为米； 选择②：如图，过作于，交于， ∴结合题意可得：，， ∵纪念碑的影子顶端落在地面点D处，垂直于地面放置的标杆的影子顶端落在地面点P处； ∴， ∵， ∴，，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴纪念碑的高度约为米； 22. 物体通常有热胀冷缩现象，根据调查及查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度 0 5 10 15 20 … 体积 … （1）根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是_______函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； （3）在温度为时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 【答案】（1） 如图，描点画图如下： 一次 （2） （3） 解：当时， ∴， ∵， ∴将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），有酒精溢出． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）先描点，再画图，再根据图象判断函数类型即可； （2）先利用待定系数法求解函数解析式，再检验即可； （3）把代入计算的值，再与比较即可． 【小问1详解】 解：根据图象可得：体积y（单位：L）和温度x（单位：）的一次函数； 【小问2详解】 解：体积y（单位：L）和温度x（单位：）的解析式为， 把与代入可得： ， 解得：， ∴体积y（单位：L）和温度x（单位：）的解析式为； 经检验，解析式符合题意； 【小问3详解】 略 23. 生态文明建设同每个人息息相关，“节”尽所“能”践行绿色低碳生活，每个人都是践行者、推动者．某校九年级数学综合实践小组想了解学校周边社区每户居民每月使用天然气的情况，从该社区去年1月份住户使用天然气数量统计表中随机抽取了20户的数据（单位：），经整理，绘制了如下的统计图表． 组别 用气量 组内平均数 A 8 B 17 C 27 D 33 C组数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）这20个数据的中位数为_______； （2）试求这20户居民去年1月份的总用气量； （3）若该社区有1200户居民，今年1月份每户的用气量比去年1月份减少，请估计这1200户居民今年1月份节约的天然气量． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，求一组数据的平均数，条形统计图，根据统计图信息得出相应的量，是解题的关键． （1）根据中位数的定义进行求解即可； （2）根据组内平均用气量和组内户数求出这20户家庭去年1月份的总用气量即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据条形统计图可知：组有2户，B组有6户，C组有9户，D组有3户， ∴将20个数据从小到大进行排序，排在第10和11的两个数据一定落在C组， ∵C组数据：， 从小到大的顺序排序为：， ∴第10个，第11个数据的平均数为； ∴这20个数据的中位数为； 【小问2详解】 解：这20户家庭去年1月份的总用气量为： ； 【小问3详解】 解：去年每户家庭1月份的用气量约为：， ∵每户家庭今年1月份的用气量都比去年1月份各自家庭的用气量节约， ∴今年每户家庭1月份的节约用气量约为：， ∴估计这1200户家庭今年1月份的总用气量比去年1月份的总用气量节约： ． 24. 如图，内接于，直线与相切于点，连接并延长交直线于点，交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接并延长，交于点，连接，如图所示： 直线与相切于点， ，即， 是的直径， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，如图所示，由切线性质得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得证； （2）连接，如图所示，由（1）中，结合同弧所对的圆周角相等得到，进而判定，利用相似比求出、及，设，，由勾股定理求得，再由中垂线的判定得到，利用等面积法求出，在中，由勾股定理得出，最后再由相似三角形的判定与性质，由相似比列式求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由（1）知， ， ， ， ， ，则， ， ，解得，则， 设，， 是的直径， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 即，， ，， 是的中垂线， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 由（1）知， ，则， ，解得． 【点睛】本题属于圆综合，难度较大，涉及圆的基本性质、切线性质、圆周角定理及其推论、圆中弦与圆周角的关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理、中垂线的判定与性质、等面积法求线段长等知识，熟记圆的性质、相似三角形的判定与性质，掌握圆的综合问题的解法是解决问题的关键． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标是或 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数与相似三角形综合、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法求二次函数表达式即可得到答案； （2）先求出关于轴对称得到抛物线，由题意可知，从而由题中和相似，分两种情况分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点， ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线关于轴对称得到抛物线， 抛物线的函数表达式为， ，抛物线的对称轴为， ，， ， ， 若和相似，则分两种情况：①；②； 设，则， 当时， ，则， ，则， 解得或（与重合，舍去）， 为抛物线上一点且在轴上方， ； 当时， ，则， ，则， 解得或（与重合，舍去）， 为抛物线上一点且在轴上方， ； 综上所述，当和相似时，符合条件的点的坐标是或． 26. 问题提出 （1）如图①，在等边三角形中，，点为上一动点，求的最小值； 问题解决 （2）如图②，某市计划将四边形修建为一个批发市场，其中E为该批发市场的车辆入口，为货物零售区域，现需在边上的点F处设置一个快递分类装车点，并修建车道用来运送货物．已知．为节约成本，需将车道修建的尽可能短，则的值是否存在最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在最小值，为 【解析】 【分析】（1）作点关于的对称点，连接、，如图所示，从而得到，由由三角形三边关系可知，则当三点共线时，有最小值，为，由等边三角形性质及平行四边形的判定与性质即可得到答案； （2）根据题意，由“定弦定角”模型可知，点在的外接圆上运动，进而得到点在上运动，作点关于的对称点，连接、、，如图所示，求的最小值就是求的外接圆半径，为便于计算，将图补全，在圆中结合圆内接四边形、垂径定理和含的直角三角形性质求出线段长即可得到答案． 【详解】解：（1）作点关于的对称点，连接、，如图所示： 点与点关于对称， ，则， ， 由三角形三边关系可知，则当三点共线时，有最小值，为， 连接，如图所示： 在等边三角形中，，；由对称性可知，，， ，则， ， 四边形是平行四边形，则， 故的最小值为； （2）存在最小值， ，， ， ， 由三角形内角和定理可知，， ， 由“定弦定角”模型可知，点在的外接圆上运动，如图所示： 计划将四边形修建为一个批发市场，为货物零售区域， 点在上运动， 作点关于的对称点，连接、、，如图所示： 将图补全，作出的外接圆，作线段的中垂线，交于点，过点作，作，过作，如图所示： 在圆内接四边形中，，则， ， 在中，由垂径定理可知，则， 在中，，，则，， 与重合， ，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 的外接圆半径， 的最小值为． 【点睛】本题属于中考数学压轴题，考查动点最值问题的两种类型：①轨迹是直线型；②轨迹是圆弧型；综合性强、难度较大，涉及动点最值问题-将军饮马模型的解法、动点最值问题-点圆模型的解法，主要知识点是对称性、三角形三边关系、平行四边形的判定与性质、辅助圆定弦定角模型、圆内接四边形、垂径定理、勾股定理和含的直角三角形性质等，掌握动点最值问题的基本模型及解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $