精品解析：河南省信阳市信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二下学期03月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期03月测试（二） 数学试题 命题人：李鑫海 审题人：王悦 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分） 1. 在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 2. 两个变量的相关关系有正相关，负相关，不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是　　 A. B. C. D. 3. 下表是离散型随机变量X的分布列，则常数m的值是（ ） X 21 22 23 24 P m A. B. C. D. 4. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 5. 直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. x-y-1=0 B. x-y-2=0 C. x+y-1=0 D. x+y+1=0 6. 设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 8. 定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题（每小题6分，共3小题，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 非零向量，，若，则为钝角 10. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面所成的最大角为 C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 三、填空题（每小题5分，共3小题，共15分） 12. 12月4日为国家普法日，某校特举行普法知识竞赛，其中一个环节是从6道题中采用不放回的方式抽取两道进行作答，选手甲能正确回答其中的4道题，则甲在第一次抽到的题能回答正确的条件下，第二次抽到的题也能回答正确的概率为________. 13. 若的展开式中的常数项为，则实数的值为________． 14. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______． 四、解答题（共77分） 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． （1）求的通项公式； （2）若，记的前项和为，证明：． 16. 某电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”的人数为25人. （1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，依据小概率值＝0.05的独立性检验，能否据此认为“体育迷”与性别有关？ 性别 “体育迷”情况 合计 非体育迷 体育迷 男 女 10 55 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，均值和方差． 附：，其中. 0.05 0.01 3.841 6.635 17. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知直线经过点，且与椭圆交于，两点，的中点坐标为． （1）求的方程； （2）若与抛物线交于，两点，求的面积（为坐标原点）． 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间内有最小值，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不同的解，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期03月测试（二） 数学试题 命题人：李鑫海 审题人：王悦 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分） 1. 在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用等差数列的性质计算 【详解】a1＋a7＝a3＋a5＝10. 故选：C 2. 两个变量的相关关系有正相关，负相关，不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别分析三个图中的点的分布情况，即可得出图是正相关关系，图不相关的，图是负相关关系． 【详解】对于，图中的点成带状分布，且从左到右上升，是正相关关系； 对于，图中的点没有明显的带状分布，是不相关的； 对于，图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是负相关关系． 故选D． 【点睛】本题考查了利散点图判断相关性问题，是基础题． 3. 下表是离散型随机变量X的分布列，则常数m的值是（ ） X 21 22 23 24 P m A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率和为1列式求解即可. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：B. 4. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】将椭圆的方程化为标准形式，进而根据焦距求出m的值. 【详解】将椭圆的方程化为标准形式为 ， 显然，即， ，解得. 故选：D 5. 直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. x-y-1=0 B. x-y-2=0 C. x+y-1=0 D. x+y+1=0 【答案】C 【解析】 【分析】令y=0,则x=-1,令x=0,则y=1,确定直线x-y+1=0关于y轴对称的直线经过的点，再利用截距式方程即可求解. 【详解】令y=0,则x=-1,令x=0,则y=1, ∴直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0), 由直线的截距式方程可知, 直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程是x+y=1, 即x+y-1=0. 故选：C 【点睛】本题考查了直线的截距式方程、直线关于坐标轴对称的直线，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 6. 设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，可得，然后分别求得，最后可得直线方程. 【详解】由函数为奇函数 所以 由 所以 所以，则 所以 所以所求切线方程为，即 故选：B 7. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 【答案】B 【解析】 【分析】首先分步：先安排医生，再安排护士，其次特殊元素护士甲和护士乙捆绑，即护士名可分为和两类，应用分类和分步计数原理可得总的分配方法. 【详解】先安排医生，再安排护士. 安排医生，方法数有种； 再安排护士，护士名，由于护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，故可分为和两类： 如果是，一共有种， 如果是，又分为若甲乙在人小组中，则有种； 若甲乙在人小组中，则有种， 最后将分好的三组医生、三组护士全排列安排到三个医疗点， 所以一共有种分配方法. 故选：B. 8. 定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求出蒙日圆的方程，求出直线与蒙日圆的交点、的坐标，求出直线、的斜率，分析可知当点与点、重合时，为直角，即可得出的值. 【详解】根据蒙日圆定义，圆方程为， 因为直线与圆交于、两点，联立，可得或， 即点、， 当点与点或重合时，为直角，且，， 所以，直线的斜率为或. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共3小题，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 非零向量，，若，则为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的基本性质即可判断选项AC，选项B利用空间坐标系的点对称做出判断，选项D利用向量的数量积做出判断即可. 【详解】选项A：空间基底向量是三个不共线的空间向量， ∴不共线，将其想象为立方体相邻的三条两两垂直的棱， ∴也不共线，可以作为一组基底，A选项正确. 选项B：点关于坐标平面的对称点是，选项B错误. 选项C：由，由空间向量共面的推论可知成立，选项C正确. 选项D：，则， ∴可能为平角，选项D错误. 故选：AC 10. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接运用排列数化简即可判断；利用组合数的性质可判断B，利用阶乘的裂项法可判断C、D. 【详解】对于A，， 而，所以不一定成立，故A不正确； 对于B，因为， 所以 ，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，∵，，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面所成的最大角为 C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确； 对于B选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于C选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为， ，圆心角依次为， 圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共3小题，共15分） 12. 12月4日为国家普法日，某校特举行普法知识竞赛，其中一个环节是从6道题中采用不放回的方式抽取两道进行作答，选手甲能正确回答其中的4道题，则甲在第一次抽到的题能回答正确的条件下，第二次抽到的题也能回答正确的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件概率的求法，设第一次抽到的题能回答正确为事件，第二次抽到的题能回答正确为事件，则第一次和第二次抽到的题都能正确回答为事件，分别求得，，代入公式求解. 【详解】设第一次抽到的题能回答正确为事件，第二次抽到的题能回答正确为事件， 则第一次和第二次抽到的题都能正确回答为事件， 则， ， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13. 若的展开式中的常数项为，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】的通项公式为，则： ①， 为常数时，则常数为， ②，为常数时，不符， ③，为常数时，则常数为， 又，． 故答案为：1． 【点睛】思路点睛：本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．求多项式乘积的某一项，需结合多项式乘法法则，确定求出二项式中的项与另一多项式中的项相乘符合要求的项，然后求得结论． 14. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程可得，，然后得到，再根据为定值列方程，解方程即可. 【详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立得， 设、，则，， ，同理可得， 所以， 因为为定值，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 四、解答题（共77分） 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． （1）求的通项公式； （2）若，记的前项和为，证明：． 【答案】（1）； （2） 由上可知， 所以 ， 易知， 令，显然定义域上单调递减，， 所以，故. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与前n项和的性质及等比中项，计算通项公式基本量即可； （2）利用裂项相消法求和，结合数列的单调性证明即可. 【小问1详解】 设的公差为，则，所以， 又为，的等比中项，则， 解之得，故； 【小问2详解】 略 16. 某电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”的人数为25人. （1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，依据小概率值＝0.05的独立性检验，能否据此认为“体育迷”与性别有关？ 性别 “体育迷”情况 合计 非体育迷 体育迷 男 女 10 55 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，均值和方差． 附：，其中. 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】（1）列联表见解析，认为“体育迷”与性别无关 （2）分布列见解析，＝，＝ 【解析】 【分析】（1）根据公式计算出的观测值，再依据临界值表给出判断. （2）利用二项分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差. 【小问1详解】 在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下： 性别 “体育迷”情况 合计 非体育迷 体育迷 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为：“体育迷”与性别无关． 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 ＝ ≈3.030<3.841＝ 根据小概率值＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为“体育迷”与性别无关． 【小问2详解】 由频率分布直方图，知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意知，从而的分布列为 0 1 2 3 ＝3×＝，＝3××＝. 17. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为⊥底面圆，圆， 所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知直线经过点，且与椭圆交于，两点，的中点坐标为． （1）求的方程； （2）若与抛物线交于，两点，求的面积（为坐标原点）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出其方程，再与椭圆方程联立验证即可. （2）将直线的方程与抛物线方程联立，求出三角形面积. 【小问1详解】 依题意，直线经过点，则直线的斜率为， 直线的方程为，即，设 由消去得， ，，， 因此线段的中点坐标为，符合题意， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，直线的方程为，设点， 由消去得，则， 所以的面积. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间内有最小值，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不同的解，，求证：． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3） 证明：不妨设， 由题意得消去得， 设，代入上式得， ， 下证， 即证． 设，则， 令，则， 所以在区间内单调递增，即， 所以在区间内单调递增，即， 所以，所以， 因为，，所以． 【解析】 【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可； （2）通过讨论的范围，判断在区间内单调性，从而得出的取值范围； （3）根据题意分析可得：若，是关于的方程的两个不同的解，通过联立方程组消去，再通过换元，整理得到，结合的单调性分析运算得到，从而得证. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，，随的变化情况如下表所示： 0 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 当时，，所以在区间内单调递减，无最小值，不合题意． 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值． 当时，，所以在区间内单调递增，无最小值，不合题意． 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $