专题06 平行四边形性质求解与证明（7题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题06 平行四边形性质求解与证明 题型概览 题型01利用性质求度数 题型02利用性质求线段 题型03利用性质求周长 题型04利用性质求面积 题型05 利用性质其它求解计算问题 题型06 利用性质证明求解问题 题型07 利用性质画图问题 ( 题型01 ) 利用性质求度数 1．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)如图，在中，，，是对角线上两点，，，则的度数为（　　） A．19° B．29° C．38° D．43° 2．(23-24八下·浙江金华东阳横店镇四校联考·期中)如图在平四边形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对称点为点，延长和交于点，连接交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．(21-22八下·浙江杭州十三中教育集团·期中)如图，与的周长相等，且，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 5．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 7．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)已知在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．(23-24八下·浙江宁波余姚·期中)如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．(20-21八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)在平行四边形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．(22-23八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 12．(23-24九上·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 13．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中的度数为 ． 14．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，，，则的度数是 ． 15．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)在中，若，则 ． 16．(23-24八下·浙江台州路桥区十校联盟·期中)如图，点A，B，F在同一直线上，四边形是平行四边形，，平分，则 °． 17．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)如图，在中，，则 ．    ( 题型02 ) 利用性质求线段 1．(22-23八下·浙江温州瑞安安阳六校联考·期中)如图，在中，对角线与交于点，，为中点，若的周长为32，的周长比的周长多4，则的长为（   ） A． B．5 C．4 D． 2．(23-24八下·陕西西安第九十九中学·期末)如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)的周长为，对角线交于点O，且的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 5．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，的周长为16，对角线交于点O，且的周长比的周长多2，则为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 7．如图，中，的平分线交于E，，则的长（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 8．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，对角线，交于点，平分交于点，连结．若，，则的长为（   ）    A． B． C．7 D． 9．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)如图，在中，的角平分线交边于点E，的角平分线交边于点F，若，，则线段的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 10．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（    ） A．5 B． C． D．7 11．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)如图，平行四边形的对角线交于点O，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．(23-24八下·浙江杭州上城区杭州中学·期中)如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 13．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 14．(24-25九上·浙江金华婺城区·期中)如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 15．(23-24八下·浙江金华婺城区名校联盟·期中)图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）．记①，②，③，④的面积分别为，，，，已知． （1） ．； （2）若的周长比长方形③的周长大18，则为 ． 16．(23-24八下·浙江杭州拱墅区杭州观成实验学校·期中)如图，已知平行四边形的周长是12，对角线与交于点，的周长比的周长多1，则的长为 . 17．(23-24八下·浙江温州瑞安五校联考·期中)如图，为的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为 ． 18．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，在中，，的平分线交于点E，若，，则的长是 ． 19．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)如图，已知的对角线与相交于点O，，将沿着直线翻折，使点B的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长度为 ． 20．(23-24八下·浙江杭州萧山区萧山区红垦学校·期中)如图，将一副三角尺中，含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边重合，，分别是边，上的两点，与交于，且四边形是面积为的平行四边形，则线段的长为 ． 21．(23-24八下·浙江宁波兴宁中学·期中)如图，在中，平分交于点，交的延长线于点，，则的长为 ． 22．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，的平分线与的平分线交于点．若点恰好在边上，，，则的长为 ． ( 题型03 ) 利用性质求周长 1．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)如图，在平行四边形中，，与的平分线交于点，则平行四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．(22-23八下·浙江杭州文理中学·期中)如图，点是的边的中点，的延长线交于点．则的周长为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 3．(2024·江苏省徐州市·模拟)如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．15 D．21 4．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)如图，在平行四边形，是、的交点，若的周长为，则平行四边形的周长为(　　) A． B． C． D． 5．(22-23八下·浙江杭州拱墅区大关中学教育集团·期中)在中，，，，则的周长是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 6．(22-23八·浙江温州第二中学·期中)如图，中，是的平分线，则周长为（    ） A．20 B．24 C．32 D．40 7．(22-23八下·浙江杭州拱墅区锦绣育才教育集团·期中)如图，中，，的垂直平分线交于点，则的周长是（　　）    A．6 B．8 C．9 D．10 8．(20-21八下·浙江温州乐清五校联考·期中)如图，在周长为的，相交于点O，交于E，则的周长为(   ) A． B． C． D． 9．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 10．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)如图，在中，平分交边于点，且，则的周长为 ． 11．(22-23八下·浙江杭州拱墅区锦绣育才教育集团·期中)在中，，的平分线交平行四边形的边于点E，若，则的周长是 ． 12．(22-23八下·浙江杭州上城区绿城育华学校·期中)如图，在中，．点E，F，D分别在AB，AC，BC上，且是平行四边形．若和的周长分别为5和10，则的周长是 ． 13．(20-21八下·浙江杭州文海实验学校·期中)如图，的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，若，则的周长 ． ( 题型04 ) 利用性质求面积 1．(22-23八下·浙江宁波镇海区中兴中学·期中)将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边恰好重合，已知，E，F分别是边上的动点，当四边形为平行四边形时，该四边形的面积是（    ） A． B． C． D．81 2．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，在中，点E是上的一点，且，F是上的一点，已知的面积为4，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为，，是平行四边形边上的两点，且将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段的长度取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24八下·浙江杭州西湖区·期中)如图，在中，是对角线上一点，连接.若，的面积分别为，则下列关于的等量关系中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．(22-23八下·浙江绍兴嵊州三界镇蒋镇学校·期中)如图，一块平行四边形的土地被分成4块小平行四边形，用来种植红、黄、蓝、白四种不同颜色的花卉，其中种植红、黄、蓝颜色花卉土地的面积分别是20，，，则种植白色花卉土地的面积为（    ）    A． B．50 C．54 D．60 6．(22-23八下·浙江金华义乌绣湖中学教育集团·期中)如图，平行四边形中，对角线交于点O，且，E、F分别为上两点，且，连接，则与的面积比为（　　）    A． B． C．1 D． 7．(22-23八下·浙江宁波宁海县北片·期中)如图是一个由张直角三角形纸片和张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论： ①； ②如果，则； ③若，则； ④如果P点在对角线上，则； ⑤若，则P点一定在对角线上 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)如图，在四边形中，，，，，若四边形内部有一点，使得四边形为平行四边形，且与四边形的面积比为，则四边形的面积为 ． 10．(23-24八下·浙江杭州采荷中学·期中)如图，四边形和四边形都是平行四边形，经过点，若的面积等于，则平行四边形的面积为 ． 11．(23-24八下·浙江宁波第七中学·期中)如图，点是平行四边形的对称中心，是边上的点，，是边上的点，且．若分别表示和的面积，则 ． 12．(22-23八下·浙江绍兴嵊州三界镇蒋镇学校·期中)如图平行四边形中，线段长，这个平行四边形的面积是 ．    13．(22-23八下·浙江温州龙湾区部分校·期中)如图，在中，是边上一点．已知，，则的面积是 ．    14．(22-23八下·浙江宁波余姚姚江中学·期中)如图，在平行四边形中，点F是上一点，，点E是的中点，平分，，则的面积是 ． 15．(22-23八下·浙江温州瓯海区外国语学校·期中)如图，在平行四边形中，，，则平行四边形的面积是 ． 16．(21-22八下·浙江杭州杭州外国语学校·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上的点，AF与ED相交于点G，BF与EC相交于点H，△AEG、△BEH、△CFH的面积分别是3cm2、12cm2、6.8cm2，则△DFG的面积为 ． ( 题型0 5 )利用性质其它求解计算问题 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)如图，在中，平分交于点． (1)若，求的长； (2)若是的中点，连结，求证：平分． 2．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)如图，在中，的平分线交的延长线于点，交于点． (1)求证：． (2)连结，若，且，求的长． 3．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)已知中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点停止运动时点也停止，设运动时间为，若，当t为多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． (3)在（1）的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，直接写出：的面积为． 4．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)如图，在中，是边上的一点，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)若是的中点，求证：； (2)若于点，，且，，求与的距离． 5．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若CD=CP，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． ( 题型0 6 )利用性质证明求解问题 1．(23-24八下·浙江杭州杭州第六中学·期中)如图，的对角线，相交于点O，点E、F在AC上，且．求证：    (1)． (2)． 2．(23-24八下·浙江绍兴新昌县拔茅中学·期中)如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，，连接，． (1)求证：． (2)连接交于点，若，，求的长． 3．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)如图，已知在中，对角线，交于点O，E，F分别是线段，的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 4．如图，在平行四边形中，延长至点F使，连接交于点E． (1)求证：点E是线段的中点； (2)连接，若，，求的长． 5．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)如图，在中，分别平分和，交于点E、F．    (1)求证：； (2)过点E作于点G，若的周长为，求的面积． 6．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)如图1，在中，点E为中点，延长线交于点F． (1)求证：． (2)若时，记与之间的距离为，与之间的距离为，求的值． (3)如图2，连接，在（2）的条件下，求证：． 7．(22-23八下·浙江温州星汇教育集团·期中)如图，在中，的平分线交于点F，交的延长线于点E．    (1)求证： (2)连接，若，，求的面积． ( 题型0 7 )利用性质画图问题 1．(22-23八下·浙江温州鹿城区实验中学·期中)如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 2．(22-23八下·浙江温州瑞安西部联盟·期中)如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接，． (1)在图甲中画出一个以为边的平行四边形，且它的周长等于； (2)在图乙中画出一个以为对角线的平行四边形，且它的面积为． 3．(21-22八下·浙江温州龙湾区·期中)如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． (1)在图甲中画出以点A为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． (2)在图乙中画出线段AB的中点O． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 4．(21-22八下·浙江宁波第七中学·期中)如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1． (1)以为边在图1中画一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积为12； (2)以为对角线在图2中画一个平行四边形（非正方形），使每个顶点都在格点上，且面积为10． 5．(21-22八下·浙江温州部分校·期中)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点，均在格点上． (1)在图1中画出以为边且面积为6的，点和点均在格点上（画出一个即可）． (2)在图2中画出以为对角线且面积为6的，点和点均在格点上（画出一个即可）． 6．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求画图： （1）在图甲中，画出一个平行四边形，使其面积为6； （2）在图乙中，画出一个平行四边形，使其有一个内角为． 1．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在四边形中，，边上存在一点，点、分别为、上的两动点，当点从点匀速运动到点时，点恰好从点运动到点．记，，已知． (1)判断是否为定值，并说明理由． (2)当为中点时，． ①求，的长； ②当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，求的值． 2．(22-23八下·浙江杭州萧山区八校·期中)如图，在中，，的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． （1）则和之间的距离为 ； （2）当平分的面积时，则 ． 3．(23-24八下·浙江杭州建兰中学·期中)如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标． 4．(23-24八下·浙江杭州文华中学·期中)已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点运动． (1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止）．若，设点的运动时间为秒，当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形？ 5．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，在中，，，，于H，点E为线段AH上的一个动点，过点E作交于点F，连结．若的长为x，的面积为S． (1)求S关于x的函数关系式． (2)当四边形为平行四边形时，求S的值． (3)若点B关于E的对称点为，当点落在的内部（包含边界）时，则S的取值范围为______．（直接写出答案） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平行四边形性质求解与证明 题型概览 题型01利用性质求度数 题型02利用性质求线段 题型03利用性质求周长 题型04利用性质求面积 题型05 利用性质其它求解计算问题 题型06 利用性质证明求解问题 题型07 利用性质画图问题 ( 题型01 ) 利用性质求度数 1．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)如图，在中，，，是对角线上两点，，，则的度数为（　　） A．19° B．29° C．38° D．43° 【答案】A 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，而，得到，由等腰三角形的性质推出，，由三角形外角的性质推出，得到，由平行四边形的性质推出，得到，求出，即可得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 故选：A． 2．(23-24八下·浙江金华东阳横店镇四校联考·期中)如图在平四边形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对称点为点，延长和交于点，连接交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省金华市东阳市横店镇四校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由平行四边形的性质得出，则，由等边对等角得出，从而求出，由折叠的性质可得，求出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案，求出是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市苍南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小． 【详解】四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质得：，， ，， ； 故选：B． 4．(21-22八下·浙江杭州十三中教育集团·期中)如图，与的周长相等，且，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省杭州十三中教育集团2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】延长交于点G，根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，，进而求出，再根据与的周长相等，推出，最后根据等腰三角形“等边对等角”、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵与中，，， ∴由平行四边形的性质可得，，． 如图，延长交于点G，    ∵中，中， ∴，， ∴， ∵与的周长相等，且有公共边， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，求出的度数、证明是等腰三角形是解题的关键． 5．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质． 根据平行四边形的邻角互补即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 又， ． 故选：C． 6．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省宁波市慈溪市凤湖初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了平行四边形的性质，平行线的性质， 首先根据平行四边形的性质得到，，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 7．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)已知在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补，解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选：C． 8．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市新希望学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故选：C． 9．(23-24八下·浙江宁波余姚·期中)如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市余姚市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了等腰三角形，平行四边形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据为等腰三角形，，可求出，根据四边形为平行四边形即可得解． 【详解】解： 在中，， ， 又， ， 四边形为平行四边形， ． 故选：B． 10．(20-21八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)在平行四边形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省宁波市余姚市实验学校2020-2021学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出． 【详解】解：在中有：，， ， ， ， 故选：A 11．(22-23八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 【答案】/40度 【来源】浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处， ，， 四边形纸片为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 12．(23-24九上·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 【答案】/度 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故答案为：． 13．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中的度数为 ． 【答案】/30度 【来源】浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，，，则的度数是 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市苍南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质由平行四边形的对角相等得到；结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：在中，，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)在中，若，则 ． 【答案】/40度 【来源】浙江省温州市乐清山海联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，结合平行四边形的对角相等以及，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．(23-24八下·浙江台州路桥区十校联盟·期中)如图，点A，B，F在同一直线上，四边形是平行四边形，，平分，则 °． 【答案】 【来源】浙江省台州市路桥区十校联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角，角平分线等知识．熟练掌握平行四边形的性质，邻补角，角平分线是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，则，由平分，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 17．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)如图，在中，，则 ．    【答案】/60度 【来源】浙江省温州市第十二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由平行四边形的性质得出，再由已知条件，即可得出的度数，再根据平行四边形的对角相等即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得：； ， 故答案为：60． ( 题型02 ) 利用性质求线段 1．(22-23八下·浙江温州瑞安安阳六校联考·期中)如图，在中，对角线与交于点，，为中点，若的周长为32，的周长比的周长多4，则的长为（   ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市瑞安市安阳六校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】由题意知，，，由为中点，可得，由的周长为32，可得，即①，由的周长比的周长多4，可得，即②，①②得，，求解的值，进而可得的值．本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键在于确定线段之间的数量关系． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， 为中点， ， 的周长为32， ，即①， ∵的周长比的周长多4 ，即②， ①②得，，解得， ， 故答案为：B． 2．(23-24八下·陕西西安第九十九中学·期末)如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【来源】陕西省西安市第九十九中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，先求出，再求出，继而可得出答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)的周长为，对角线交于点O，且的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省杭州市上城区钱学森学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等：平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分；利用平行四边形的性质得，，，则，再利用的周长比的周长多，然后解关于的方程组即可． 【详解】 ∵ ∴，，， ∵的周长为， ∴ ∵的周长比的周长多， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 4．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【来源】浙江省宁波市北仑区北仑区小浃江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形，等边三角形．熟练掌握平行四边形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 在射线上取点G，使，连接，，根据平行四边形性质证明是等边三角形，得到，，根据是等边三角形，得到，，得到，得到，得到，得到，点F在直线上运动，当时，根据含的直角三角形的性质得到的最小值为． 【详解】在射线上取点G，使，连接，， ∵平行四边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， 此时，， ∴, ∴的最小值为． 故选：D． 5．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省苍南县星海学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 连接，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得，，推得，根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，为的中点， ∴． 故选：A． 6．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，的周长为16，对角线交于点O，且的周长比的周长多2，则为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【来源】浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形和平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出，，，，再由已知条件得出①，②，①②即可得出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， 的周长为16， ①， 的周长比多2， ， ②， ①②得：， ． 故选：B． 7．如图，中，的平分线交于E，，则的长（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【来源】2013-2014学年浙江省台州市书生中学八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，等角对等边找出等腰,确定与的关系，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，对角线，交于点，平分交于点，连结．若，，则的长为（   ）    A． B． C．7 D． 【答案】A 【来源】浙江省温州市苍南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质；根据题意得是等边三角形，，，设，则，根据，得出，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴     ∵平分交于点， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 解得： ∴ 在中，， ∴ 故选：A． 9．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)如图，在中，的角平分线交边于点E，的角平分线交边于点F，若，，则线段的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【来源】浙江省温州市乐清山海联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案．本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴ ， 又平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 又平分， ， ， ∴， ． 故选：B． 10．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】B 【来源】浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积．由平行四边形的性质推出，而，得到，由三角形面积公式得到的面积，推出，由三角形外角的性质得到，而，得到，推出，判定是等腰直角三角形，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 于点，于点， 的面积， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 故选：B． 11．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)如图，平行四边形的对角线交于点O，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【来源】浙江省温州市第十二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，直接利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，即可作答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 故选：A． 12．(23-24八下·浙江杭州上城区杭州中学·期中)如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【来源】浙江省杭州市上城区杭州中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，等腰三角形等角对等边． 先根据平行四边形的性质得出，，进而得出，推出，求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选∶B． 13．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14．(24-25九上·浙江金华婺城区·期中)如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【答案】 【来源】浙江省金华市婺城区2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题 【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设，作于点L，则， ∵ ∴由折叠可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键． 15．(23-24八下·浙江金华婺城区名校联盟·期中)图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）．记①，②，③，④的面积分别为，，，，已知． （1） ．； （2）若的周长比长方形③的周长大18，则为 ． 【答案】 （或） 【来源】浙江省金华市婺城区名校联盟2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查图形的拼剪，平行四边形的性质，矩形，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． （1）由题意设，则，，，分别求出和，即可得到答案； （2）根据平行四边形的周长比长方形③的周长大18，构建方程求出即可． 【详解】（1）如图， 由题意设，则，，， ∴，， ∴， 故答案为： （2）如图，由勾股定理可得，， ，， 又平行四边形的周长比长方形③的周长大18， ， ， ． 故答案为：． 16．(23-24八下·浙江杭州拱墅区杭州观成实验学校·期中)如图，已知平行四边形的周长是12，对角线与交于点，的周长比的周长多1，则的长为 . 【答案】 【来源】浙江省杭州市拱墅区杭州观成实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】由的周长为12，对角线、相交于点，因为的周长比的周长多1，可得，，求出的长．此题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性求出是解决问题的关键． 【详解】解：的周长为12， ，， 的周长比的周长多1， ， ，． 故答案为：． 17．(23-24八下·浙江温州瑞安五校联考·期中)如图，为的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市瑞安市五校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了平行四边形性质、垂直平分线的定义和性质、三角形全等的判定和性质等知识，根据平行四边形性质，三角形全等的判定和性质证明，进而得出，根据垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 垂直平分， ． 故答案为：． 18．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，在中，，的平分线交于点E，若，，则的长是 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质和角平分线的性质，勾股定理等知识，正确把握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质可证明是直角三角形，利用勾股定理可求出的长，利用角平分线的性质以及平行线的性质得出，，进而利用平行四边形对边相等进而得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，、的角平分线的交点落在边上， ∴ ， ，， ， 和的平分线， ，， ， ，， ，， ，，即， 由题意可得：，， ． 故答案为：2.5． 19．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)如图，已知的对角线与相交于点O，，将沿着直线翻折，使点B的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长度为 ． 【答案】 【来源】浙江省苍南县星海学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解题的关键． 行平行四边形的性质得，再根据折叠的性质求得，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】 解： 四边形是平行四边形，， ． 如图，连接． 根据折叠的性质知，，． ， ∴ ∵， ∴ 是等边三角形， ． 故答案为：． 20．(23-24八下·浙江杭州萧山区萧山区红垦学校·期中)如图，将一副三角尺中，含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边重合，，分别是边，上的两点，与交于，且四边形是面积为的平行四边形，则线段的长为 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市萧山区萧山区红垦学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】过点Q作于点F，根据已知条件得出，，，，设，，继而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据四边形的面积得出，解方程得出，进而根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ， 过点Q作于点F， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 设，， 则， 在中， ， 四边形是面积为的平行四边形， ， ， ， ∵，则， 又， 是等腰直角三角形， ， 又四边形是平行四边形，则，， ， ， ，即， ， 解得：或（舍去）， ，即， ． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．(23-24八下·浙江宁波兴宁中学·期中)如图，在中，平分交于点，交的延长线于点，，则的长为 ． 【答案】7 【来源】浙江省宁波市兴宁中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据平行四边形性质及角平分线定义得到，再由等腰三角形的判定与性质确定，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查平行四边形性质、角平分线定义及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行线、角平分线及等腰三角形综合题型中三者的关系是解决问题的关键． 22．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，的平分线与的平分线交于点．若点恰好在边上，，，则的长为 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市苍南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到，得出，然后在中，利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：∵的平分线与的平分线交于点 ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴在中， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． ( 题型03 ) 利用性质求周长 1．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)如图，在平行四边形中，，与的平分线交于点，则平行四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，等角对等边，平行四边形的周长，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．(22-23八下·浙江杭州文理中学·期中)如图，点是的边的中点，的延长线交于点．则的周长为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 【答案】C 【来源】浙江省杭州市文理中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形性质，涉及中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，先由中点定义及平行四边形的性质，结合全等三角形的判定得到，进而得到，即可得到答案，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点是的边的中点， ， ， ， 在中，，则， 在和中， ， ， 在中，，则， 的周长为， 故选：C． 3．(2024·江苏省徐州市·模拟)如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．15 D．21 【答案】B 【来源】2024年江苏省徐州市睢宁高级中学附属学校中考模拟预测数学试题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，进而可求的值，即可得出结果． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 的周长为：， 故选：B． 4．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)如图，在平行四边形，是、的交点，若的周长为，则平行四边形的周长为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市北仑区北仑区小浃江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质可得，，根据垂直平分线的性质可得，进而根据已知条件，得出，进而根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 的周长为， 的周长为：． ▱的周长为厘米， 故选：B． 5．(22-23八下·浙江杭州拱墅区大关中学教育集团·期中)在中，，，，则的周长是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【来源】浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据题意可知：存在两种情况，然后分别画出相应的图形，根据勾股定理，即可求得的长，从而可以计算出的周长． 【详解】第一种情况：作，交于点E，如图1所示，      ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长是：； 第二种情况：作，交的延长线于点E，如图2所示，      ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长是：； 由上可得，的周长是或， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 6．(22-23八·浙江温州第二中学·期中)如图，中，是的平分线，则周长为（    ） A．20 B．24 C．32 D．40 【答案】D 【来源】浙江省温州市第二中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】由平行四边形的性质可得，，，则，由是的平分线，可得，则，，根据周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．(22-23八下·浙江杭州拱墅区锦绣育才教育集团·期中)如图，中，，的垂直平分线交于点，则的周长是（　　）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【来源】浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据平行四边形的性质得出，．再根据线段垂直平分线的性质可得出，最后由三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，． ∵的垂直平分线交于点， ∴． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 8．(20-21八下·浙江温州乐清五校联考·期中)如图，在周长为的，相交于点O，交于E，则的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市乐清市五校联考2020-2021学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据线段的垂直平分线求出求出的周长等于AB+AD，代入求出即可 【详解】∵ 平行四边形ABCD ∵ ∵平行四边形ABCD的周长是18cm ∴的周长是 故选：B 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质和平行四边形的性质的应用，关键求出AB+AD的长和求出的周长等于AB+AD． 9．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 【答案】/15厘米 【来源】浙江省湖州市安吉蓝润天使外国语实验学校2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试卷 【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 的周长为， 故答案为∶． 10．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)如图，在中，平分交边于点，且，则的周长为 ． 【答案】18 【来源】浙江省杭州市文澜中学2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试题 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，得出是解题关键． 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出，再求出的周长． 【详解】解：∵平分交边于点， ， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：18． 11．(22-23八下·浙江杭州拱墅区锦绣育才教育集团·期中)在中，，的平分线交平行四边形的边于点E，若，则的周长是 ． 【答案】14或10 【来源】浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】分两种情况讨论，由平行四边形得到，再由已知平分，进一步推出，即，即可求出的长，就能求出答案． 【详解】解：如图，当点E在上时， ∵为的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 如图，当点E在上时， 同理可求， ∴的周长， 故答案为14或10． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明． 12．(22-23八下·浙江杭州上城区绿城育华学校·期中)如图，在中，．点E，F，D分别在AB，AC，BC上，且是平行四边形．若和的周长分别为5和10，则的周长是 ． 【答案】15 【来源】浙江省杭州市上城区绿城育华学校2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】根据是平行四边形，得到，，从而可得，即可求出答案． 【详解】解：∵和的周长分别为5和10， ∴，， ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长是15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对边相等是解题关键． 13．(20-21八下·浙江杭州文海实验学校·期中)如图，的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，若，则的周长 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市文海实验学校2020-2021学年八年级下学期期中质量检测数学试卷 【分析】根据平行四边形的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为36，， ∴，， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． ( 题型04 ) 利用性质求面积 1．(22-23八下·浙江宁波镇海区中兴中学·期中)将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边恰好重合，已知，E，F分别是边上的动点，当四边形为平行四边形时，该四边形的面积是（    ） A． B． C． D．81 【答案】D 【来源】浙江省宁波市镇海区中兴中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据为平行四边形可得，利用解直角三角形得到，根据平行四边形面积计算公式即可得到结果．本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形性质是解答本题的关键． 【详解】解：为平行四边形， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形的面积：． 故选：D． 2．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，在中，点E是上的一点，且，F是上的一点，已知的面积为4，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【来源】浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，连接，如图，先利用平行四边形的性质得到，则根据三角形面积公式得到，所以，于是得到，然后利用平行四边形的性质得到的面积． 【详解】解：连接，如图， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 的面积． 故选：D． 3．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为，，是平行四边形边上的两点，且将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段的长度取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省J12共同体联盟校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．根据题意可得当和边垂直时，最小，当与对角线重合时，最大，再分别求出的最小值和最大值，即可． 【详解】解：如图，在平行四边形中，， 根据题意得：当和边垂直时，最小，过点A作于点N，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当与对角线重合时，最大，过点D作交于点F，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长度取值范围为． 故选C 4．(23-24八下·浙江杭州西湖区·期中)如图，在中，是对角线上一点，连接.若，的面积分别为，则下列关于的等量关系中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，由平行四边形的性质得出，，即可判断B、C，作于，于，则，证明得出，从而得出，，即可判断A，只有当时，，即可判断D． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，, ，故B 正确，不符合题意， ，， ， ，故C正确，不符合题意； 如图，作于，于，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，，，， ，， ，故A正确，不符合题意； 只有当时，，故D错误，符合题意； 故选：D． 5．(22-23八下·浙江绍兴嵊州三界镇蒋镇学校·期中)如图，一块平行四边形的土地被分成4块小平行四边形，用来种植红、黄、蓝、白四种不同颜色的花卉，其中种植红、黄、蓝颜色花卉土地的面积分别是20，，，则种植白色花卉土地的面积为（    ）    A． B．50 C．54 D．60 【答案】C 【来源】浙江省绍兴市嵊州市三界镇蒋镇学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】由平行四边形由四个小平行四边形组成可知，，从而求得． 【详解】解：整体的平行四边形由四个小平行四边形组成， ， ∴． ∴．    故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，由图中平行四边形的位置关系得到平行四边形之间的面积关系是解题的关键． 6．(22-23八下·浙江金华义乌绣湖中学教育集团·期中)如图，平行四边形中，对角线交于点O，且，E、F分别为上两点，且，连接，则与的面积比为（　　）    A． B． C．1 D． 【答案】B 【来源】浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】过A作于M，过D作于N，根据平行四边形的性质可得，继而得出，根据面积之间的换算即可求解． 【详解】解：如图，过A作于M，过D作于N，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积，熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键． 7．(22-23八下·浙江宁波宁海县北片·期中)如图是一个由张直角三角形纸片和张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为，求出用、表示，得出，，之间的关系，由此即可解决问题． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为， 则， ， ， 平行四边形面积． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出，，之间的关系，属于中考常考题型． 8．如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论： ①； ②如果，则； ③若，则； ④如果P点在对角线上，则； ⑤若，则P点一定在对角线上 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】2022-2023学年第二学期浙江省杭州市西湖区紫金港中学八年级期中考试数学试题 【分析】根据平行四边形的性质得，，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断④；最后根据已证关系式，得出，，判断⑤，综合即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． 设点到，，，的距离分别是，，，，点C到的距离分别为， 则，，，． ∵，， ∵， ∴，故①正确； 根据只能判断，不能判断，即不能判断，故②错误； 根据，能得出，不能得出，即不能判断，故③错误； ∵点在对角线上， ∴，， ∴，故④正确； 由和，得，， ∴， ∴， ∴点一定在对角线在上，故⑤正确， 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键． 9．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)如图，在四边形中，，，，，若四边形内部有一点，使得四边形为平行四边形，且与四边形的面积比为，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【来源】浙江省宁波市余姚实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理， 熟练掌握知识点，正确添加辅助线，运用勾股定理是解题的关键． 延长交于，由平行四边形下的性质推出，，，得到，令，，求出的面积，四边形的面积，于是得到，推出，由勾股定理得到，求出，（舍去），得到的面积，即可求出四边形的面积为． 【详解】解：延长交于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 令，， 的面积， 梯形的面积，的面积， 四边形的面积， 与四边形的面积比为， ， ， ， ， ，（舍去）， 的面积， 四边形的面积为． 故答案为：12． 10．(23-24八下·浙江杭州采荷中学·期中)如图，四边形和四边形都是平行四边形，经过点，若的面积等于，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市采荷中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积公式的理解，熟记“平行四边形被一条对角线分成的两个三角形面积相等”是解题的关键．根据平行四边形的性质以及三角形面积公式的理解，得出，，计算得出答案即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是平行四边形，是平行四边形的对角线，的面积等于， ∴，， ∴底边上的高等于和之间的距离，即和平行四边形同底等高， ∴平行四边形的面积高，的面积高， ∴， 故答案为：． 11．(23-24八下·浙江宁波第七中学·期中)如图，点是平行四边形的对称中心，是边上的点，，是边上的点，且．若分别表示和的面积，则 ． 【答案】/ 【来源】浙江省宁波市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，连接，根据点是平行四边形的对称中心得到点是线段的中点，且，再由，进而可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 点是平行四边形的对称中心， 点是线段的中点，且， 令 ， ，， ， 故答案为：． 12．(22-23八下·浙江绍兴嵊州三界镇蒋镇学校·期中)如图平行四边形中，线段长，这个平行四边形的面积是 ．    【答案】540 【来源】浙江省绍兴市嵊州市三界镇蒋镇学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据平行四边形的面积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】解：． 故答案为：540． 【点睛】此题考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 13．(22-23八下·浙江温州龙湾区部分校·期中)如图，在中，是边上一点．已知，，则的面积是 ．    【答案】8 【来源】浙江省温州市龙湾区部分校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】由平行四边形的性质得，则，得，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 14．(22-23八下·浙江宁波余姚姚江中学·期中)如图，在平行四边形中，点F是上一点，，点E是的中点，平分，，则的面积是 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市余姚市姚江中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】延长和交于点G，证明，可得，然后根据等腰三角形的性质证明，再根据勾股定理即可解决问题． 【详解】如图，延长和交于点G， 在平行四边形中， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 15．(22-23八下·浙江温州瓯海区外国语学校·期中)如图，在平行四边形中，，，则平行四边形的面积是 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市瓯海区外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学模拟试题 【分析】由平行四边形中，，，求得的长，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理，解题的关键是注意证得是直角三角形． 16．(21-22八下·浙江杭州杭州外国语学校·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上的点，AF与ED相交于点G，BF与EC相交于点H，△AEG、△BEH、△CFH的面积分别是3cm2、12cm2、6.8cm2，则△DFG的面积为 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市杭州外国语学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】由平行四边形的性质和面积和差关系可求S△ADE+S△BCE＝S△DCE，即可求解． 【详解】解：连接EF，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵S△ADE＝S△AFE， ∴S△ADG＝S△EGF， 同理S△EFH＝S△BHC， ∴S△ADG+S△BCH＝S△EFG+S△EFH， ∵S△DCE＝S▱ABCD， ∴S△ADE+S△BCE＝S△DCE， ∴S△DGF+S△FHC＝S△AGE+S△EBH， ∴3+12＝6.8+S△DFG， ∴S△DFG＝8.2cm2， 故答案为：8.2cm2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用面积的和差关系求出S△ADE+S△BCE＝S△DCE是解题的关键． ( 题型0 5 )利用性质其它求解计算问题 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)如图，在中，平分交于点． (1)若，求的长； (2)若是的中点，连结，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定及性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，即 ，由角平分线的定义可得，即可推出，从而求解； （2）由中点的性质得到证出，利用平行四边形的性质得到，即，在通过角的等量代换求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由(1)可得， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 2．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)如图，在中，的平分线交的延长线于点，交于点． (1)求证：． (2)连结，若，且，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，可以求得，然后即可证明结论成立； （2）根据，且，可以求得和的值，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，即可求得的长． 本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）解：作于点，如图所示， 由（1）知：， 是的垂直平分线， ，且， ，， ， ， ， ， ， ， ． 3．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)已知中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点停止运动时点也停止，设运动时间为，若，当t为多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． (3)在（1）的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，直接写出：的面积为． 【答案】(1) (2)4.8秒或8秒或9.6秒 (3) 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定及性质，等积转换，平行四边形的判定等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． （1）可证，从而可证，即可求解； （2）当时，四边形是平行四边形，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可求解； （3）设边上的高为，边上的高为，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （2）解：， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ①时， ， 解得：（不合题意，舍去）； ②时， 当， 解得：； ③时， ， 解得：； ④， 当时， 解得：； 综上所述：为4.8秒或8秒或9.6秒； （3）解：如图，设边上的高为，边上的高为， ，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 4．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)如图，在中，是边上的一点，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)若是的中点，求证：； (2)若于点，，且，，求与的距离． 【答案】(1)见解析 (2)与的距离是6． 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由平行四边形的性质推出，，由平行线的性质得到，，而，由证明，得到，推出； （2）由平行四边形的性质推出，，，得到，由垂直的定义得到，求出，判定是等腰直角三角形，求出，得到，因此，判定是等腰直角三角形，求出，即可得到与的距离是6． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是中点， ， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∵， ， 作，垂足为， 则， 是等腰直角三角形， ， 与的距离是6． 5．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若CD=CP，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2)秒或秒或秒 (3)的长为 (4) 【来源】浙江省宁波市北仑区北仑区小浃江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； （3）如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为； （4）如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． ( 题型0 6 )利用性质证明求解问题 1．(23-24八下·浙江杭州杭州第六中学·期中)如图，的对角线，相交于点O，点E、F在AC上，且．求证：    (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省杭州市杭州市第六中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明∶∵， ∴， ∴． 2．(23-24八下·浙江绍兴新昌县拔茅中学·期中)如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，，连接，． (1)求证：． (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【来源】浙江省绍兴市新昌县拔茅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．证明是解题的关键． （1）利用角角边证明即可； （2）证明四边形为平行四边形，求得中、的长，再根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由得：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)如图，已知在中，对角线，交于点O，E，F分别是线段，的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省温州市乐清山海联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，，即可根据证明，则其对应边相等； （2）首先推知；设．在中，利用勾股定理列出关于的方程，通过解方程求得答案． 本题考查的是利用平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，结合三角形全等来解决有关线段相等的证明，熟练掌握相关图形的判定和性质是关键． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，，， ． 点，分别为，的中点， ，． ． 在和中， ， ． ； （2）解：∵，， ，则， 又， ， ． 设． 在中，，则， 在中，， 则， 解得． ， ． ． 4．如图，在平行四边形中，延长至点F使，连接交于点E． (1)求证：点E是线段的中点； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】【新东方】【2021.5.20】【WZ】【初二下】【初中数学】【WZ00170】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）利用平行四边形的性质证明，从而得到，即可得出结论； （2）利用得到，根据证明即可得到进而求出结果． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 则，， ， ， ， 又， ， ，即E是中点； （2）如图：连接， ， ， 在中，是边上的中线，且， ，， 又， ， ， ． 5．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)如图，在中，分别平分和，交于点E、F．    (1)求证：； (2)过点E作于点G，若的周长为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【来源】 浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，可证，即可得证； （2）过点E作于点P，根据角平分线的性质可得，再根据题意可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， 分别平分和， ， ， ， ； （2）解：过点E作于点P， ∵分别平分和， ∴， 的周长为36， ， ．    【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分线的性质及角平分线的定义、熟练掌握相关定理是解题的关键． 6．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)如图1，在中，点E为中点，延长线交于点F． (1)求证：． (2)若时，记与之间的距离为，与之间的距离为，求的值． (3)如图2，连接，在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【来源】浙江省杭州市余杭区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形性质证明，再根据全等三角形性质证明即可； （2）根据得出，证明，根据，得出，再根据面积公式得出，即可求解； （3）在中，可得，在中，可得，在中，可得，再证明，得出，代换后可得，结合（2）中，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴， ∴； （3）如图， 过点A作交于点N，过点D作交的延长线于点M， 在中，根据勾股定理可得， 在中，根据勾股定理可得， 在中，根据勾股定理可得， ， ， ， ， ， 故， 由（2）得：， ． 7．(22-23八下·浙江温州星汇教育集团·期中)如图，在中，的平分线交于点F，交的延长线于点E．    (1)求证： (2)连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省温州市星汇教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再由角平分线的定义可得，从而可得，由等腰三角形的判定与性质可得，即可得出结论； （2）过点D作于点H，证明是等边三角形，可得， ，再根据平行线的性质得出，从而证明是等边三角形，可得，，根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，根据等边三角形的性质可得，再利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴．    （2）解：过点D作于点H， ∵60°，， ∴是等边三角形，， ， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的定义及平行线的性质、熟练掌握平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． ( 题型0 7 )利用性质画图问题 1．(22-23八下·浙江温州鹿城区实验中学·期中)如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省温州市鹿城区实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）利用平行四边形的定义，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造等腰直角三角形，可得角，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图中，四边形即为所求；    （2）解：如图中，四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 2．(22-23八下·浙江温州瑞安西部联盟·期中)如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接，． (1)在图甲中画出一个以为边的平行四边形，且它的周长等于； (2)在图乙中画出一个以为对角线的平行四边形，且它的面积为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省温州市瑞安市西部联盟2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）先计算出，根据平行四边形的性质取格点使，然后利用网格特点，平移到，使点与点重合，点的对应点为，则四边形满足条件； （2）把点向右平移格，点向左平移格，则四边形为满足条件的四边形． 【详解】（1）解：如图甲，四边形即为所求； （2）解：如图乙，四边形为所作． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类的关键是熟悉平行四边形的性质，利用网格求出已知边和所求边的长度，根据几何图形的特性进行作图． 3．(21-22八下·浙江温州龙湾区·期中)如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． (1)在图甲中画出以点A为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． (2)在图乙中画出线段AB的中点O． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省温州市龙湾区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）利用数形结合的思想，画出平行四边形即可； （2）如图：取格点P、Q，连接PQ交AB于点O，点O即为所求． 【详解】（1）解：如图甲中，四边形ABCD即为所求． （2）解：如图乙中，点O即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的性质等知识，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键． 4．(21-22八下·浙江宁波第七中学·期中)如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1． (1)以为边在图1中画一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积为12； (2)以为对角线在图2中画一个平行四边形（非正方形），使每个顶点都在格点上，且面积为10． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省宁波市第七中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）作一个底为3，高为4的以为边的平行四边形即可； （2）作一个底为5，高为2的以AB为对角线的平行四边形即可． 【详解】（1）如图1，四边形ABCD即为所求； （2）如图2，四边形ACBD即为所求； 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，平行四边形的面积和性质等知识，熟练掌握知识点并学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 5．(21-22八下·浙江温州部分校·期中)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点，均在格点上． (1)在图1中画出以为边且面积为6的，点和点均在格点上（画出一个即可）． (2)在图2中画出以为对角线且面积为6的，点和点均在格点上（画出一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省温州市部分校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据平行四边形的面积等于底乘以高=6画图即可； （2）以AB为边画两个全等的直角三角形，且每个的面积为3即可． 【详解】（1）（1） （2）（2）（答案不唯一） 【点睛】此题考查了画平行四边形，正确理解平行四边形的定义是解题的关键． 6．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求画图： （1）在图甲中，画出一个平行四边形，使其面积为6； （2）在图乙中，画出一个平行四边形，使其有一个内角为． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【来源】【新东方】 初中数学20210622-030【初二下】 【分析】（1）根据平行四边形的面积公式，依题意在方格纸上画图即可，使底边和高的积为6即可． （2）利用网格结合正方形的性质得出答案． 【详解】解：（1）如图甲所示：平行四边形ABCD，即为所求． （2）如图乙所示：平行四边形ABCD，即为所求． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用相应图形的性质是解题关键． 1．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)如图，在四边形中，，边上存在一点，点、分别为、上的两动点，当点从点匀速运动到点时，点恰好从点运动到点．记，，已知． (1)判断是否为定值，并说明理由． (2)当为中点时，． ①求，的长； ②当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1)是定值，见解析 (2)，；或 【来源】浙江省温州市苍南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的性质； （1）根据题意得，当时，点在点处，点恰好在点处，即． （2）①当为中点时，，当时，则，即； ②由题意得：，，，，然后分四种情况讨论，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，分别根据平行四边形的性质，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ，，， ． 当点从点匀速运动到点时，点恰好从点运动到点， 当时，点在点处，点恰好在点处． ． 即． 的长为定值． （2）①当为中点时，， ， ． ， 当点从点匀速运动到点时，点恰好从点运动到点， 当时，                                           ②由题意得：，，， 第一种情况： 当四边形为平行四边形时， ， ， ． 第二种情况： 当四边形为平行四边形时， ， ， （不合题意，舍去）． 第三种情况： 当四边形为平行四边形时， ， ， ． 第四种情况： 当四边形为平行四边形时， ， ， （不合题意，舍去）． 综上所述，当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，的值为，． 2．(22-23八下·浙江杭州萧山区八校·期中)如图，在中，，的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． （1）则和之间的距离为 ； （2）当平分的面积时，则 ． 【答案】 4 或或 【来源】浙江省杭州市萧山区八校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，中心对称： （1）由平行四边形的面积公式即可求解； （2）由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题． 【详解】解：（1）设和之间的距离为h， ∵的面积为36， ∴， ∴， ∴和之间的距离为4． 故答案为：4． （2）如图，连接交于点O， ∵平分的面积，是中心对称图形， ∴经过的中心，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． ∴当平分的面积时，或或． 故答案为：或或． 3．(23-24八下·浙江杭州建兰中学·期中)如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，或， 【来源】浙江省杭州市建兰中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）由，根据同角的余角相等可求解； （2）由“”可证，可得结论； （3）分两种情况：在轴的上方和下方，先计算的面积，根据时，可得的面积，如图3，过点作轴于，从而得的长，利用待定系数法可得的解析式，则可求得点的坐标． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，分别为边，上的高， ，， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图，点在轴的上方，过点作轴于， 点坐标为， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，，， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 如图，在轴的下方，过点作轴于， 由①可知：，直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 综上，点的坐标为，或，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．(23-24八下·浙江杭州文华中学·期中)已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点运动． (1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止）．若，设点的运动时间为秒，当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形 【来源】浙江省杭州市文华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）证明是等边三角形即可求得答案； （2）根据平行四边形的性质得到，，进一步推算出，换算得到，最后根据等边三角的性质求出面积即可； （3）若四边形是平行四边形，则，分别根据四种情况建立方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如下图所示， ∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴C到的距离为， ∴； （3）解：∵平行四边形， ∴，， 若四边形是平行四边形， 则， 当时，，， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得秒； 当时，，， ∴， 解得秒； 当时，，， ∴， 解得秒； 综上所述：当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、一元一次方程的应用、以及分类讨论的数学思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，在中，，，，于H，点E为线段AH上的一个动点，过点E作交于点F，连结．若的长为x，的面积为S． (1)求S关于x的函数关系式． (2)当四边形为平行四边形时，求S的值． (3)若点B关于E的对称点为，当点落在的内部（包含边界）时，则S的取值范围为______．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) 【来源】浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）由题意可得和均为含30度角的直角三角形，进而用含x的式子表示出，根据可得答案； （2）当四边形为平行四边形时，，由此求出x 的值，代入（1）中结论可得答案； （3）当点在上时，点E在位置处，S取最大值，当点在上时，点E在位置处，S取最小值． 【详解】（1）解：中，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 的长为x， ， ， 又中，， S关于x的函数关系式为：． （2）解：，， ， ， 由（1）知中，， ， 当四边形为平行四边形时，， ， ， ； （3）解：点B关于E的对称点为， ， 当点在上时，点E在位置处，S取最大值， 中，， ，， 又， ， ， ， ， S的最大值； 当点在上时，点E在位置处，S取最小值，作于， 同理可证， ，， ， ， ， ， ， ， ， S的最小值； 综上可知，S的取值范围为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，第三问有一定难度，找出S取最值时点E的位置是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$