专题09 中位线和反证法（4题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题09 中位线和反证法 题型概览 题型01与三角形中位线有关的求解问题 题型02与中位线有关的证明 题型03三角形中位线的实际应用 题型04反证法 ( 题型01 ) 与三角形中位线有关的求解问题 1．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为（　　） A．6 B． C． D． 2．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)如图， 的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（　　） A．5 B．4 C．2 D．1 3．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）    A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 4．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)如图，在中，，点D是的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．(23-24八下·浙江台州路桥区十校联盟·期中)如图，在中，，，点D，E分别是边，的中点，连接，点F在上且，则的长是（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 6．(23-24八下·浙江宁波第七中学·期中)如图，平行四边形的对角线相交于点的平分线与边相交于点是中点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．(23-24八下·浙江杭州西湖区云城中学·期中)如图，在中，点E，点F分别是和的中点，平分交于点D，若，则边的长为（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 8．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（    ） A．6 B．7 C．2 D．3 9．(22-23八下·浙江温州星汇教育集团·期中)如图，点在的边上，连接，作交于点，点是的中点，且，若，则的长为（    ）    A．10 B．9 C． D．8 10．(22-23八下·浙江温州鹿城区实验中学·期中)如图，在中，为锐角，作点关于直线的对称点，连接和．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 11．(24-25八上·浙江绍兴柯桥区联盟学校·期中)如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 12．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 13．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)在一节数学拓展中，老师给出：“如图，在中，，为斜边的中点，”，要求结合本学期所学的一元二次方程和三角形的中位线定理，把题目补充完整．小明补充如下：“于点，为中点，连接．当，时，的值是 ；当时，的 ．”请填写上面空格． 14．(23-24八下·浙江绍兴柯桥区柯桥区联盟学校·期中)如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列个结论：①；②；③；④，其中说法正确的是 ． 【答案】①③④ 15．(23-24八下·浙江宁波鄞州第二实验学校·期中)如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为 ． 16．(23-24八下·浙江金华东阳横店镇四校联考·期中)如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，点是线段上一动点，连接，已知，，当为中点时，则的长为 ． 17．(23-24八下·浙江宁波镇海区镇海蛟川书院·期中)如图，在周长为300米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 ． 18．(23-24八下·浙江宁波海曙区部分学校·期中)如图，在四边形中，，若，，M为的中点，则的长为 ． 19．(23-24八下·浙江宁波海曙区部分学校·期中)如图，在中，，，M是中点，，分别交、于点O、I，若的面积为48，则下面结论①；②的面积为12；③；④；正确的有 ． 20．(23-24八下·浙江湖州吴兴区·期中)如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若，则的周长是 ． 21．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)【基础巩固】 如图1，在四边形中，，连结，、、分别是、、的中点，连结、，求证：． 【类题突破】 如图2，在四边形中，，，分别是，的中点．连结并延长，分别与，的延长线交于点，．请问与有怎样的数量关系，并说明理由； 【应用拓展】 如图3，在四边形中，，，垂足为．点在上，，连结，点、分别是、的中点，求的长度． 22．(23-24八下·浙江台州玉环城关第一初级中学·期中)定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．如图，四边形中，，，四边形即为等垂四边形，其中相等的边，称为腰，另两边，称为底． 【提出问题】 （1）如图，与都是等腰直角三角形，，．求证：四边形是“等垂四边形”． 【拓展探究】 （2）如图，四边形是“等垂四边形”，，点，分别是，的中点，连接．已知腰，求的长． 【综合运用】 （3）如图，四边形是“等垂四边形”，腰，底，则较短的底长的取值范围为_________．（直接写出答案） 23．(22-23八下·浙江杭州建德城东实验学校·期中)如图，在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、．    (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 24．(23-24八下·浙江台州和合联盟·期中)在如图的网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上； (2)第（1）作的的面积为______； (3)在图2中，连接，，仅用无刻度的直尺作的一条中位线．（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示） 25．(23-24八下·浙江杭州上城区杭州中学·期中)已知：如图，是的中位线，是边上的中线，和交于点O．求证：与互相平分．    ( 题型02 ) 与中位线有关的证明 1．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)如图，在四边形中，，、交于点，、分别是、中点，分别交、于点、．求证：． 2．(22-23八上·浙江华东师范大学附属杭州学校·期中)如图，在中，，，，D，E分别是和边的中点，在的延长线上取一点F，使． (1)求的长； (2)求证：是等边三角形． 3．(23-24八下·浙江金华南苑中学·期中)如图是5×5的方格纸，点A，B，C都在格点上，按要求作图． (1)在图1中找到一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形； (2)在图2中仅用无刻度的直尺，作出的中位线MN使得M在AB上，N在AC上．（保留作图痕迹，不写作法）． 4．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 5．(23-24八下·浙江温州安阳实验中学·期中)如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 6．(23-24八下·浙江金东实验中学教育集团·期中)如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上． (1)求证：． (2)若，求的长； (3)点F为的中点，连接，交于点G，求证：． 7．(22-23八下·浙江杭州拱墅区大关中学教育集团·期中)如图，中，点D，E分别是边，的中点，过点C作交的延长线于点F，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，若，，求：①的长；②四边形的面积． 8．(22-23八下·浙江杭州萧山区高桥初中教育集团·期中)如图，四边形是平行四边形，，，点是的中点，点是延长线上一点． (1)连接，求证：． (2)若．求证：． (3)在（2）的条件下，若的延长线与交于点，试判断四边形是否为平行四边形并证明你的结论（请补全图形，再解答） 9．(22-23八·浙江温州第二中学·期中)如图，在中，对角线，相交于点O．，E，F，G分别是，，的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． ( 题型03 ) 三角形中位线的实际应用 1．(22-23八·浙江温州第二中学·期中)如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则 ． 2．(20-21八上·浙江温州洞头区·期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 3．如图小芳为测湖宽，取边的中点D，E，连结，并测得米，则 米． 4．(22-23八下·浙江温州文成县·期中)如图，某游乐场游客中心位于处，其正南方向米处有海盗船游乐项目，在的正东方向米处有摩天轮游乐项目餐厅位于的中点；碰碰车游乐项目位于上，且恰好处于餐厅的正南方向小快从出发，经到匀速骑行游玩，曼曼同时从出发，沿南偏西方向匀速直线行走游玩．    (1)餐厅和碰碰车游乐项目相距多少米？ (2)已知小快的速度是曼曼速度的倍，小快在由到骑行的途中与曼曼相遇于处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到米，） 5．(22-23八上·浙江温州实验中学·期中)如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）． 　 (1)求证：． (2)若为等腰三角形时，求的值． (3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______． ( 题型04 ) 反证法 1．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（    ） A． B． C． D． 2．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)已知五个数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于0.2，首先要假设（    ） A．有1个数小于0.2 B．每个数都小于0.2 C．有1个数大于0.2 D．每个数都大于0.2 3．(22-23八下·浙江杭州文理中学·期中)用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不小于时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于或等于 D．每一个内角都大于或等于 4．(22-23八下·浙江宁波海曙区宁波海曙区十校联考·期中)选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（    ） A．， B．， C．， D．， 5．(23-24八下·浙江宁波鄞州区·期末)用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（    ） A． B． C． D． 6．(23-24八下·浙江宁波鄞州第二实验学校·期中)牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于 7．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)用反证法证明命题结论“”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 8．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 9．(22-23八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设（ ） A．一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角 B．一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角 C．一个四边形中没有一个内角是钝角或直角 D．一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角 10．(22-23八下·浙江温州洞头区洞头区·期中)用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（  ） A． B． C． D． 1．(22-23八下·浙江宁波北仑区顾国和外国语学校·期中)如图，在平行四边形中，对角线交于点，点分别是的中点，交于点，下列4个结论中说法正确的有（    ） （1）（2）（3）；（4） A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 2．(22-23八下·浙江台州玉环共同体联盟·期中)如图，线段，点是线段上的动点，分别以为边在作等边、等边，连接，点是的中点，当点从点A运动到点时，点经过的路径的长是（    ）    A．3 B．2.8 C．2.5 D．2 3．(21-22八下·浙江金华义乌五校·期中)如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中成立的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．(22-23八下·浙江温州鹿城区温州外国语学校·期中)如图，中，，，，在边上取点使，点为射线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值为 ． 5．(22-23八下·浙江杭州萧山区高桥初中教育集团·期中)如图，在▱中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、若，，，则 点到直线的距离是 ． 周长的最小值是 ． 6．(20-21八下·浙江杭州余杭区余杭区杭州英特外国语学校·期中)如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是 ． 7．(21-22八下·浙江金华吴宁第三初级中学·期中)如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF交AB、AD、分别于点E、F、G．继续折叠纸片，使得点C的对应点落在上，连接，点G到AD的距离为 ，的最小值为 ． 8．(23-24八上·浙江温州瑞安·期中)如图，和都是等腰直角三角形，，点E，F分别在射线，上，，点M为的中点，点P在上，，， (1)当点E在的延长线上，证明； (2)当为直角三角形，求的长 (3)直接写出的最小值_____________． 9．(22-23八下·浙江温州鹿城区温州外国语学校·期中)如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若，，，求四边形的面积； (3)如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 10．(22-23八上·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，，是边上的高线，过点作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接交于点，若，求的长． 11．(22-23八上·浙江杭州江干区采荷中学·期中)如图，中，，于点O，，． (1)求，的长； (2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接． ①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长； ②设直线交直线于点，连接，，若，则的长为______（直接写出结果）． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 中位线和反证法 题型概览 题型01与三角形中位线有关的求解问题 题型02与中位线有关的证明 题型03三角形中位线的实际应用 题型04反证法 ( 题型01 ) 与三角形中位线有关的求解问题 1．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省杭州市文澜中学2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试题 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握勾股定理，由三角形中位线定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，取中点，连接，证出是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ， 取中点，连接，如图所示： ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 2．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)如图， 的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（　　） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，先根据平行四边形的性质得到，，再结合的周长即可求出的长度，最后利用三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵的对角线相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E，F分别是线段的中点， ∴， 故选：C． 3．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）    A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【来源】浙江省温州市实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质、勾股定理等知识，连接，由四边形是平行四边形得到，证明是的中位线，是的中位线，得到，，证明，得到，由勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】解：要求的长，只需知道线段的长，理由如下： 如图，连接，    ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵点分别是上的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要求的长，只需知道线段的长， 故选：D 4．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)如图，在中，，点D是的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．分别延长交于，延长交于点，先证明，再证明是的中位线，可得，可得再证明，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，分别延长交于，延长交于点， ， ， ， G为的中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B 5．(23-24八下·浙江台州路桥区十校联盟·期中)如图，在中，，，点D，E分别是边，的中点，连接，点F在上且，则的长是（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【来源】浙江省台州市路桥区十校联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． ∵，D是的中点，， ∴， ∴． 故选：B． 6．(23-24八下·浙江宁波第七中学·期中)如图，平行四边形的对角线相交于点的平分线与边相交于点是中点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】浙江省宁波市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，根据平行四边形的性质可得，再根据平分，可得，从而可得，可得，进一步可得，再根据三角形中位线定理可得，即可求出的长． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E是中点， ∴． 故选：B． 7．(23-24八下·浙江杭州西湖区云城中学·期中)如图，在中，点E，点F分别是和的中点，平分交于点D，若，则边的长为（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【来源】浙江省杭州市西湖区云城中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形中位线的判定与性质是解题的关键．先根据线段中点的定义得到；然后由三角形中位线的性质和角平分线的定义判定，；则，所以． 【详解】解：∵点E是的中点，， ∴． ∵点E，点F分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 8．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（    ） A．6 B．7 C．2 D．3 【答案】D 【来源】 浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查的是平移的性质、三角形中位线定理、三角形的三边关系，取的中点，连接，根据平移的性质得到，根据三角形中位线定理求出，再根据三角形的三边关系计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 由平移的性质可知：， 点Q是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 在中， ， ， 线段的长可能是3， 故选：D． 9．(22-23八下·浙江温州星汇教育集团·期中)如图，点在的边上，连接，作交于点，点是的中点，且，若，则的长为（    ）    A．10 B．9 C． D．8 【答案】B 【来源】浙江省温州市星汇教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】延长交于点，可推出四边形是平行四边形，得；根据“点是的中点”可得、，设，根据即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图：    ∵，，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵点是的中点且， ， ∵点是的中点且， ， ， 设， ， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、中位线定理、等腰三角形的性质等，熟记相关知识点是解题关键． 10．(22-23八下·浙江温州鹿城区实验中学·期中)如图，在中，为锐角，作点关于直线的对称点，连接和．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州市鹿城区实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】延长交于点，连接交于点，由点与点关于对称，可知垂直平分，可求，，由平行四边形的性质得，，根据三角形的中位线定理得，则，然后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：延长交于点，连接交于点，    点与点关于对称， 垂直平分， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 11．(24-25八上·浙江绍兴柯桥区联盟学校·期中)如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【来源】浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2024-2025学年八年级上学期期中联考数学试题 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 12．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】 【来源】浙江省湖州市安吉蓝润天使外国语实验学校2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试卷 【分析】本题考查了中位线的性质定理，等腰三角形的判定，平行线的性质和角平分线的定义，根据图形得到是解题的关键．由于，可先证得是的中位线，求得的长度，再利用平行线的性质和角平分线的定义证得，即可求解． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点，， ∴，， ∴是的中位线， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交线段于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 13．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)在一节数学拓展中，老师给出：“如图，在中，，为斜边的中点，”，要求结合本学期所学的一元二次方程和三角形的中位线定理，把题目补充完整．小明补充如下：“于点，为中点，连接．当，时，的值是 ；当时，的 ．”请填写上面空格． 【答案】 1 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】设，，则，证为的中位线得，在中由勾股定理得①，在中由勾股定理得②，由①②解方程组得，，由此可得的值；设，，，，则，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理得，由此可得③，过点作于，过点作于，证和全等得，再证，在中由勾股定理得：，再由三角形的面积公式得，则，即④，由③④得：，据此可得，将代入③得，则，从而得，则，进而可求出的值． 【详解】解：设，， ， ， 点是斜边上的中点， ， 点为的中点， 为的中位线，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ①， 在中，由勾股定理得：， ，整理得：②， 将②代入①得：，整理得：， ， ， ， （舍去负值）， ， ； 设，，，， 为斜边的中点， ， 为的中位线， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ③， 过点作于，过点作于，如图所示： 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又点为的中点， 为的中位线， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ，即， ，即④， 由③，④得， （舍去负值）， ， 将代入③得， ， （舍去负值），即， ； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质，灵活运用勾股定理构造方程（组进行计算是解决问题的关键． 14．(23-24八下·浙江绍兴柯桥区柯桥区联盟学校·期中)如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列个结论：①；②；③；④，其中说法正确的是 ． 【答案】①③④ 【来源】浙江省绍兴市柯桥区柯桥区联盟学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故①正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ， 而不一定成立，故②不正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 即，故③正确； ，， ，， ，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键． 15．(23-24八下·浙江宁波鄞州第二实验学校·期中)如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为 ． 【答案】9 【来源】浙江省宁波市鄞州第二实验学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】取中点，连接，得是的中位线，，折叠的性质可得，，依据，得到，进而求得，设，，则，得出，在中，根据勾股定理得：，根据，得出，在中，根据勾股定理得：，得出，证明，得出，在中，根据勾股定理得：，即，整理得：，得出方程，利用平方根定义，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， 即， ∴， 设，，则， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∵， ∴设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∴， ， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 16．(23-24八下·浙江金华东阳横店镇四校联考·期中)如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，点是线段上一动点，连接，已知，，当为中点时，则的长为 ． 【答案】3 【来源】浙江省金华市东阳市横店镇四校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质，当为中点时，过点作的平行线交于，交于，证明为的中位线，得出，，再证明四边形为平行四边形，得出，，进而得出，，再证明为等边三角形，即可得出答案，熟练掌握平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：当为中点时，过点作的平行线交于，交于，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形，且，，， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为中点，， ∴为的中位线，， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 17．(23-24八下·浙江宁波镇海区镇海蛟川书院·期中)如图，在周长为300米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 ． 【答案】150米/150m 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查三角形中位线的应用，根据“三角形中位线等于第三边的一半”即可求解． 【详解】解：如图，周长为300米，分别为的中点， 则均为的中位线， （米）， 即水渠的总长为150米， 故答案为：150米． 18．(23-24八下·浙江宁波海曙区部分学校·期中)如图，在四边形中，，若，，M为的中点，则的长为 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市海曙区部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、中位线的性质等．延长，使，根据题意先证明四边形是平行四边形，可解得，继而得到C是的中点，再结合中位线的性质解题即可．添加辅助线构造中位线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， C是的中点， 又 M为的中点， 为的中位线， ， 故答案为：． 19．(23-24八下·浙江宁波海曙区部分学校·期中)如图，在中，，，M是中点，，分别交、于点O、I，若的面积为48，则下面结论①；②的面积为12；③；④；正确的有 ． 【答案】①②③ 【来源】浙江省宁波市海曙区部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】①证明与都是的余角，便可判断①的正误；②过点M作，与交于点E，证明，，再证明，得，进而得，再由等高的三角形的面积比等于底边之比求得的面积，便可判断②的正误；③由②的，得与的关系，便可判断③的正误； ④过点C作，与的延长线交于点F，证明，得，当H不是的中点时，，此时，便可判断④的正误． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，故①正确； ②过点M作，与交于点E， ∵M是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 故②正确； ③∵， ∴，故③正确； ④过点C作，与的延长线交于点F， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当H不是的中点时，， ∴， 故④不正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，三角形的面积，关键在于构造全等三角形． 20．(23-24八下·浙江湖州吴兴区·期中)如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若，则的周长是 ． 【答案】9 【来源】浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据三角形中位线定理，证明是等边三角形计算即可． 本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 【详解】∵P、M、N分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为， 故答案为：9． 21．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)【基础巩固】 如图1，在四边形中，，连结，、、分别是、、的中点，连结、，求证：． 【类题突破】 如图2，在四边形中，，，分别是，的中点．连结并延长，分别与，的延长线交于点，．请问与有怎样的数量关系，并说明理由； 【应用拓展】 如图3，在四边形中，，，垂足为．点在上，，连结，点、分别是、的中点，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【来源】浙江省衢州市兴华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由三角形中位线定理证出，，则可得出结论； （2）连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质证明； （3）连接，取的中点，连接，，证出，，，，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：、、分别是、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ； （2）解：如图，连接，取的中点，连接，， ，，，， ， ， ， ，， ，， ． （3）解：连接，取的中点，连接，， ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理为的中位线， ，， ， ， ， ． 22．(23-24八下·浙江台州玉环城关第一初级中学·期中)定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．如图，四边形中，，，四边形即为等垂四边形，其中相等的边，称为腰，另两边，称为底． 【提出问题】 （1）如图，与都是等腰直角三角形，，．求证：四边形是“等垂四边形”． 【拓展探究】 （2）如图，四边形是“等垂四边形”，，点，分别是，的中点，连接．已知腰，求的长． 【综合运用】 （3）如图，四边形是“等垂四边形”，腰，底，则较短的底长的取值范围为_________．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【来源】浙江省台州市玉环市城关第一初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，利用证明，从而解决问题； （2）连接，取的中点，连接、，延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”，以及三角形中位线定理证明是等腰直角三角形，据此即可求解； （3）延长、交于点，分别取、的中点、，连接、、，利用三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：（）∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， 延长交延长线于，交于， 又∵，, ∴， ∴； ∴四边形是“等垂四边形”； （）连接，取的中点，连接、，延长，交于点， ∵四边形是“等垂四边形”， ∴，， ∴， ∵点，，分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴； （）延长、交于点，分别取、的中点、，连接、、， ∵，，， ∴，， 由（）知，， ∵，即， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质，三角形三边关系等知识点．解题的关键是掌握新定义“等垂四边形”、三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点． 23．(22-23八下·浙江杭州建德城东实验学校·期中)如图，在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、．    (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省杭州市建德市城东实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用三角形中位线定理可得出， ，结合，得出，可证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证； （2）利用直角三角形斜边中线的性质求出，利用平行四边形性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，．    ∵点E，F分别为、的中点， ∴， ． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴与互相平分． （2）解：在中， ∵E为的中点，， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴． 24．(23-24八下·浙江台州和合联盟·期中)在如图的网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上； (2)第（1）作的的面积为______； (3)在图2中，连接，，仅用无刻度的直尺作的一条中位线．（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示） 【答案】(1)作图见详解 (2)8 (3)作图见详解 【来源】浙江省台州市和合联盟2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的定义、三角形中位线的定义解决问题． （1）根据平行四边形的定义画出图形； （2）用的正方形的面积减去4个的三角形的面积，再减去两个边长为1的小正方形的面积即可； （3）取格点G，H，连接交于点N，中点即为格点M，连接即可． 【详解】（1）解：如图1中，平行四边形即为所求；    （2）解：；    （3）解：取格点G，H，连接交于点N，中点即为格点M，连接． 如图2中，线段即为所求．    25．(23-24八下·浙江杭州上城区杭州中学·期中)已知：如图，是的中位线，是边上的中线，和交于点O．求证：与互相平分．    【答案】见解析 【来源】浙江省杭州市上城区杭州中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．由三角形中位线定理，得到，，进而得出四边形和四边形是平行四边形，再证明出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：是的中位线， ，， 是边上的中线， ， ， 四边形和四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， 与互相平分． ( 题型02 ) 与中位线有关的证明 1．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)如图，在四边形中，，、交于点，、分别是、中点，分别交、于点、．求证：． 【答案】详见解析 【来源】浙江省宁波市余姚实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，取边的中点M，连接，，结合三角形中位线的性质有，，，，即可得，则有，再结合平行线的性质可得，，问题随之得证． 【详解】解：取边的中点M，连接，， ∵M、F分别是、中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴． 2．(22-23八上·浙江华东师范大学附属杭州学校·期中)如图，在中，，，，D，E分别是和边的中点，在的延长线上取一点F，使． (1)求的长； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【来源】浙江省华东师范大学附属杭州学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线，等边三角形的判定和性质： （1）根据30度的直角三角形的性质以及勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可； （2）连接，证明是等边三角形，推出，得到，，进而推出，即可得证． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， ∵E是边的中点， ， ； （2）证明：连接， ∵D，E分别是和边的中点， ，，， ， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 又∵，， ， ，， ， ， 即， 又∵， ∴是等边三角形． 3．(23-24八下·浙江金华南苑中学·期中)如图是5×5的方格纸，点A，B，C都在格点上，按要求作图． (1)在图1中找到一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形； (2)在图2中仅用无刻度的直尺，作出的中位线MN使得M在AB上，N在AC上．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】浙江省金华市南苑中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查作图应用与设计图案，三角形中位线定义，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的判定画出图形； （2）根据三角形的中位线的定义画出图形． 【详解】（1）解：如图1中，平行四边形即为所求； （2）如图2中，线段即为所求． 4．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【来源】浙江省苍南县星海学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】（）利用三角形中位线的性质得，进而可得，即可求证； （）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在平行四边形中，，， 在中，， ∴． 5．(23-24八下·浙江温州安阳实验中学·期中)如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省温州市安阳实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理： （1）根据三角形中位线定理得到且，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴且， 又∵，即， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得， 又由（1）知，，且， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理得． 6．(23-24八下·浙江金东实验中学教育集团·期中)如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上． (1)求证：． (2)若，求的长； (3)点F为的中点，连接，交于点G，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)见解析 【来源】浙江省金东实验中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，据此可证明结论； （2）由平行四边形的性质得、，再说明可证得，同理，则，进而求出，再利用勾股定理求解即可； （3）取的中点H，连接，由三角形中位线定理得，且，再证得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 由（1）得 ∴，即AE的长为． （3）证明：如图，取的中点H，连接，则，    ∵点F为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7．(22-23八下·浙江杭州拱墅区大关中学教育集团·期中)如图，中，点D，E分别是边，的中点，过点C作交的延长线于点F，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，若，，求：①的长；②四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)①②． 【来源】浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．②证得，然后利用解答即可． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别是边，的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）①∵，E为的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ②∵， ∴，. 又∵, ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 8．(22-23八下·浙江杭州萧山区高桥初中教育集团·期中)如图，四边形是平行四边形，，，点是的中点，点是延长线上一点． (1)连接，求证：． (2)若．求证：． (3)在（2）的条件下，若的延长线与交于点，试判断四边形是否为平行四边形并证明你的结论（请补全图形，再解答） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)四边形为平行四边形，理由见解析 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据平行四边形的性质及，得到，，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质可得结论； （2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， 连接，如图所示， ∵是的中点， ∴，， ∴； （2）由（1）知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：四边形为平行四边形，理由如下： 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 9．(22-23八·浙江温州第二中学·期中)如图，在中，对角线，相交于点O．，E，F，G分别是，，的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省温州市第二中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】（1）由已知条件证是等腰三角形，是的中点，根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知． （2）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，． 由已知， ． 又是中点， ． （2）由（1），又是中点， 是斜边上的中线． 又是的中位线， ． 又， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键． ( 题型03 ) 三角形中位线的实际应用 1．(22-23八·浙江温州第二中学·期中)如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则 ． 【答案】 6 【来源】浙江省温州市第二中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得和的长；再先后求得，，，然后利用圆的面积公式即可求解. 【详解】解：作于点N，连接， ∵， ∴， ∵点A是线段的中点， ∴， ∵， ∴点B是的中点， ∴是的中位线， 在中，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 过点A和作的垂线，垂足分别为和， 由题意得，同理是的中位线， ∴， 同理， ∴， 故答案为：，6. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线上的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．(20-21八上·浙江温州洞头区·期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 【答案】3 【来源】浙江省温州市洞头区2020-2021学年八年级上学期期中数学试题 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 3．如图小芳为测湖宽，取边的中点D，E，连结，并测得米，则 米． 【答案】40 【来源】【新东方】 【2021.5.19】【JH】【初二下】【数学】【JH0024】 【分析】 根据三角形中位线定理可得，代入数据可得答案． 【详解】 解：线段，的中点为，， ， 米， 米， 故答案为：40． 【点睛】 此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 4．(22-23八下·浙江温州文成县·期中)如图，某游乐场游客中心位于处，其正南方向米处有海盗船游乐项目，在的正东方向米处有摩天轮游乐项目餐厅位于的中点；碰碰车游乐项目位于上，且恰好处于餐厅的正南方向小快从出发，经到匀速骑行游玩，曼曼同时从出发，沿南偏西方向匀速直线行走游玩．    (1)餐厅和碰碰车游乐项目相距多少米？ (2)已知小快的速度是曼曼速度的倍，小快在由到骑行的途中与曼曼相遇于处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到米，） 【答案】(1)米 (2)米 【来源】浙江省温州市文成县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】利用三角形的中位线定理求解即可； 设相遇时曼曼行走了米，则米，米，求出米，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，米，， 位于的中点，， 位于的中点， 是的中位线， 米． 答：餐厅和碰碰车游乐项目相距米； （2）解：设相遇时曼曼行走了米，则米，米， 由题意可知，， 由可知，是的中位线， ， ， ， 位于的中点， 米， 米， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：相遇时曼曼行走了约米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、方向角以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 5．(22-23八上·浙江温州实验中学·期中)如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）． 　 (1)求证：． (2)若为等腰三角形时，求的值． (3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______． 【答案】(1)证明见详解； (2)的值为或； (3)； 【来源】浙江省温州市实验中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可； （3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：设，，， 则， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）如图1中，取得中点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∵点在上运动， ∴不可能， 综上所述，满足条件的的值为或； （3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 同理可证， ∴，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． ( 题型04 ) 反证法 1．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：第一步应先假设； 故选B． 2．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)已知五个数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于0.2，首先要假设（    ） A．有1个数小于0.2 B．每个数都小于0.2 C．有1个数大于0.2 D．每个数都大于0.2 【答案】B 【来源】浙江省宁波市余姚实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，找出至少有一个大于或等于0.5的反面，得到答案．本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：已知五个正数的和等于1， 用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于0.2， 先要假设这五个正数都小于0.2， 故选：B． 3．(22-23八下·浙江杭州文理中学·期中)用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不小于时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于或等于 D．每一个内角都大于或等于 【答案】B 【来源】浙江省杭州市文理中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不小于”时，首先应该假设这个钝角三角形中每一个内角都小于， 故选：B 4．(22-23八下·浙江宁波海曙区宁波海曙区十校联考·期中)选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【来源】浙江省宁波市海曙区宁波市海曙区十校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查反证法，记住反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，结论成立． 【详解】解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，． 故选：D． 5．(23-24八下·浙江宁波鄞州区·期末)用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设， 故选：A． 6．(23-24八下·浙江宁波鄞州第二实验学校·期中)牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于 【答案】D 【来源】浙江省宁波市鄞州第二实验学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．至少有一个内角大于或等于的反面是每一个内角都小于，据此即可假设． 【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设：每一个内角都小于． 故选：D． 7．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)用反证法证明命题结论“”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省苍南县星海学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是的反面有多种情况，需一一否定． 【详解】解：用反证法证明“”时，应先假设． 故选：B． 8．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【来源】浙江省杭州市文澜中学2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试题 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 9．(22-23八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设（ ） A．一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角 B．一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角 C．一个四边形中没有一个内角是钝角或直角 D．一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角 【答案】C 【来源】浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法，进行判断即可． 【详解】解：由反证法的定义得 先假设结论：“至少有一个内角是钝角或直角”不成立， 则有：一个四边形中没有一个内角是钝角或直角， 故选：C． 【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键． 10．(22-23八下·浙江温州洞头区洞头区·期中)用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市洞头区洞头区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】反证法，是假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证，根据反证法的证明方法即可求解． 【详解】解：原命题的条件是“在中，对边是，若”，结论是“”， ∴根据反证法的证明方法，在原命题的条件下，假设结论不成立，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查反证法的证明方法，掌握命题的条件，结论，反证法的证明方法是解题的关键． 1．(22-23八下·浙江宁波北仑区顾国和外国语学校·期中)如图，在平行四边形中，对角线交于点，点分别是的中点，交于点，下列4个结论中说法正确的有（    ） （1）（2）（3）；（4） A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】D 【来源】浙江省宁波市北仑区顾国和外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定为等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断（1）正确；根据直角三角形的性质确定，根据三角形的中位线的性质确定，再结合平行四边形的性质可判断（2）正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定（3）正确；根据可得确定（4）正确． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵E为中点， ∴．故（1）正确． ②∵，G是中点， ∴． ∵E、F分别是中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴．故（2）正确． 如下图所示，连结．如图所示：    ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵E、F分别是中点， ∴． ∴，即． ∵，， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴．故（3）正确． ④∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E为中点， ∴ ∴，故（4）正确； 综上可知，正确的有（1）（2）（3）（4）， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线和直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键． 2．(22-23八下·浙江台州玉环共同体联盟·期中)如图，线段，点是线段上的动点，分别以为边在作等边、等边，连接，点是的中点，当点从点A运动到点时，点经过的路径的长是（    ）    A．3 B．2.8 C．2.5 D．2 【答案】A 【来源】浙江省台州市玉环市共同体联盟2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】分别延长交于点H，易证四边形为平行四边形，得出G为中点，则G的运行轨迹为三角形的中位线．最后运用中位线的性质求出的长度即可解答． 【详解】解：如图：分别延长交于点H，则是等边三角形， ∴, ∵等边、等边， ∴ ∵， ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分．M为的中点， ∴M也正好为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点， ∴M的运行轨迹为三角形的中位线． ∴． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线，发现点M移动的规律，判断出其运动轨迹是解答本题的关键． 3．(21-22八下·浙江金华义乌五校·期中)如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中成立的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【来源】浙江省金华市义乌五校2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由BC=AD=2AB可判断①，证明，可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④，由三角形中位线定理可求得AB=2OE，可判断⑤． 【详解】解：四边形ABCD为平行四边形， 平分 为等边三角形 ，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； 是BC中点 ，故④正确； ，故⑤正确 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 4．(22-23八下·浙江温州鹿城区温州外国语学校·期中)如图，中，，，，在边上取点使，点为射线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值为 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市鹿城区温州外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，根据平行四边形的性质可知点在射线上，当取得最小值时，取得最小值，即当点与点重合时，取得最小值，此时，设，则，根据勾股定理，求出的值，再进一步求出的长，在中，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值． 【详解】连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，如图所示： 在平行四边形中，，， 点为射线上任意一点， 点在射线上， 当取得最小值时，取得最小值， 即当点与点重合时，取得最小值， 此时， ，，， 设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， ， 为的中点，为的中点， 为的中位线，， ， ， ， ， ， ， ，，， 根据勾股定理，得， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，本题综合性较强，找出点的运动轨迹是解题的关键． 5．(22-23八下·浙江杭州萧山区高桥初中教育集团·期中)如图，在▱中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、若，，，则 点到直线的距离是 ． 周长的最小值是 ． 【答案】 5 / 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】过点作的垂线，交延长线于点，在等腰直角三角形中求即可； 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，；则长为周长的最小值；在等腰直角三角形中求，即可. 【详解】解：如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴ ， ， ∴点到直线的距离是5； 故答案为； 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值； 由知，在中，，， ， ， 由对称性可知，，， 是等腰三角形， 又， ， ， ∴周长的最小值； 故答案为：. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，最短路径问题；掌握平行四边形的性质，用勾股定理求边，利用对称性求最短距离是解题的关键． 6．(20-21八下·浙江杭州余杭区余杭区杭州英特外国语学校·期中)如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是 ． 【答案】2或或 【来源】浙江省杭州市余杭区余杭区杭州英特外国语学校2020-2021学年八年级下学期期中数学试题 【分析】判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：①时，过点作，垂足为点． ∴为的中点， 则，，取为的中点， ∴，为的中位线，即， ∴、、三点在一条线上，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，是等腰三角形； ②时，则， ∵，， ∴， ∴ 则， ∴当B时，是等腰三角形； ③时，则点在的垂直平分线上，取中点，连接、． 易知为矩形，∴，， ∴、、在同一直线上， ∴为的中位线， ∵，， ∴，，， ∴， 即：， 整理得：，即， 解得：或（舍去） ∴当时，△CDF是等腰三角形． 综上，当、、时，是等腰三角形． 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 7．(21-22八下·浙江金华吴宁第三初级中学·期中)如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF交AB、AD、分别于点E、F、G．继续折叠纸片，使得点C的对应点落在上，连接，点G到AD的距离为 ，的最小值为 ． 【答案】 【来源】浙江省金华市吴宁第三初级中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】过B作BH⊥AD于H，过G作GP⊥AD于P，GQ⊥于Q，过作⊥AD于R，由∠BAD=45°，AB=10，得BH=AB=5，从而可得=BH=5，根据将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF，可知GP==，又GP⊥AD，GQ⊥，有GP=GQ=，即可得当与Q重合时，最小，最小值即是GQ的长，故可得答案． 【详解】解：过B作BH⊥AD于H，过G作GP⊥AD于P，GQ⊥于Q，过作⊥AD于R，如图： ∵∠BAD=45°，AB=10， ∴BH=AB=5， ∵四边形ABCD是平行四边形，BH⊥AD，⊥AD， ∴四边形是矩形， ∴=BH=5， ∵GP⊥AD，⊥AD， ∴GP， ∵将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF， ∴AG=，∠AFE=∠， ∴GP是△的中位线， ∴GP==， ∵GP⊥AD，GQ⊥， ∴GP=GQ=， ∵折叠纸片，使得点C的对应点C落在上， ∴当与Q重合时，最小，最小值即是GQ的长， ∴最小为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及作辅助线求出GP的长度． 8．(23-24八上·浙江温州瑞安·期中)如图，和都是等腰直角三角形，，点E，F分别在射线，上，，点M为的中点，点P在上，，， (1)当点E在的延长线上，证明； (2)当为直角三角形，求的长 (3)直接写出的最小值_____________． 【答案】(1)见详解 (2)或者 (3) 【来源】浙江省温州市瑞安市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【分析】（1）先证明四边形是正方形，即，再证明，问题得解； （2）当为直角三角形，且时，先证明是的中位线，问题随之得解；当为直角三角形，且时，连接，，先证明是等腰直角三角形，即可得垂直平分，再证明、共线，则有垂直平分，进而可得 ，设，则，，在中，根据，可得，解方程即可求解； （3）当点E在线段上时，设、交于点G，过E点作，交于点H，先证明，即可得点G与点M重合，同理可证：当点E在线段的延长线上时，可得点M在线段上，再根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）当为直角三角形，且时，如图， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； 当为直角三角形，且时，连接，，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵点M为的中点， ∴，， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴、共线， ∴垂直平分， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 即此时，， 综上：为直角三角形，为或者； （3）当点E在线段上时， 设、交于点G，过E点作，交于点H，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G为中点， ∵点M为的中点，， ∴点G与点M重合， ∴点M在线段上， 同理可证：当点E在线段的延长线上时，点M在线段上， 根据垂线段最短可知：当时，有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴有最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，画出图形，分类讨论，灵活运用考点知识，是解答本题的关键． 9．(22-23八下·浙江温州鹿城区温州外国语学校·期中)如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若，，，求四边形的面积； (3)如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【来源】浙江省温州市鹿城区温州外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）证明，得，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）如图，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质和含度角的直角三角形的性质求出，的值，即可解决问题； （3）结合分两种情况讨论：如图，当点落在的边上时，如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，分别画图进行计算即可． 【详解】（1）∵， ， 点是边的中点， ， ， ∴， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2）如图，过点作于点， ，，， ，， ， 四边形的面积； （3）如图，当点落在的边上时， 由题意可知：是的中点， ， 在平行四边形中，， ，， ≌， ， ； 如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点， 同理可证≌， ，， 是的中位线， ，，，， 在中，． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是分类讨论解决问题 10．(22-23八上·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，，是边上的高线，过点作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】浙江省温州市苍南县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，进而证得是三角形中位线，根据直角三角形斜边上中线的性质得到结论； （2）过点作交于，设，根据过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边，可推出是的中位线，得出，然后利用等角对等边说明，，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：过点作交于，设， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（负值不合题意，舍去） ∴， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边，三角形中位线的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形两锐角互余等．勾股定理及三角形中位线的灵活运用是解题的关键． 11．(22-23八上·浙江杭州江干区采荷中学·期中)如图，中，，于点O，，． (1)求，的长； (2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接． ①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长； ②设直线交直线于点，连接，，若，则的长为______（直接写出结果）． 【答案】(1)，； (2)①6或；②或 【来源】浙江省杭州市江干区采荷中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】（1）由题意可得，再由勾股定理求得、即可； （2）①分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题； ②分两种情况： 当在线段上时，如图3，过作于，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得，证明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得结论； 当在线段的延长线上时，过作于，同计算可得结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， 由勾股定理可得，， 即， （2）①分两种情况： 当时，过作于，如图1所示： ， ， ， 是的中位线， ； 当时，如图2所示： 在和中， ， ， ， ； 综上所述，的长为6或； ②分两种情况： 当在线段上时，过作于，如图3所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 当在线段的延长线上时，过作于，如图4所示： 同理得：， ， ， 同理得：是等腰三角形， ， ， 中，； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明是等腰三角形是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$