精品解析：2025年山东省济南市市中区九年级中考一模前测数学试题

绝密★启用前 九年级学业水平质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知一个多边形的内角和小于它的外角和，那么这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 7. 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ） A. 3 B. 3 C. 5 D. 2 10. 已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当m≠0时，函数图象总过定点： ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案．） 11. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 12. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 13. 近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱，如图所示的马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为1米，圆心角，则长度为______． 14. 如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，在中，，，，点D是边上一点（且点D不与点A，B重合），连接，将沿翻折得到，连接，若是直角三角形，则______． 三、解答题（本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．） 16. 计算： 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 在平行四边形中，E为上一点，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，求证：． 19. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生、统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．（成绩得分用x表示，共分成四组：A． ；B． ；C． ；D． ）下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，88，79，72，96，79，69，65，89． 乙班10名学生竞赛成绩：86，80，77，84，80，69，90，74，75，81． 【整理数据】 【分析数据】 抽取甲班的竞赛成绩的扇形统计图 班级 平均数 中位数 众数 方差 C组所占百分比 甲班 80 n 79 乙班 80 80 a 27 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较稳定？ （3）按竞赛规定，达到D组成绩可获得一等奖．若甲、乙班两班各有学生50人．请估计这两个班可以获得一等奖的总人数是多少？ 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一 处、已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 21. 如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 甲、乙两个筑路队，甲筑路队每天比乙筑路队每天多筑路100米，甲筑路队筑路18000米所用时间与乙筑路队筑路15000米所用时间相等． （1）求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米； （2）甲、乙两个筑路队合作筑路30000米，若要求乙筑路队筑路不超过30天，甲筑路队至少筑路多少天？ 23. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，且顶点B的坐标为，． （1）求反比例函数的表达式及E点坐标； （2）如图2，连接，，试判断与的数量和位置关系，并说明理由； （3）如图3，连接，在反比例函数的图象上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由． 24. 如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． （1）求抛物线的解析式及的面积； （2）当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； （3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 25. 如图，中，，点是射线上的动点，点是边上的动点，连接，将沿翻折到所在平面得，点恰好落在直线上． （1）如图，当点与点重合时，若，求长； （2）如图，当时，求的值； （3）如图，设直线与直线交于点，当最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 九年级学业水平质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】． 故选：C． 3. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 4. 已知一个多边形的内角和小于它的外角和，那么这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个多边形边数是n，根据题意得： ， 解得：， ∴这个多边形是三边形，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握n边形的内角和为、外角和是是解题的关键． 5. 为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，以及平行公理推论，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作，得到，以及结合平行公理推论证明，得到，最后根据运算求解，即可解题． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式； 根据同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A.，原式错误； B.和不是同类项，不能合并，原式错误； C. ，计算正确； D. ，原式错误； 故选：C． 7. 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是正确解答此题的关键． 列表得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择的影片相同的结果有3种， 小明、小亮选择的影片相同的概率为， 故答案为：D． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴负半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴负半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第四象限， ∴经过点和点的直线一定经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 9. 如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ） A. 3 B. 3 C. 5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析作图痕迹的除相应的作图，可分析出图中做的是角的角平分线，根据角平分线的性质，结合平行四边形的性质，三角函数，即可解决本题． 【详解】解：过点作于点，如题所示， 由作图痕迹可知，为的平分线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，，且， ∴， ∴在中，，， ∴， 在中，， 故选D． 【点睛】本题考查尺规作图，平行四边的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，能够再图中构造合适的辅助线是解决本题的关键． 10. 已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当m≠0时，函数图象总过定点： ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④． 【详解】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确； 当m≠0时，二次函数， 当时，y的值与m无关， 此时，， 当时，，当时，， ∴函数图象总过定点，：故②正确； 当时，， ∵， ∵， ∴， ∴当时， ∴， ∴函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；故③正确； 函数图象上任取不同的两点、，则 当时，抛物线的对称轴为， ∴抛物线开口向下， 当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，故④错误， 综上可知，正确的是①②③， 故选：A 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案．） 11. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 【答案】3x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可． 【详解】3x3﹣12x =3x（x2﹣4） =3x（x+2）（x﹣2）， 故答案为3x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 12. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 则 ， 故答案为． 13. 近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱，如图所示的马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为1米，圆心角，则长度为______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知扇形弧长的计算公式是解题的关键，根据的长度及的度数，可求出的长，再结合的长可求出的长，再利用弧长公式计算即可得解． 【详解】解：的长为米，， ， 解得： 长为1米， 的长为米， 的长度为：(米)， 故答案为：米． 14. 如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 15. 如图，在中，，，，点D是边上一点（且点D不与点A，B重合），连接，将沿翻折得到，连接，若是直角三角形，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，先由勾股定理求出，再由由折叠的性质可得，，由求出，再利用证明，然后利用相似三角形分两种情况求解即可. 【详解】解：是直角三角形，当，则与或重合，不符合题意； 当，为斜边，不符合题意； 故，根据点的位置不同，有两种情况． ①当在上方时，如图所示，延长交延长线于， 在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②在下方时，如图：延长交延长线于， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解为0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，及求其整数解，先按照解不等式组的方法求解集，再根据解集写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为0，1，2，3． 18. 在平行四边形中，E为上一点，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，求证：． 【答案】 证明：∵点F为的中点， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，即可证明． 【详解】略 19. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生、统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．（成绩得分用x表示，共分成四组：A． ；B． ；C． ；D． ）下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，88，79，72，96，79，69，65，89． 乙班10名学生竞赛成绩：86，80，77，84，80，69，90，74，75，81． 【整理数据】 【分析数据】 抽取甲班的竞赛成绩的扇形统计图 班级 平均数 中位数 众数 方差 C组所占百分比 甲班 80 n 79 乙班 80 80 a 27 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较稳定？ （3）按竞赛规定，达到D组成绩可获得一等奖．若甲、乙班两班各有学生50人．请估计这两个班可以获得一等奖的总人数是多少？ 【答案】（1）40，79，80 （2） 解：根据甲班的方差为84．2，乙班的方差为27， ， 乙班的成绩相对稳定； （3）估计这两个班可以获一等奖的总人数大约是10人 【解析】 【分析】（1）根据扇形图、中位数、众数的概念分别进行求解； （2）根据方差越大越不稳定进行比较即可； （3）分别找出满足D组的人数，求解频率，然后估计总体满足D组的人数即可． 【小问1详解】 解：由题意得，甲班B组的频数为：4， 故， 将甲班10名学生竞赛成绩从小到大排列：65，69，72，78，79，79，85，88，89，96； 第五，六位的数都是79， 故中位数为：79； 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，84，80，69，99，74，75，81中， 出现次数最多的为：80，为两次； 故为80； 故答案为：40，79，80； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：甲班10名学生竞赛成绩到达D组的成绩人数有：1名； 乙班10名学生竞赛成绩到达D组的成绩人数有：1名； 根据甲、乙班两班各有学生50人： 估计这两个班可以获得一等奖的总人数是多少为：（人） 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一 处、已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则（），（）， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）， 答：线段的长度为． 21. 如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ，并延长交 于 ． ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又 ， ， 是 的半径．， 是 的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）通过连接辅助线 并延长交 于 ，利用圆中弦、角的关系（等弦对等圆心角、等腰三角形性质、三角形内角和 ），结合中位线平行关系及切线判定定理（半径垂直于直线则直线为切线 ）来证明 是切线； （2）依据（1）中得到的垂直、矩形关系，借助勾股定理，设半径列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得 ，，． 四边形 是矩形， ， 在 中，， ， ， ，即 ， 在 中，， 即 ， 解得 的半径 ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质（等弦对等圆心角、等腰三角形性质 ）、三角形中位线定理、切线的判定定理、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质、切线判定及勾股定理建立方程求解是解题的关键． 22. 甲、乙两个筑路队，甲筑路队每天比乙筑路队每天多筑路100米，甲筑路队筑路18000米所用时间与乙筑路队筑路15000米所用时间相等． （1）求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米； （2）甲、乙两个筑路队合作筑路30000米，若要求乙筑路队筑路不超过30天，甲筑路队至少筑路多少天？ 【答案】（1）甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米 （2）甲队至少筑路天 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系列方程解题即可． （1）设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，根据“甲筑路队筑路18000米所用时间与乙筑路队筑路15000米所用时间相等”列分式方程求解； （2）设甲甲筑路a天，由乙队筑路不超过天，列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，由题意可得： 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米； 【小问2详解】 解：设甲筑路a天， 由题意可得：， 解得：， 答：甲队至少筑路天． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，且顶点B的坐标为，． （1）求反比例函数的表达式及E点坐标； （2）如图2，连接，，试判断与的数量和位置关系，并说明理由； （3）如图3，连接，在反比例函数的图象上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点E坐标为 （2） 解：DE与AC的位置关系为，数量关系为，理由如下： ，，，， ，，， ， ， （3）存在，点F的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由B点坐标和可求得D点横坐标，再由轴可得D点纵坐标，由D点坐标可得反比例函数解析式，再把E点的横坐标代入解析式求出E点纵坐标； （2）根据已知的点的坐标求出，，，，再计算出对应线段的比值证得，再利用相似三角形的性质求得最终结论； （3）分类讨论F点在第一象限和第三象限的两种情况，作等腰直角三角形构造角，再利用三垂直模型得到全等的三角形，从而求得直线上的点的坐标，再利用待定系数法求出点F所在的一次函数的解析式，联立一次函数和反比例函数即可求得F点坐标． 【小问1详解】 解：根据题意，由点B的坐标为得，， 点D的坐标为，代入中得，得， 反比例函数的表达式为 由题意知，点E的横坐标为6 代入中 得点E纵坐标为 点E坐标为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在 ①当点F在第一象限的反比例函数图象上时，如图4 作，且使，连接，则，过点G作轴于点M，过点E作轴于点N，易得（三垂直模型） ∴， ∴点G坐标为 将和代入直线的表达式中，得 解得 所以，直线的表达式为： 联立反比例函数之和直线得 解得或 所以，点F的坐标为 ②当点F在第三象限的反比例函数图象上时 如图5，作，且使，连接，则，过点S作轴于点T ∴易得，（三垂直模型） ∴， ∴点S坐标为 将和代入直线的表达式中，得 解得 所以，直线的表达式为：. 联立反比例函数和直线得， 解得，或 所以，点F的坐标为 综上所述，使得时，点F的坐标为或 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，不仅涉及到反比例函数相关知识和待定系数法求一次函数的解析式，还考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数与几何的基础知识并能灵活运用是解决本题的关键． 24. 如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． （1）求抛物线的解析式及的面积； （2）当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； （3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【答案】（1），的面积为12 （2）当点F运动至对称轴上时，的面积为3 （3）的值是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法可得．设点到的距离为，点的纵坐标为，根据三角形面积公式即可求得； （2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 将，代入上式，得， 整理得， 解得， ， 设点O到的距离为d，点A的纵坐标为，则，， ∴的面积； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的对称轴为， 当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3， ， 即， 连接，， ∵，， ∴A与点C关于原点O对称， ∴点A，O，C三点共线，且O为的中点， ， ， . 平分， ， ， ∴， 与间的距离为d， ∴点H到的距离为d， ，， ， ∴当点F运动至对称轴上时，的面积为3； 【小问3详解】 解：过点A作于点L，过点F作于点K， 由题意得，， ， ， ∴在中，， . ， ，即为等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 在和中，， 即， ， 解得， ， 又， 即， ，解得， ， 的值是定值，定值为. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 25. 如图，中，，点是射线上的动点，点是边上的动点，连接，将沿翻折到所在平面得，点恰好落在直线上． （1）如图，当点与点重合时，若，求长； （2）如图，当时，求的值； （3）如图，设直线与直线交于点，当最小时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）折叠得到垂直平分，勾股定理求出的长，根据折叠的性质求出的长即可； （2）过点作，交于点，根据折叠的性质，得到，，结合已知条件推出，，根据三角形的外角的性质，得到，进而得到，设，证明，分别求出的长，再用正切的定义，求解即可； （3）过点作，根据折叠的性质，得到，根据垂线段最短，得到，进而得到时，最小，过点作，证明，利用（2）中的结论求出的长，再证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ， 由折叠可知：垂直平分， 又点与点重合， ； 【小问2详解】 解：，， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， 过点作，交于点， 则， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 过点作， 根据折叠的性质可知：，， ， ， 由可知，当时，， 此时最小， 如下图所示，过点作，则， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由（2）可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，勾股定理与折叠问题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握相关性质，构造相似三角形，理清线段之间的数量关系，利用设参法表示线段的长，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $