精品解析：吉林省长春市朝阳区长春吉大附中实验学校2024-2025学年高一下学期4月阶段性训练数学试题

2024～2025学年下学期高一年级阶段性训练 数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用二倍角公式进行化简求值. 【详解】原式. 故选：C 【点睛】本小题主要考查利用二倍角公式进行化简求值，属于基础题. 3. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定义有，结合已知即可得. 【详解】设，， 又是两个不共线的向量，故，解得. 故选：D 4. 半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为．圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点M的横坐标x关于时间 （单位： 的函数关系式为，求出的值，时，射线OM可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式． 【详解】设点M的纵坐标关于时间 （单位：的函数关系式为， 由题意可得，， 时，射线可视角的终边，则． 故选：D． 5. 向量，，那么向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再求出，，最后根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A． 6. 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则m的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用伸缩变换，平移变换，结合偶函数性质，即可求解. 【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象， 再将图象向左平移个单位得到的图象， 因为为偶函数， 所以， 又，所以m的最小值是. 故选：A. 7. 如图，，与的夹角为，与的夹角为，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将沿与方向进行分解，易得，再在中，，代入相关值即可得到答案. 【详解】将沿与方向进行分解，如图， 由平行四边形法则有，且，所以 ，又，，在中，， 即. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 8. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【详解】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（     ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数定义求出，，，再由诱导公式求解. 【详解】因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点， 所以，，，故A正确； 又，， ，故B错误，C、D正确 故选：ACD 10. 已知向量、、都是单位向量，，则（ ）． A. B. C. D. 与共线 【答案】ABC 【解析】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可判断AB，由条件可得，再结合向量的模长公式代入计算，即可判断C，由结合向量共线基本定理代入计算，即可判断D. 详解】对于A，由可得，则，即，故A正确； 对于B，由可得，且， 则，所以，故B正确； 对于C，由可得， 则 ，其中， ，故C正确； 对于D，由可得， 假设与共线，则存在实数，使得， 即，且，与不共线， 所以且，又，所以与共线，故D错误； 故选：ABC 11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先得到，即可求出函数的最小正周期，求出，即可判断A，再由判断B，求出函数在上的值域，即可判断C，结合函数解析式及正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为 因为函数的最小正周期为； 则函数的最小正周期为， 所以的最小正周期为，所以，则， 此时，则 ，符合题意，故A正确； 对于B：因为， 则， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：因为的最小正周期为，所以只需研究函数在上的值域即可， 当，则，此时， 则，所以，所以； 即的值域为，故C错误； 对于D：当时，则， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的定义域即可求解. 【详解】要使函数有意义，则有， 所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 如图所示的曲线为函数的部分图象，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出解析式. 【详解】观察图象，得，，则，即， 当时，，即， 所以，解得：，，所以. 故答案为： 14. 如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长， 【详解】在平行四边形中，是的中点，，与相交于O． 设， 则 由，可得 则，解之得，则 则 又，则，解之得，即的长为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用不同的途径，用基底表示向量. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，若，，，夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由条件根据数量积的定义求，再结合模的性质求结论； （2）由条件可得，结合数量积运算律化简可求结论. 【小问1详解】 因为，，，夹角为， 所以， 又， 所以， 所以， 【小问2详解】 因为向量与向量互相垂直， 所以， 所以， 由（1），又，， 所以， 所以. 16. 设，，且． （1）求、的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为. 所以. 因为，且，所以为锐角，所以，. 又. 【小问2详解】 由（1）得，. 因为，且，所以或. 若， 则， 这与，矛盾.故不成立. 若， 则， . 综上：. 17. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. （2）令，，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. 【小问1详解】 依题意，，，， 而是边的中点，，则， 因此，又，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：令，，则， ， 则有， 当时，，当时，， 所以的取值范围是. 18. 已知向量，，． （1）若，求x的值； （2）记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据向量平行，得到，由求解即可； （2）利用向量的数量积运算得到解析式，由恒成立，再通过求解在的最值，即可得到的最小值. 【小问1详解】 由，则，则， ，，故， ，由于，所以， 所以，则. 【小问2详解】 ==+， ==， ∵，∴，. ∵恒成立，∴， 从而，即. 19. 已知函数周期为，且满足，． （1）求的解析式； （2）设，若关于x的方程在上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，…，，试确定n的值，并求的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式以及辅助角公式整理函数解析式，根据正弦函数的周期性与最值，可得答案； （2）根据整体思想，构造函数，结合方程与函数的关系，结合函数图象，可得答案； （3）由函数解析式求得其对称轴，根据对称性，结合等差数列求和，可得答案. 【小问1详解】 ， 由函数的最小正周期，则， 由题意可知，则，， 解得，，由题意可得， 所以. 【小问2详解】 ，由，则， 令，，，易得函数的图象如下： 方程在上存在两个不相等的实数根， 等价于直线与曲线在上存在两个交点， 由图可得. 【小问3详解】 由，，函数对称轴为，， 解得，，则函数的对称轴为直线，， 由，， 则，所以， 易知，，，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年下学期高一年级阶段性训练 数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 化简：（ ）． A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A B. C. D. 3. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ） A. B. C D. 4. 半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为．圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 向量，，那么向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则m的最小值是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，，与的夹角为，与的夹角为，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 2 8. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（     ） A. B. C. D. 10. 已知向量、、都是单位向量，，则（ ）． A. B. C. D. 与共线 11. 已知函数最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递减 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 13. 如图所示的曲线为函数的部分图象，则__________． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，若，，，夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 16 设，，且． （1）求、的值； （2）求的值． 17. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 18. 已知向量，，． （1）若，求x的值； （2）记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值． 19. 已知函数周期为，且满足，． （1）求的解析式； （2）设，若关于x的方程在上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，…，，试确定n的值，并求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$