精品解析：山东省东营市利津县2024—2025学年下学期综合素养考试八年级数学试题

2025年3月阶段性综合养考试八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、单选题 1. 下列各式是二次根式的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 下列运算正确是（） A. B. C. D. 3. 式子在实数范围有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B. 对角线平分一组对角平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 5. 如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A B. 4 C. 5 D. 8. 如图，在中，，，，点是边上一点（不与点A、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 3.6 D. 4.8 9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若是平行四边形，则与互相平分 D. 若是正方形，则与互相垂直且相等 10. 如图，将两条宽度相同的纸条相交成30°角叠放，重合部分构成四边形，已知，则原纸条的宽度为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 无法确定 11. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 12. 如图，正方形与正方形，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于H，有下列结论：①；②；③；④；⑤，以上结论正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题 13. 计算：________． 14. 化简：________． 15. 菱形两条对角线长分别为，则菱形的面积是______． 16. 在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是______． 17. 如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长为________． 18. 如图，在长方形中，，对角线相交于点O且互相平分，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则的值是_________． 19. 下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是_______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为________． 三、解答题 21. （1）计算：| （2）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 22. 如图，在菱形中，作于F，，求证： 23. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）_______，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______． 24. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 25. 如图，已知四边形正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年3月阶段性综合养考试八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、单选题 1. 下列各式是二次根式的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：B． 3. 式子在实数范围有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：式子在实数范围有意义， ， 故选：B ． 4. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中点四边形、特殊四边形判定等知识．根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意； D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； 故选：C 5. 如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，由勾股定理可得，结合菱形的性质可得，，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故选：C． 6. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：由图可得，，， ∵点D为线段的中点， 故选：B． 7. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 8. 如图，在中，，，，点是边上一点（不与点A、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 3.6 D. 4.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键． 连接，根据矩形的性质可得，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ， ， ∴． 即的最小值是． 故选：D． 9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若是平行四边形，则与互相平分 D. 若是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可． 本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：点 E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 但与不一定互相平分，故选项C不符合题意； A．， ， 四边形为菱形，故本选项不符合题意； B．时，， 则四边形为矩形，故本选项不符合题意； D．当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，故本选项不符合题意； 故选：D． 10. 如图，将两条宽度相同的纸条相交成30°角叠放，重合部分构成四边形，已知，则原纸条的宽度为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键． 先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，即重叠部分为菱形可得，然后由含角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于E，于F， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 11. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ． ， 故选：B． 12. 如图，正方形与正方形，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于H，有下列结论：①；②；③；④；⑤，以上结论正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】利用等角的余角相等得到，则可根据“”判断，则，再利用四边形是正方形得到，则可对①进行判断；由于，则不能判断，于是可对②进行判断；利用得到，加上，所以，则可对③进行判断；通过证明为等腰直角三角形得到，则，利用勾股定理得到，加上，则可对④进行判断；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断． 【详解】解：∵， ， 而， ， 在和中 ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ，故①正确； ， ∴不能判断， ∴不能确定，故②错误； ∵四边形是正方形， ， ∴， 而， ∴，所以③正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， 而， ∴，所以④错误； ∵，， ∴，所以⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，涉及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，正方形的性质等知识点，能灵活运用全等三角形的知识解决相关问题是解题的关键． 二、填空题 13. 计算：________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ． 14. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的性质，根据化简，再结合负数的绝对值等于它的相反数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 15. 菱形两条对角线长分别为，则菱形的面积是______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：由题意得，菱形的面积是， 故答案为：21． 16. 在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简，根据题意得到即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 17. 如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，由折叠的性质得出，，由勾股定理得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为： ． 18. 如图，在长方形中，，对角线相交于点O且互相平分，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由求得答案． 【详解】解：连接， ∵长方形中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 19. 下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了数字的变化规律，从被开方数考虑求解是解题的关键，难点在于二次根式的变形． 【详解】解：根据题意可知所给数列为， 则第 n 项为 ，因此第 10 项为． 故答案为： 20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的性质，图形类规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意得出第二个正方形边长，继而再得到第三个正方形的边长，即可发现规律，继而解答． 【详解】解：正方形（记为第个正方形），点的坐标为，以为顶点作等边三角形， ，， ， ，即第二个正方形边长为， ，即第三个正方形边长为， 由此得到规律：第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题 21. （1）计算：| （2）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 【答案】（1）；（2）0 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，实数与数轴，化简绝对值和二次根式： （1）先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先根据数轴判断实数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：由数轴可知， ， ∴原式 22. 如图，在菱形中，作于F，，求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，依据菱形的性质即可得到，，再根据AAS即可判定≌，进而得出 【详解】证明：菱形， ，， ，， ， 在与中， ， ， 23. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）_______，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______． 【答案】【猜想】（1），证明见解析；【推理证明】（2）见解析；【创新应用】（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【猜想】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； 【推理证明】（2）根据题意得出规律，进行计算即可； 【创新应用】（3）根据规律计算求出的值，代入计算即可． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）， ，， ， ， 故答案为：． 24. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． 25. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）的值为定值， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定和矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等． （1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值． 【小问1详解】 证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形矩形， ， ，即， 是正方形对角线的交点， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． 【小问2详解】 解：的值为定值， 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$