第10讲 函 数（8个知识清单+11类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

第10讲 函 数 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01函数的概念........................................................................................................................................................................4 题型02函数解析式........................................................................................................................................................................5 题型03.求自变量的取值范围........................................................................................................................................................8 题型04求自变量的值或函数值...................................................................................................................................................10 题型05用表格表示变量间的关系...............................................................................................................................................13 题型06用关系式表示变量间的关系...........................................................................................................................................15 题型07函数图象识别....................................................................................................................................................................17 题型08从函数的图象获取信息...................................................................................................................................................20 题型09用描点法画函数图象......................................................................................................................................................24 题型10动点问题的函数图象......................................................................................................................................................26 题型11函数的三种表示方法......................................................................................................................................................30 分层练习........................................................................................................................................................................................32 夯实基础.........................................................................................................................................................................................32 能力提升.........................................................................................................................................................................................48 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 题型01函数的概念 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中， 随 的变化而变化，其中因变量是 ． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）． (1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)当时，求剩余油量Q的值． 题型02函数解析式 4．（24-25·全国·期末）长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是 6．（2025八年级下·全国·专题练习）在长方形ABCD中，，，动点P从点A开始按的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y．（当点P与点A或D重合时，） (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)直接写出的面积的最大值． 题型03.求自变量的取值范围 7．（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·广东河源·期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 9．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 题型04求自变量的值或函数值 10．（2025八年级下·全国·专题练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时的速度（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 下列说法中，错误的是（    ） A．自变量是刹车时的速度 B．刹车时的速度每小时增加，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的速度为 D．当刹车时的速度为时，与其前方距离的车辆不会追尾 11．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则x的值为 ． 12．（24-25八年级下·全国·单元测试）求下列函数当时的函数值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05用表格表示变量间的关系 13．（23-24八年级下·山东临沂·期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法：①在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数：②温度越低，声速越慢；⑧当温度每升高时，声速增加；④当空气温度为时，声音可以传播．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水 分钟后，水池中的水放完． 放水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）声音在空气中传播的速度与气温有重要关系，下表列出了一组不同气温时的音速． 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这种变化中，音速随气温的变化而变化， 是自变量， 是因变量； (2)除夕之夜，气温是，小天看见烟花燃放后，才听到其声响，请估计小天离燃放烟花的地方有多远？ 题型06用关系式表示变量间的关系 16．（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）在圆周长计算公式中，对半径不同的圆，变量有（ ） A．2，r B．C，r C． D． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）某“优质花海专用花籽”的价格为60元，如果一次性购买以上的花籽，超过的部分的花籽的价格打8折． (1)根据题意，填写下表： 购买花籽的重量/kg 3 4 5 6 … 付款金额/元 180 300 (2)设购买花籽的重量为，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式； (3)若花海园丁李伯伯一次购买该花籽花费了540元，求他购买花籽的重量． 题型07函数图象识别 19．（24-25八年级下·全国·期中）如图三个图像分别表示变量之间的关系，按图像的顺序将下面的三种情景境与之对应，正确的顺序是（    ） a．嘉琪去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果重量的关系 b．一个弹簧由不挂重物到所挂重物质量逐渐增加，弹簧的长度与所挂重物重量的关系 c．嘉琪从家到电影院，看了一段时间后，按原速原路返回，嘉琪离家的距离与时间的关系 A．a，b，c B．c，a，b C．c，b，a D．b，c，a 20．（22-23八年级下·北京延庆·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是 ．（填写序号） 21．（22-23八年级下·湖南娄底·阶段练习）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 题型08从函数的图象获取信息 22．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶．如图，这是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14个小时的节气是（   ） A．惊蛰 B．小满 C．立春 D．秋分 23．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示，有下列结论： ①甲、乙两地相距1200千米 ②快车的速度是90千米/时 ③慢车的速度是60千米时 ④快车到达甲地时，慢车距离乙地200千米 其中正确的结论是： ．（填写所有正确结论的序号） 24．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的关系如图所示，根据图象解决下列问题： (1)识别函数图象并获取信息： ①看轴：横轴表示____________；纵轴表示_________________； ②看线：图中乙的函数图象是__________（填写序号）； ③看点：乙的终点坐标是___________；甲、乙函数图象的交点P的坐标是_______________，该点表示的实际意义是______________； (2)直接写出乙到达点P时距B地还有__________千米． (3)分别求出甲、乙两人的行驶速度． 题型09用描点法画函数图象 25．（23-24八年级下·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 26．（21-22八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 27．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．兔子刚开始用10分钟匀速跑200米，却因骄傲睡觉40分钟，惊醒后加快速度追赶，又用时10分钟匀速到达终点，可惜乌龟早已到达了终点！以下是表示路程s（米）与时间t（分）之间关系的部分图象，请根据提供的信息回答下列问题： (1)请在图中补全函数图象； (2)直接写出此次比赛的全程是______米，乌龟跑完全程用时______分钟，兔子睡觉后跑到终点的速度是__________； (3)兔子赛后反思：若我保持原速前进，我也会轻松赢得比赛.此次输掉比赛，是因为我骄傲自满、掉以轻心，以后一定全力以赴．请通过计算说明：兔子若保持原速前进，会比乌龟早到多长时间． 题型10动点问题的函数图象 28．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 29．（23-24八年级下·全国·单元测试）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为．现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源监测点为 ． 30．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ (2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？ 题型11函数的三种表示方法 31．（21-22八年级·全国·假期作业）一蓄水池中有水30，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 剩余水量（） 28 26 24 22 下列说法错误的是（　　） A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完 32．（21-22八年级下·全国·课前预习）定义：用 来表示函数关系的方法叫做列表法． 列表法一目了然，使用起来比较方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律． 33．（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 夯实基础 一、单选题 1．在圆周长的计算公式中，变量有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（    ） A．r是因变量，V是自变量 B．r是自变量，V是因变量 C．r是自变量，h是因变量 D．h是自变量，V是因变量 3．函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A． B． C．且 D． 4．下列函数中，①；②；③；④，函数图象经过点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．函数的自变量x的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．或 6．如图，在一个正方体容器底部正中央嵌入一块平行于侧面的矩形隔板，隔板的高是正方体棱长的一半，现匀速向隔板左侧注水(到容器注满时停止)，设注水时间为t(min)，隔板所在平面左侧的水深为y左(cm)，则y左与t的函数图象大致是(     ) A． B． C． D． 7．甲、乙两人沿相同的路线由A到B匀速行进，A、B两地间的路程为16km，他们行进的路程S（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，则下列判断错误的是（） A．乙比甲晚出发1h B．甲比乙晚到B地2 h C．乙的速度是8km/h D．甲的速度是4km/h 8．甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．小明根据图象所提供的信息得出了以下4个结论： ①甲登山的速度是每分钟10米； ②乙在地时距地面的高度为30米； ③乙登山6.5分钟时追上甲； ④当甲、乙两人距地面的高度差为50米时，登山时间为乙出发后的4分钟或9分钟． 其中错误的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 9．某商场根据调查发现，一商品的销售量与销售价之间存在如下表所示的关系：设该商品的销售价为x（元），销售量为y（件），估计当时，y的值约为 ． 销售价x/元 90 100 110 120 130 140 销售量y/件 90 80 70 60 50 40 10．假设圆柱的高是，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生变化． （1）在这个变化的过程中，自变量为 ，因变量为 ； （2）如果圆柱底面半径为r（单位：），那么圆柱的体积V（单位：）可以表示为 ； （3）当r由变化到时，V由 变化到 ． 11．某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表： 数量（件） 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 8 14 20 26 32 … 则售价与数量之间的关系式是 ． 12．函数的定义域是 13．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为， 则这个二次函数的表达式是 14．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班． 三、解答题 15．求下列函数的自变量x的取值范围： (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 16．写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是常量，哪些量是变量． (1)购买单价是元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔数n(支)的关系； (2)运动员在一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间与跑步速度的关系． 17．在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下a，b两个情境： 情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校； 情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．    (1)情境a，b所对应的函数图像分别为______，______；（填写序号） (2)请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境． 18．青春期男、女生身高变化情况不尽相同，图中是小军和小蕊青春期身高的变化情况． (1)图中反映了__________和__________两个变量之间的关系，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示__________，点B表示__________ (3)小蕊10岁时身高约是__________ 19．小明、爸爸、爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回，小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行．三人步行速度不等，小明和爷爷骑自行车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系用如图三个图像表示．根据图像回答下列问题：        (1)三个图像中哪个对应小明、爸爸、爷爷？ (2)家距离目的地多远？ (3)小明与爷爷骑自行车的速度是多少？爸爸步行的速度是多少？ 20．在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度随所挂物体的质量x变化关系的图象如下： （1）根据图象信息补全表格： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 8 10 12 14 16 （2）写出所挂物体质量在0至时弹簧秤长度y与所挂物体质量的关系式； （3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的． 能力提升 一、单选题 21．已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 22．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 二、填空题 23．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式为 ． x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 24．表示变量之间关系的常用方法有 ， ， ． 三、解答题 25．根据下表回答问题． 时间/年 1995 1996 1997 1998 1999 2000 小学五年级女同学的平均身高/米 1．530 1．535 1．540 1．541 1．543 1．550 (1)这个表格反映哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)这个表格反映出因变量的变化趋势是怎样的? 26．四个容量相等的容器形状如图1所示，用同一流量的水管分别向这四个容器注水，所需时间都相同，如图2所示的是容器水位(h)与时间(t)的关系的图象． 请把适当的图象序号与相应容器形状的字母代号用线段相连接． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函 数 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01函数的概念........................................................................................................................................................................4 题型02函数解析式........................................................................................................................................................................5 题型03.求自变量的取值范围........................................................................................................................................................8 题型04求自变量的值或函数值...................................................................................................................................................10 题型05用表格表示变量间的关系...............................................................................................................................................13 题型06用关系式表示变量间的关系...........................................................................................................................................15 题型07函数图象识别....................................................................................................................................................................17 题型08从函数的图象获取信息...................................................................................................................................................20 题型09用描点法画函数图象......................................................................................................................................................24 题型10动点问题的函数图象......................................................................................................................................................26 题型11函数的三种表示方法......................................................................................................................................................30 分层练习........................................................................................................................................................................................32 夯实基础.........................................................................................................................................................................................32 能力提升.........................................................................................................................................................................................48 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 题型01函数的概念 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】此题主要考查了函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 【详解】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值， ①；③当取值时，有唯一的值对应； 即y是x的函数的是①③， 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中， 随 的变化而变化，其中因变量是 ． 【答案】 温度 时间 温度 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的基本概念．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语中早、午、晚是时间，早穿皮袄说明早上冷，午穿纱说明中午热，说明温度随着时间在变化． 【详解】解：“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是时间，因变量是温度． 故答案为：温度；时间；温度． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）． (1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)当时，求剩余油量Q的值． 【答案】(1)行驶路程是自变量，剩余油量是因变量． (2) (3)17 【知识点】函数的概念、求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【详解】解：（1）行驶路程是自变量，剩余油量是因变量． （2）∵该轿车平均每千米的耗油量为， ∴行驶路程与剩余油量的关系式为 ． （3）当时，． 题型02函数解析式 4．（24-25·全国·期末）长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查了函数的解析式，理解题意，正确列出函数关系式是解题的关键．由长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米，可得另一边长为厘米，再利用长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米， 长方形的另一边长为厘米， 长方形的面积， y与x的关系式为． 故选：C． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是 【答案】/ 【知识点】函数解析式、图形类规律探索 【分析】本题考查的是探究规律，函数的表示方法．根据图中所给出的图形，得出规律是解答本题的关键． 根据所给图形总结规律解答即可，不算左右两侧的椅子，则每张餐桌有4把椅子，再加左右两侧的椅子即可． 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 由此类推，可得出． 故答案为． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）在长方形ABCD中，，，动点P从点A开始按的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y．（当点P与点A或D重合时，） (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)直接写出的面积的最大值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． （1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x之间的函数解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当点P在AB上运动时，即时，； 当点P在BC上运动时，即时，； 当点P在CD上运动时，即时，， 综上所述，； （2）解：根据（1）的结论，得函数图象如下： 由图象可得，y最大为6， ∴的面积的最大值是6． 题型03.求自变量的取值范围 7．（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围、分式有意义的条件 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据求解函数自变量的取值范围的方法求解即可． 【详解】解：．，解得，故该选项不符合题意； ．，解得，故该选项符合题意； ．，解得，故该选项不符合题意； ．且 ，解得，故该选项不符合题意； 故选：B． 8．（23-24八年级下·广东河源·期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质，熟练掌握二次根式的意义是解题的关键； 二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得 故答案为： 9．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【答案】(1) (2)10 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、求自变量的取值范围 【分析】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算． （1）分别用x表示出两个正方形的面积，即可得出结果； （2）按照（1）结果代入x的值进行计算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 自变量x的取值范围是． （2）解：当时，． ∴当时，此时两正方形的面积和S为10． 题型04求自变量的值或函数值 10．（2025八年级下·全国·专题练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时的速度（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 下列说法中，错误的是（    ） A．自变量是刹车时的速度 B．刹车时的速度每小时增加，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的速度为 D．当刹车时的速度为时，与其前方距离的车辆不会追尾 【答案】C 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查常量和变量，理解常量和变量的定义以及表格中对应值的变化规律是正确解答的关键．根据常量和变量的定义以及表格中对应值的变化规律进行判断即可． 【详解】解：A．刹车距离随着刹车时的速度的变化而变化，所以刹车时的速度是自变量，刹车距离是因变量，因此选项A不符合题意； B．由表格中刹车距离与刹车时的速度对应值的变化规律可知，刹车时的速度每小时增加，刹车距离就增加，因此选项B不符合题意； C．表格中刹车距离与刹车时的速度对应值的变化规律可知，当刹车距离为时，刹车时的速度为，因此选项C符合题意； D．当刹车时的速度为时，刹车距离为，而，所以与其前方距离的车辆不会追尾，因此选项D不符合题意． 故选：C． 11．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则x的值为 ． 【答案】或 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数值的概念，把代入两个函数解析式求解的值再检验即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 解得：，符合题意， 当， 解得：，符合题意； 综上：，则x的值为或， 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·全国·单元测试）求下列函数当时的函数值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键：当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值． （1）将代入函数解析式求值即可； （2）将代入函数解析式求值即可； （3）将代入函数解析式求值即可； （4）将代入函数解析式求值即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ； （3）解：当时， ； （4）解：当时， ． 题型05用表格表示变量间的关系 13．（23-24八年级下·山东临沂·期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法：①在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数：②温度越低，声速越慢；⑧当温度每升高时，声速增加；④当空气温度为时，声音可以传播．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】根据自变量与函数的定义即可判断①；通过观察表格数据即可判断②、③；根据表格计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断④．本题考查了函数的表示方法、常量与变量，掌握自变量与函数的定义是解题的关键． 【详解】解：声速随温度的变化而变化， 自变量是温度，声速是温度的函数，故①正确； 从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故②正确； 从数据可知，温度每升高，声速就增加，故③正确； 由表格可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，故④错误； 故选：C． 14．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水 分钟后，水池中的水放完． 放水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 【答案】 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，由表中数据观察得出每分钟放水是解题的关键． 由表中数据可知，每分钟放水，而蓄水池有水，据此列式计算即可． 【详解】解：由表中数据可知：每分钟放水， 而蓄水池有水， 放水分钟后，水池中的水放完， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）声音在空气中传播的速度与气温有重要关系，下表列出了一组不同气温时的音速． 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这种变化中，音速随气温的变化而变化， 是自变量， 是因变量； (2)除夕之夜，气温是，小天看见烟花燃放后，才听到其声响，请估计小天离燃放烟花的地方有多远？ 【答案】(1)气温，音速 (2)米 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查函数的表示方法，理解函数的定义； （1）根据常量、变量、自变量、因变量的意义进行判断即可； （2）根据路程速度时间进行计算即可． 【详解】（1）由表格中两个变量的变化关系可知，音速随着气温的变化而变化的， 因此气温是自变量，音速是因变量，音速是气温的函数， 故答案为：气温，音速； （2）由题意可知，气温是时，音速为，则（米）， 答：元旦之夜，气温是，小天看见烟花燃放后，才听到其声响，小天离燃放烟花的距离为米． 题型06用关系式表示变量间的关系 16．（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）在圆周长计算公式中，对半径不同的圆，变量有（ ） A．2，r B．C，r C． D． 【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了函数的定义，根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【详解】解：∵在圆的周长公式中，C与r是改变的，π是不变的； ∴变量是C，r，常量是2π． 故选：B． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【答案】 ， ， 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）某“优质花海专用花籽”的价格为60元，如果一次性购买以上的花籽，超过的部分的花籽的价格打8折． (1)根据题意，填写下表： 购买花籽的重量/kg 3 4 5 6 … 付款金额/元 180 300 (2)设购买花籽的重量为，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式； (3)若花海园丁李伯伯一次购买该花籽花费了540元，求他购买花籽的重量． 【答案】(1)240，348； (2)当时，，当时，； (3) 【知识点】用关系式表示变量间的关系、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，求自变量的值等知识，解题的关键是： （1）利用单价×数量=总价计算即可； （2）利用单价×数量=总价，可得相应的函数解析式； （3）由于李伯伯一次购买该种子花费了540元元，所以一次性购买种子超过，再将代入（1）中所求的函数解析式，求出x即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：240，348； （2）解：由题意，得当时，， 当时，； （3）解：∵ ∴一次性购买花籽超过， ∴令， 解得， 答：他购买花籽的重量是． 题型07函数图象识别 19．（24-25八年级下·全国·期中）如图三个图像分别表示变量之间的关系，按图像的顺序将下面的三种情景境与之对应，正确的顺序是（    ） a．嘉琪去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果重量的关系 b．一个弹簧由不挂重物到所挂重物质量逐渐增加，弹簧的长度与所挂重物重量的关系 c．嘉琪从家到电影院，看了一段时间后，按原速原路返回，嘉琪离家的距离与时间的关系 A．a，b，c B．c，a，b C．c，b，a D．b，c，a 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数的图像，应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况作出选择． 【详解】解：c．嘉琪从家到电影院，看了一段时间后，这个时间段嘉琪离家的距离是不变的，再按原速原路返回，则嘉琪离家的距离与时间的关系符合图1 b．一个弹簧由不挂重物到所挂重物质量逐渐增加，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，则弹簧的长度与所挂重物重量的关系符合图2 a．嘉琪去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果重量的关系符合图3 故选：C． 20．（22-23八年级下·北京延庆·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是 ．（填写序号） 【答案】①③/③① 【知识点】函数图象识别 【分析】根据变量与变量之间的关系结合函数图象逐项进行判断即可． 【详解】解：①往水池中匀速注水，水池中水的体积随时间均匀增大，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，水池中水的体积随时间均匀减小，直至放完，可以用图中的图象表示； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，设绳子的长度为a，则矩形的面积与一边长的关系式为：，所以此函数图象不能表示变量与变量之间的函数关系； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园时，小明离家的路程与行走时间均匀增大，从香苑公园匀速原路返回时，小明离家的路程与行走时间均匀减小，所以此函数图象能表示变量与变量之间的函数关系； 综上分析可知，在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了用图象表示函数关系，解题的关键是理解题意，弄清楚两个变量之间的关系． 21．（22-23八年级下·湖南娄底·阶段练习）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)2.5，15； (2)1，20； (3)km/分． 【知识点】函数图象识别、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间； （2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间； （3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【详解】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟； （2）由纵坐标看出体育场离文具店（千米）， 由横坐标看出 扎西在文具店停留了（分）； 故答案为： 1；20； （3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟， 扎西从文具店回家的平均速度是（千米/分）， 答：扎西从文具店回家的平均速度是千米/分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 题型08从函数的图象获取信息 22．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶．如图，这是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14个小时的节气是（   ） A．惊蛰 B．小满 C．立春 D．秋分 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数的图象，根据函数图象即可判断每个节气所对定义的白昼时长，依此即可选择． 【详解】解：根据图象可知，白昼时长超过14小时的节气由小满和夏至． 故选：B． 23．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示，有下列结论： ①甲、乙两地相距1200千米 ②快车的速度是90千米/时 ③慢车的速度是60千米时 ④快车到达甲地时，慢车距离乙地200千米 其中正确的结论是： ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】②③④ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查由函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象和图象中的数据，可以得到甲、乙两地的距离，从而可以判断①；再根据慢车10小时到达乙地，可以计算出慢车的速度，即可判断③；然后根据4小时两车相遇，即可计算出快车的速度，从而可以判断②；再根据快车的速度和走的路程，可以得到快车用的时间，然后即可计算出快车到达甲地时，慢车距离乙地路程，从而可以判断④． 【详解】解：由图象可得， 甲、乙两地相距600千米，故①错误； 慢车的速度为（千米/时），故③正确； 快车的速度为：（千米/时），故②正确； 快车到达甲地时，慢车距离乙地：（千米），故④正确； 故答案为：②③④． 24．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的关系如图所示，根据图象解决下列问题： (1)识别函数图象并获取信息： ①看轴：横轴表示____________；纵轴表示_________________； ②看线：图中乙的函数图象是__________（填写序号）； ③看点：乙的终点坐标是___________；甲、乙函数图象的交点P的坐标是_______________，该点表示的实际意义是______________； (2)直接写出乙到达点P时距B地还有__________千米． (3)分别求出甲、乙两人的行驶速度． 【答案】(1)甲、乙行驶的时间，甲、乙行驶的路程 ，，甲出发分钟时在距离出发点千米处乙追上了甲 (2) (3)甲：千米小时，乙：千米小时 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，能够从函数的图象正确获取信息是解题的关键． （1）观察函数图象即可直接得出答案； （2）观察函数图象即可直接得出答案； （3）根据“速度路程时间”列式计算即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知： ①横轴表示甲、乙行驶的时间，纵轴表示甲、乙行驶的路程， 故答案为：甲、乙行驶的时间，甲、乙行驶的路程； ②图中乙的函数图象是①， 故答案为：①； ③乙的终点坐标是，甲、乙函数图象的交点的坐标是，该点表示的实际意义是甲出发分钟时在距离出发点千米处乙追上了甲； 故答案为：，，甲出发分钟时在距离出发点千米处乙追上了甲； （2）解：由函数图象可知： 乙到达点时距地还有千米， 故答案为：； （3）解：甲的行驶速度为： （千米小时）， 乙的行驶速度为： （千米小时）． 题型09用描点法画函数图象 25．（23-24八年级下·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用描点法画函数图象 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， ， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：D. 26．（21-22八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【知识点】用描点法画函数图象 【解析】略 27．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．兔子刚开始用10分钟匀速跑200米，却因骄傲睡觉40分钟，惊醒后加快速度追赶，又用时10分钟匀速到达终点，可惜乌龟早已到达了终点！以下是表示路程s（米）与时间t（分）之间关系的部分图象，请根据提供的信息回答下列问题： (1)请在图中补全函数图象； (2)直接写出此次比赛的全程是______米，乌龟跑完全程用时______分钟，兔子睡觉后跑到终点的速度是__________； (3)兔子赛后反思：若我保持原速前进，我也会轻松赢得比赛.此次输掉比赛，是因为我骄傲自满、掉以轻心，以后一定全力以赴．请通过计算说明：兔子若保持原速前进，会比乌龟早到多长时间． 【答案】(1)见解析 (2)500，50，30米/分 (3)兔子若保持原速前进，会比乌龟早到25分钟 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据题意和图象中的数据将图象补充完整即可； （2）根据图象中的数据解答即可； （3）先求出兔子之前的速度，再求出所需时间，作差即可得解． 【详解】（1）解：补全函数图象如图所示： （2）解：由图象可得：此次比赛的全程是500米，乌龟跑完全程用时50分钟，兔子睡觉后跑到终点的速度是米/分； （3）解： (米/分)， (分钟)， (分钟)， 答：兔子若保持原速前进，会比乌龟早到25分钟． 题型10动点问题的函数图象 28．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，由图2可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值即可求得答案．注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键． 【详解】解：由图2可知，，，当点到达点时，的面积为， ，即， 解得：． 故选：B． 29．（23-24八年级下·全国·单元测试）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为．现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源监测点为 ． 【答案】点 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据题意，可以得到各个监测点监测时，随的变化而如何变化，从而可以根据函数图象得解．解题的关键是明确各个监测点监测点时，是如何变化的． 【详解】解：由题意和图象，可得 由监测点监测时，函数值随的增大先减小再增大，然后再减小； 故答案为：点 30．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ (2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？ 【答案】(1)点P从点A出发，经过11秒后到达点D (2)经过秒或秒后三角形的面积恰好是 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查动点运动的函数图象问题，根据图2得出的长进而求出是解题的关键． （1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和进行求解即可； （2）由（1）中求得的数据，可知长方形的面积，进而可得出点P在上运动时，的面积为定值30，再对点P的位置再和上进行分类即可． 【详解】（1）解：由图2知，点P运动3秒时到达B点， 又∵点P的运动速度是秒， ∴． 又∵， ∴． 又∵四边形是长方形， ∴． ∴， ∴（秒）． ∴点P从点A出发，经过11秒后到达点D． （2）解：由（1）知，， 当点P在上运动时，的面积恒为：． 又，故不符合题意； 当点P在边上时， ， （秒）． 当点P在边上时， ， （秒）． 综上所述，经过秒或秒后三角形的面积恰好是． 题型11函数的三种表示方法 31．（21-22八年级·全国·假期作业）一蓄水池中有水30，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 剩余水量（） 28 26 24 22 下列说法错误的是（　　） A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完 【答案】A 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据函数的相关知识结合所给表格逐一进行分析判断即可得答案 【详解】解：A．由题意可知，水池剩余水量是因变量，放水的时间是自变量，原说法错误，故本选项符合题意； B．由题意可知，每分钟放水2，原说法正确，故本选项不符合题意； C．根据题意可得蓄水量y＝30﹣2t，所以放水8分钟后，水池剩余水量为： 30﹣2×8＝14（），原说法正确，故本选项不符合题意； D．放水钟，水池里的水为：30﹣2×15＝0（），原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的自变量和应变量的定义及函数关系式，求出剩余水量和放水时间之间的关系是解题的关键． 32．（21-22八年级下·全国·课前预习）定义：用 来表示函数关系的方法叫做列表法． 列表法一目了然，使用起来比较方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律． 【答案】表格 【知识点】函数的三种表示方法 【解析】略 33．（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【答案】(1)弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系 (2)见解析 (3)当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、从函数的图象获取信息、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法： （1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系； （2）解：根据上图，补全表格： 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 （3）解：由图象得： 当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加； 当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 夯实基础 一、单选题 1．在圆周长的计算公式中，变量有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据变量定义可得答案． 【详解】解：在圆周长的计算公式C=2πr中，变量有C和r， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了变量和常量，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． 2．一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（    ） A．r是因变量，V是自变量 B．r是自变量，V是因变量 C．r是自变量，h是因变量 D．h是自变量，V是因变量 【答案】B 【分析】本题主要考查变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，函数值为因变量，另一个值为自变量．根据自变量、因变量的定义进行求解即可． 【详解】解：圆柱的高h为，因此h是常量不是变量，故排除C、D，圆柱的体积V随底面圆半径r的变化而变化，所以r是自变量，V是因变量． 故选：B． 3．函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式、分式有意义条件，求公共解是解题关键． 根据二次根式、分式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 【详解】因为， 所以． 又因为， 所以， 所以自变量x的取值范围为． 故选：D． 4．下列函数中，①；②；③；④，函数图象经过点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的值，把点分别代入函数解析式进行检验即可． 【详解】解：①中，当时，，符合题意； ②中，当时，，符合题意； ③中，当时，，不符合题意； ④中，当时，，符合题意． ∴函数图象经过点的有3个， 故选：C． 5．函数的自变量x的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【详解】要使函数有意义， 则 所以， 故选A． 考点：函数自变量的取值范围． 6．如图，在一个正方体容器底部正中央嵌入一块平行于侧面的矩形隔板，隔板的高是正方体棱长的一半，现匀速向隔板左侧注水(到容器注满时停止)，设注水时间为t(min)，隔板所在平面左侧的水深为y左(cm)，则y左与t的函数图象大致是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可以得到各段内的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的． 解：从开始注水到水的高度与左侧隔板的高度相等时，这段时间内，y左随着t的增加而增加， 从水的高度与左侧隔板高度相等到右侧隔板内的水的高度与隔板高度相等时，y左随着t的增加不变， 当水的高度由与隔板高度相等再继续注水的过程中，y左随着t的增加而缓慢增加， 故选C． 7．甲、乙两人沿相同的路线由A到B匀速行进，A、B两地间的路程为16km，他们行进的路程S（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，则下列判断错误的是（） A．乙比甲晚出发1h B．甲比乙晚到B地2 h C．乙的速度是8km/h D．甲的速度是4km/h 【答案】C 【分析】根据函数图象的特征结合路程、速度、时间的关系依次分析各选项即可作出判断． 【详解】解：A．乙比甲晚出发1h，正确，不符合题意； B．甲比乙晚到B地2 h，正确，不符合题意； D．甲的速度是16÷4=4km/h，正确，不符合题意； C．乙的速度是16÷（2-1）=16km/h，故错误，本选项符合题意 故选：C． 【点睛】本题考查实际问题的函数图象，是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 8．甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．小明根据图象所提供的信息得出了以下4个结论： ①甲登山的速度是每分钟10米； ②乙在地时距地面的高度为30米； ③乙登山6.5分钟时追上甲； ④当甲、乙两人距地面的高度差为50米时，登山时间为乙出发后的4分钟或9分钟． 其中错误的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．根据函数图象可得甲登山用20分钟，距离地面的高度从100米增加到300米，由此即可判断①正确；求出在提速前，乙登山的速度，由此即可判断②正确；设乙登山分钟时追上甲，根据追上时，两人距离地面的高度相等建立方程，解方程即可判断③正确；先求出图象中，再分四种情况：，，和，分别建立方程，解方程即可判断④错误． 【详解】解：由函数图象可知，甲登山用20分钟，距离地面的高度从100米增加到300米， 则甲登山的速度是（米/分钟），结论①正确； 由函数图象可知，在提速前，乙登山的速度是（米/分钟）， 则（米），结论②正确； 设乙登山分钟时追上甲， 则， 解得， 即乙登山分钟时追上甲，结论③正确； 由题意得：提速后，乙登山的速度为（米/分钟）， 由函数图象可知，， 当时，则，解得，不符合题设，舍去； 当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，当甲、乙两人距地面的高度差为50米时，登山时间为乙出发后的4分钟或9分钟或15分钟，则结论④错误； 故选：D． 二、填空题 9．某商场根据调查发现，一商品的销售量与销售价之间存在如下表所示的关系：设该商品的销售价为x（元），销售量为y（件），估计当时，y的值约为 ． 销售价x/元 90 100 110 120 130 140 销售量y/件 90 80 70 60 50 40 【答案】30 【分析】本题考查利用表格表示变量之间的关系，根据表格得到售价每增加10元，销量减少10件，即可得出结果． 【详解】解：由表可知：售价每增加10元，销量减少10件， ∵时，， ∴当时，y的值约为30； 故答案为：30． 10．假设圆柱的高是，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生变化． （1）在这个变化的过程中，自变量为 ，因变量为 ； （2）如果圆柱底面半径为r（单位：），那么圆柱的体积V（单位：）可以表示为 ； （3）当r由变化到时，V由 变化到 ． 【答案】 圆柱的底面半径 圆柱的体积 【分析】本题考查了函数定义，求解函数关系式，利用圆柱体积公式求解函数关系式是本题解题的关键． （1）根据函数之间两变量之间的关系即可得到答案． （2）根据圆柱的体积公式即可求得关系式． （3）将自变量r的变化值代入（2）中求得的解析式中即可． 【详解】解：（1）在这个变化的过程中，自变量为圆柱的底面半径，因变量为圆柱的体积； （2）如果圆柱底面半径为r（单位：），那么圆柱的体积V（单位：）可以表示为； （3）当时，, 当时，； 当r由变化到时，V由变化到． 故答案为：圆柱的底面半径，圆柱的体积，，，； 11．某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表： 数量（件） 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 8 14 20 26 32 … 则售价与数量之间的关系式是 ． 【答案】/ y=2+6x 【分析】观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6，所以x件的销售总价y=8+6（x-1），化简即可． 【详解】解：观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6， ∴y=8+6（x-1）=6x+2． 故答案为：y=6x+2． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，根据表格，找到y随自变量x的变化规律，写出函数的关系式，这是解题的关键． 12．函数的定义域是 【答案】 【详解】由题可得 13．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为， 则这个二次函数的表达式是 【答案】 【详解】设，对称轴， 当时， 得 14．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班． 【答案】2 【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间． 【详解】解：由题意得： 七（1）班的速度为： 联络员与七（1）班的速度差为： 即联络员的速度为： 当七（2）班出发时， 联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和， 设七（2）班的速度为 列出方程： ， 解得： 即七（2）班的速度为， 则七（2）班追上七（1）班需要的时间为： 故填：2． 【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度． 三、解答题 15．求下列函数的自变量x的取值范围： (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 【答案】(1)全体实数 (2)全体实数 (3) (4) (5)且 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，列式计算即可得解． 【详解】（1）自变量x的取值范围是全体实数； （2）自变量x的取值范围是全体实数； （3）依题意有， 解得； （4）依题意有， 解得； （5）依题意有且， 解得且． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 16．写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是常量，哪些量是变量． (1)购买单价是元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔数n(支)的关系； (2)运动员在一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间与跑步速度的关系． 【答案】(1)y与n之间的关系式为，其中常量为，变量为y与n (2)t与v之间的关系式为，其中常量为400，变量为t与v 【分析】本题主要考查了列代数式： （1）购物所花的总金额应等于物品的单价与购买的数量的乘积，由关系式不难得出常量和变量； （2）根据路程等于速度乘以时间可得时间等于，结合题设即可写出关系式，从而得出常量和变量． 【详解】（1）解：根据题意得：y与n之间的关系式为，其中常量为，变量为y与n； （2）解：t与v之间的关系式为，其中常量为400，变量为t与v． 17．在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下a，b两个情境： 情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校； 情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．    (1)情境a，b所对应的函数图像分别为______，______；（填写序号） (2)请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境． 【答案】(1)③；① (2)小芳离开家出去散步，休息了一会儿后，又走回家．（答案不唯一） 【分析】（1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案； （2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合， 发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③都符合， 又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回， ∴只有③符合情境a； ∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留， ∴只有①符合b． （2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家． 【点睛】主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目． 18．青春期男、女生身高变化情况不尽相同，图中是小军和小蕊青春期身高的变化情况． (1)图中反映了__________和__________两个变量之间的关系，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示__________，点B表示__________ (3)小蕊10岁时身高约是__________ 【答案】(1)身高；年龄；年龄；身高 (2)小军和小蕊在11岁时身高都约是；小军和小蕊在14岁时身高都约是 (3) 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的解决． （1）根据横坐标与纵坐标表示的量解答； （2）根据交点的纵坐标相等可知二人身高相等； （3）根据平面直角坐标系确定横坐标为10时的身高值即可． 【详解】（1）解：∵在坐标系中横轴表示年龄（岁），纵轴表示身高（）， ∴图中反映了身高和年龄两个变量之间的关系，自变量是年龄，因变量是身高． 故答案为：身高；年龄；年龄；身高 （2）解：点A表示小军和小蕊在11岁时身高都约是； 点B表示小军和小蕊在14岁时身高都约是． 故答案为：小军和小蕊在11岁时身高都约是；小军和小蕊在14岁时身高都约是 （3）解：由图象可得，小蕊10岁时身高约是． 故答案为： 19．小明、爸爸、爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回，小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行．三人步行速度不等，小明和爷爷骑自行车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系用如图三个图像表示．根据图像回答下列问题：        (1)三个图像中哪个对应小明、爸爸、爷爷？ (2)家距离目的地多远？ (3)小明与爷爷骑自行车的速度是多少？爸爸步行的速度是多少？ 【答案】(1)A对应爷爷，去时耗时长；B对应爸爸，去时和返回时耗时一样；C对应小明，去时用时短返回用时长 (2)1200米 (3)骑自行车的速度为200米/分钟，爸爸步行的速度是100米/分钟 【分析】本题主要考查了通过函数图像的知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）由三人往返过程中的速度变化情况可得：图C对应的是小明，图B对应的是爸爸，图A对应的是爷爷； （2）由图可知，家距离目的地1200米； （3）由图可知，小明和爷爷骑车6分钟行驶了1200米，由此可得他们骑车的速度；由图可知，爸爸12分钟步行了1200米，由此即可得到爸爸的步行速度． 【详解】（1）解：∵小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行.三人步行速度不等，小明和爷爷骑自行车的速度相等， ∴观察、分析图形可得：图C对应的是小明，图B对应的是爸爸，图A对应的是爷爷； （2）由图可知，家距离目的地1200米； （3）由图可知：小明和爷爷骑车6分钟行驶了1200米， ∴小明和爷爷的骑车速度为：（米/分钟）； 由图可知，爸爸12分钟步行了1200米， ∴爸爸步行的速度是：（米/分钟）． 20．在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度随所挂物体的质量x变化关系的图象如下： （1）根据图象信息补全表格： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 8 10 12 14 16 （2）写出所挂物体质量在0至时弹簧秤长度y与所挂物体质量的关系式； （3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的． 【答案】（1）18；（2）；（3）当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm． 【分析】（1）根据表格可知，发现所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm，据此解答即可； （2）根据弹簧的长度等于弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度列出关系式； （3）结合图象解答即可． 【详解】解：（1）由题意可知，当x=5时，y=16+2=18， 故答案为：18； （2）根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm， 根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y=2x+8（0≤x≤5）； （3）由图象可知，当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm． 【点睛】本题主要考查得是列函数关系式，解答本题需要同学们明确弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度，根据表格发现所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm是解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系．由当时，函数值为，可得到，再代入当时的函数值中，即可求解． 【详解】解：函数，当时，函数值为， ， 整理可得：， 当时，， ，为整数， 一定为奇数， 函数值不可能是， 故选：B． 22．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 【答案】D 【详解】A、∵线段OA表示所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象， ∴小莹的速度是没有变化的，故选项错误； B、∵小莹比小梅先到， ∴小梅的平均速度比小莹的平均速度小，故选项错误； C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等， ∴他们没有相遇，故选项错误； D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面， ∴小梅是在小莹的前面，故选项正确． 故选D． 二、填空题 23．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式为 ． x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 【答案】 【分析】由表知，重物质量每增加1kg，弹簧则增加0.5cm，由此找到规律即可求得弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式． 【详解】解：如下表， x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 … y（cm） 12 12+0.5 12+2×0.5 12+3×0.5 12+4×0.5 12+5×0.5 12+6×0.5 … 当重物质量为xkg时，弹簧长度为y=12+0.5x， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求两个变量间的关系式，根据规律：重物质量每增加1千克，弹簧则增加0.5cm，是解决问题的关键． 24．表示变量之间关系的常用方法有 ， ， ． 【答案】 解析式 表格法 图象法 【详解】根据函数的定义，可得函数的表示方法有：解析式、表格法、图象法. 故答案为(1). 解析式    (2). 表格法    (3). 图象法 三、解答题 25．根据下表回答问题． 时间/年 1995 1996 1997 1998 1999 2000 小学五年级女同学的平均身高/米 1．530 1．535 1．540 1．541 1．543 1．550 (1)这个表格反映哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)这个表格反映出因变量的变化趋势是怎样的? 【答案】答案见解析 【详解】试题分析:(1)这个表格反映了时间与小学五年级女同学的平均身高之间的关系,时间是自变量,小学五年级女同学的平均身高是因变量,(2)随着时间的变化,小学五年级女同学的平均身高越来越高. 试题解析:(1)小学五年级女同学的平均身高与时间之间的关系. 时间是自变量,小学五年级女同学的平均身高是因变量.   (2)小学五年级女同学的平均身高随时间的推移而增加． 26．四个容量相等的容器形状如图1所示，用同一流量的水管分别向这四个容器注水，所需时间都相同，如图2所示的是容器水位(h)与时间(t)的关系的图象． 请把适当的图象序号与相应容器形状的字母代号用线段相连接． 【答案】见解析. 【详解】试题分析： 由图可知：容器A和B中水位上升速度是匀速的，但A中水位上升的速度快于B在水位上升的速度；容器C中水位上升速度是先快，然后逐渐变慢；容器D中水位上升速度是先慢，然后逐渐变快的，由此即可得到4个容器和4幅函数图象间的对应关系. 试题解析： 将图象序号与相应容器形状的字母代号用线段相连接的结果如下图所示： . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$