2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）《一次函数》19.1.1变量与函数八大题型

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《一次函数》 19.1.1变量与函数八大题型（解析版） 知识要点归纳 知识点1、变量、常量 变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。 常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。 【注意】 ①变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。 ②区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。 知识点2、函数的定义 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 【函数概念的理解】 ①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 【自变量的取值范围】 （1）关系式为整式时，函数自变量的取值范围为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。 知识点3、函数的表示 （1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 优点：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。 缺点：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： ①将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。 ②两个函数图像交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。 （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 优点：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。 缺点：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 优点：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。 缺点：图像中只能得到近似的数量关系。 题型归纳 【题型1 变量与常量】 【题型2 函数概念】 【题型3 函数解析式】 【题型4 函数自变量取值范围】 【题型5 求自变量值或函数值】 【题型6 用表格表示变量之间关系】 【题型7 用关系式表示变量之间关系】 【题型8 用图象表示变量之间关系】 典例精析专练 【题型1 变量与常量】 【例1】．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，常量是固定不变的量，变量是变化的量，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴其中的常量是单价． 故选：C． 【变式1-1】．水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中变量是（ ） A．C B． C．r和C D． 【答案】C 【分析】本题考查了变量的定义，理解定义是解题的关键．根据周长C随着半径的变化而变化求解即可． 【详解】解：∵周长C随着半径的变化而变化， ∴半径和周长C为变量． 故选：C． 【变式1-2】．程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（   ） A．a B．6 C．a和32 D．a和b 【答案】D 【分析】此题考查了变量和常量的概念，掌握其概念是解答本题的关键．变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量，据此求解即可． 【详解】这个问题中的变量是a和b． 故选：D． 【变式1-3】．小明到单位附近的加油站加油，如图所示的是加油机上的数据显示牌．下面的量是变量的是（   ） A．金额 B．加油量 C．单价 D．金额和加油量 【答案】D 【分析】本题考查了常量与变量，掌握相关定义是解题关键．在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此即可作答． 【详解】下面的量是变量的是金额和加油量． 故选：D． 【变式1-4】．已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（    ） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量的概念，解题的关键是明确在一个变化过程中，数值不发生变化的量是常量，数值发生变化的量是变量． 根据长方形面积公式得出x与y的关系，再依据常量与变量的定义判断各量的属性． 【详解】解：∵长方形的面积始终不变为常量，长和宽的数值发生变化为变量， ∴常量为6，变量为x，y． 故选：D． 【题型2 函数概念】 【例2】．下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 【详解】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值， ①；③当取值时，有唯一的值对应； 即y是x的函数的是①③， 故选：C． 【变式2-1】．下列函数关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，解题的关键是准确掌握函数的概念． 根据函数的概念可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案． 【详解】解：A. 对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意； B. 对于的每一个取值，有两个值，不符合函数的定义，故本选项符合题意； C. 对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意； D. 对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-2】．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是（    ） A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 【答案】D 【分析】本题主要考查函数，熟练掌握函数的定义是解决本题的关键．根据函数的定义（在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的么一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数）解决此题． 【详解】解：A．若y为正方形的面积，x为正方形的周长，则，故y是x的函数，A不符合题意． B．y表示正方形的周长，x表示正方形的边长，则，故y是x的函数，B不符合题意． C．y表示圆的面积，x表示圆的直径，则，故y是x的函数，C不符合题意． D．y表示一个正数的平方根，x表示这个正数，那么，故y不是x的函数，D符合题意． 故选：D． 【变式2-3】．圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 【答案】正比例 【分析】本题考查函数的概念，常量与变量．由正比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数． 故答案为：正比例． 【变式2-4】．电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数．月初小亮家电表显示的度数为300，本月初电表显示的读数为． (1)小亮家上月用电多少千瓦时？ (2)如果每千瓦时的电费为元，全月的电费为（元），那么上月小亮家应缴费电费是多少？ (3)在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？是哪个变量的函数？ 【答案】(1)千瓦时 (2)元 (3)常量：，300；变量：；是的函数 【分析】本题考查了函数的实际应用，根据电表读数方法得出度数与电费之间的关系是解题关键． （1）根据“上月用电量本月初电表读数上月初电表读数”解答即可； （2）根据“电费电费单价用电量”解答即可； （3）根据常量，变量，函数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：由“上月用电量本月初电表读数上月初电表读数”可知小亮家上月用电千瓦时． （2）解：根据“电费电费单价用电量”可知上月小亮家应缴费电费是元． （3）解：由（2）可知，其中的常量：，300；变量：；是变量的函数． 【题型3 函数解析式】 【例3】．已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，需要通过读懂题意，识别函数关系式是解题的关键． 依据题意，通过水池中的水量和放水时间的关系表，分析出水池中水量每分钟减少，从而可得函数关系式，最后可求出当放水时水池中的水量． 【详解】解：由题意知，水池中水量每分钟减少， 设水池中剩余水量为，放水时间为 ∴， ∴当时，． 即当放水时，水池中有水． 故选：C． 【变式3-1】．围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了找规律，由已知可得得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚，即可得当某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚时，y与x的关系可以表示为． 【详解】解：由第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，… 得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚， ∴第个图形中白棋有1枚，黑棋有枚； ∴某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为． 故答案为：． 【变式3-2】．杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力憵分别为1800N和0.3m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了函数表达式，根据“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【变式3-3】．中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数解析式的建立，正确理解题意是解题的关键． 根据路程等于速度乘以时间即可建立函数解析式． 【详解】解：由题意得函数解析式为， 故答案为：． 【变式3-4】．圆柱的底面半径为，当圆柱的高h变化时圆柱的体积V也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是_______________________________； (2)试写出V与h的函数关系式；（用含和h的式子表示） 【答案】(1)圆柱的高，圆柱的体积 (2) 【分析】本题考查了函数解析式、圆柱的体积公式，自变量和正确掌握相关性质内容是解题的关键．，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义进行作答即可； （2）圆柱的体积等于底面积乘高，据此列式即可作答． 【详解】（1）解：依题意，在这个变化过程中，自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积， 故答案为：圆柱的高，圆柱的体积； （2）解：依题意， 【题型4 函数自变量取值范围】 【例4】．已知长方形周长为． (1)写出长方形面积与一边长的函数关系式； (2)求出自变量的取值范围； (3)当时，算出面积的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的取值范围，求函数值，一元一次不等式的应用（用一元一次不等式解决实际问题）等知识点，熟练掌握函数基础知识是解题的关键． （1）长方形的一边长为，则另一边长为，然后利用长方形的面积公式即可得出长方形面积与一边长的函数关系式； （2）长方形的一边长为，则另一边长为，由题意得，，解不等式即可求出自变量的取值范围； （3）由（1）得，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：长方形的一边长为，则另一边长为， 长方形面积， 长方形面积与一边长的函数关系式为； （2）解：长方形的一边长为，则另一边长为， 由题意得：，， 解得：， 自变量的取值范围为； （3）解：由（1）得：， 当时， ， 当时，面积的值为． 【变式4-1】．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查建立函数的模型解决实际问题的能力．要读懂题意并根据题意列出函数关系式．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，并会根据实际意义求函数值和自变量的取值范围． （1）根据等腰三角形周长公式即可求得y关于x的函数关系式； （2）利用三角形边长为正数和三边关系求自变量的范围； 【详解】（1）解：根据三角形周长公式可知：， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 解得：． 【变式4-2】．点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． (1)当点的横坐标为时，试求的面积； (2)求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列函数关系式，坐标与图形； （1）直接运用面积公式即可求解； （2）运用面积公式，将，代入即可，运用第一象限上点的特征，求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ， （2）点在第一象限， ，， ， 综上，， 【变式4-3】．求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 【答案】(1)； (2)，且． 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数． （1）当函数表达式的二次根式时，根据二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解； （2）当函数表达式分母是分式，分子是二次根式时，根据分式的分母不能为0，二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解， 【详解】（1）解：， ， 解得： 自变量的取值范围为； （2）解：， ，， 解得：，， 自变量的取值范围为，且． 【变式4-4】．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为． (1) ______； (2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围； (3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】(1)5 (2)时，；时，； (3)时，；时， 【分析】本题主要考查了勾股定理，列函数关系式和代数式，解题关键是正确应用勾股定理建立函数关系式． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分点P在上，点P在上两种情况讨论即可； （3）根据三角形等面积法求出点C到的距离为，再分点P在上，点P在上两种情况讨论即可； 【详解】（1）解：在中，，，， ； 故答案为：． （2）解：当点P在上， （秒）， 时，； 当点P在上， （秒）， 时，； （3）解：设点C到直线的距离为h， ， ， 当时， ， ； 当时， ，， ． 【题型5 求自变量值或函数值】 【例5】．一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（    ） A．300千米 B．250千米 C．200千米 D．150千米 【答案】A 【分析】本题考查的是求自变量，理解函数关系式的含义是解本题的关键； 把代入函数解析式，可得答案． 【详解】解：把代入函数解析式， 可得：， 解得：， ∴当汽车油箱内剩余汽油为20升时，它行驶的路程是300千米． 故选：A． 【变式5-1】．已知函数，若，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了函数值的概念，把代入两个函数解析式求解的值再检验即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 解得：，符合题意， 当， 解得：，符合题意； 综上：，则x的值为或， 故答案为：或． 【变式5-2】．如图，这是关于变量的计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为 ． 【答案】42 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，把代入，如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴输出因变量． 故答案为：． 【变式5-3】．已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，需要通过读懂题意，识别函数关系式是解题的关键． 依据题意，通过水池中的水量和放水时间的关系表，分析出水池中水量每分钟减少，从而可得函数关系式，最后可求出当放水时水池中的水量． 【详解】解：由题意知，水池中水量每分钟减少， 设水池中剩余水量为，放水时间为 ∴， ∴当时，． 即当放水时，水池中有水． 故选：C． 【变式5-4】．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：）与所挂的物体的质量x（单位：）（不超过）间有下面的关系：则下列说法不正确的是（   ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 A．x与y都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【分析】本题考查了变量之间的关系，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，是解题的关键． 由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度增加，当不挂重物时弹簧长度为，然后逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A．与都是变量，说法正确，故A不符合题意； B．弹簧不挂重物时的长度为，原说法错误，故B符合题意； C．物体质量每增加，弹簧长度增加，说法正确，故C不符合题意； D．由C知，，当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 【题型6 用表格表示变量之间关系】 【例6】．已知长方形周长为． (1)写出长方形面积与一边长的函数关系式； (2)求出自变量的取值范围； (3)当时，算出面积的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的取值范围，求函数值，一元一次不等式的应用（用一元一次不等式解决实际问题）等知识点，熟练掌握函数基础知识是解题的关键． （1）长方形的一边长为，则另一边长为，然后利用长方形的面积公式即可得出长方形面积与一边长的函数关系式； （2）长方形的一边长为，则另一边长为，由题意得，，解不等式即可求出自变量的取值范围； （3）由（1）得，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：长方形的一边长为，则另一边长为， 长方形面积， 长方形面积与一边长的函数关系式为； （2）解：长方形的一边长为，则另一边长为， 由题意得：，， 解得：， 自变量的取值范围为； （3）解：由（1）得：， 当时， ， 当时，面积的值为． 【变式6-1】．某牛奶公司要对一批牛奶进行罐装，每瓶容量（升）与需要的瓶数（个）之间的关系如表所示： 每瓶容量（升） 0.2 0.25 0.4 0.5 … 需要的瓶数（个） 1000 800 500 400 … (1)这批牛奶共有多少升？ (2)需要的瓶数是怎样随着每瓶容量的变化而变化的？ 【答案】(1)200升 (2)需要的瓶数是随着每瓶容量的增大而减少的 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，用表格表示变量之间的关系，通过观察数据，确认每瓶容量与所需瓶数之间的反比关系是解题的关键； （1）根据需要的瓶数与每瓶容量的乘积一定，即可得出答案； （2）根据（1）可知需要的瓶数随着每瓶容量的增加而减小． 【详解】（1）根据表格中数据可知，每瓶容量与需要的瓶数的积是一定的， 这批牛奶共有：（升）． （2）根据表格可得到，当每瓶的容量增大时，所需要的瓶数在减少． 【变式6-2】．心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出这个新概念所用的时间x（单位：）之间有如下表所示的关系（其中）： 提出一个新概念所用的时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对这个新概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据表格中的数据，当提出一个新概念所用的时间是 时，学生对这个新概念的接受能力最强； (3)学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？ 【答案】(1)反映了提出一个新概念所用的时间x与学生对这个新概念的接受能力y之间的关系，其中提出一个新概念所用的时间x是自变量，学生对这个新概念的接受能力y是因变量 (2)13 (3)学生对一个新概念的接受能力在时间段内逐渐增强，在时间段内逐渐减弱 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键． （1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案； （2）根据表格中两个变量变化的数据可得出答案； （3）根据表格提供变化情况得出结论． 【详解】（1）解：题表反映了提出一个新概念所用的时间x与学生对这个新概念的接受能力y之间的关系，其中提出一个新概念所用的时间x是自变量，学生对这个新概念的接受能力y是因变量． （2）解：由题意可得：当提出一个新概念所用的时间是时，学生对这个新概念的接受能力最强； （3）解：由表格中的数据可知，学生对一个新概念的接受能力在时间段内逐渐增强，在时间段内逐渐减弱． 【变式6-3】．数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 10 20 30 声音在空气中的传播速度 319 325 331 337 343 349 阅读上述材料，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪些量是变量？ (2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了多少？ (3)用含t的代数式表示v； (4)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温和声音在空气中的传播速度 (2)气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了， (3) (4) 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，变量的定义以及变量之间的关系等等，正确理解题意是解题的关键． （1）根据声音在空气中的传播速度随着气温的变化而变化即可得到答案； （2）由表格中的数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了，据此可得答案； （3）根据（2）所求列式计算即可； （4）根据（3）所求求出此时声音在空气中传播的速度，再根据路程等于速度乘以时间列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中气温和声音在空气中的传播速度是变量； （2）解：由表格中的数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了， ∴气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了； （3）解：由题意得，； （4）解：， 答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距． 【变式6-4】．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是_____________，因变量是_____________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是_____________m； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)10 (3)当刹车时车速每增加时，刹车距离增加；该型号汽车某次的刹车距离为，测刹车时的车速是． 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得，代入求出v的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：10； （3）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加， ∴， ∴当时，则，解得， ∴当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，该型号汽车某次的刹车距离为，测刹车时的车速是． 【题型7 用关系式表示变量之间关系】 【例7】．汽车油箱中有汽油，如果不再加油，油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题列变量间的表达式以及自变量取值范围求法，正确得出x、y的表达式是解题关键．直接利用油箱中的油量y=总油量-耗油量进而得出x与y的关系式，再求出x的求值范围，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：， 故选：B． 【变式7-1】．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 【变式7-2】．某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加，则该气体的体积与温度之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列函数关系式，该气体的体积等于温度为时的体积加上在的基础上上升的温度乘以即可得到体积与温度之间的函数表达式． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 【变式7-3】．点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为的蜡烛，点燃，变短．设点燃后，还剩． (1)求y与x之间的关系式； (2)点燃几分钟后，还剩? 【答案】(1) (2)点燃后，还剩 【分析】本题考查了用函数解析式表示两个变量之间的关系，求函数值的问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长为的蜡烛，点燃，变短，得到每点燃，蜡烛变短，即可确定函数关系式； （2）将代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，每点燃，蜡烛变短， 所以； （2）解：当时，， 解得． 故点燃后，还剩． 【变式7-4】．已知池中有的水，每小时抽水． (1)用关系式表示池中剩余水的体积Q（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系； (2)后池中还有多少水？ (3)几小时后池中还有的水？ 【答案】(1) (2)后池中还有的水 (3)后池中还有的水 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量减去抽水量等于剩余水量是解题关键． （1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量； （2）根据自变量与函数值的对应关系，将代入函数解析式即可求解； （3）根据自变量与函数值的对应关系，将代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，当全部抽完水时，用时， ∴； （2）解：当时，． 故后池中还有的水； （3）解：当时，，解得． 故后池中还有的水． 【题型8 用图象表示变量之间关系】 【例8】．往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据容器的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析是解题的关键． 根据容器“上大下小”的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析即可得出答案． 【详解】解：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项符合该特点， 故选：． 【变式8-1】．在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案． 【详解】解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动， 即高度h先越来越大，再越来越小， 故选：A． 【变式8-2】．在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图像描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案． 【详解】解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动， 即高度h先越来越大，再越来越小， 故选：A． 【变式8-3】．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 【变式8-4】．《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（    ）比较符合故事情节． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了用函数图象表示变量之间的关系，根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降．据此对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】 由分析得：比较符合故事情节． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《一次函数》 19.1.1变量与函数八大题型 知识要点归纳 知识点1、变量、常量 变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。 常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。 【注意】 ①变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。 ②区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。 知识点2、函数的定义 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 【函数概念的理解】 ①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 【自变量的取值范围】 （1）关系式为整式时，函数自变量的取值范围为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。 知识点3、函数的表示 （1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 优点：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。 缺点：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： ①将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。 ②两个函数图像交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。 （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 优点：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。 缺点：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 优点：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。 缺点：图像中只能得到近似的数量关系。 题型归纳 【题型1 变量与常量】 【题型2 函数概念】 【题型3 函数解析式】 【题型4 函数自变量取值范围】 【题型5 求自变量值或函数值】 【题型6 用表格表示变量之间关系】 【题型7 用关系式表示变量之间关系】 【题型8 用图象表示变量之间关系】 典例精析专练 【题型1 变量与常量】 【例1】．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【变式1-1】．水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中变量是（ ） A．C B． C．r和C D． 【变式1-2】．程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（   ） A．a B．6 C．a和32 D．a和b 【变式1-3】．小明到单位附近的加油站加油，如图所示的是加油机上的数据显示牌．下面的量是变量的是（   ） A．金额 B．加油量 C．单价 D．金额和加油量 【变式1-4】．已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（    ） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 【题型2 函数概念】 【例2】．下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 【变式2-1】．下列函数关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是（    ） A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 【变式2-3】．圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 【变式2-4】．电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数．月初小亮家电表显示的度数为300，本月初电表显示的读数为． (1)小亮家上月用电多少千瓦时？ (2)如果每千瓦时的电费为元，全月的电费为（元），那么上月小亮家应缴费电费是多少？ (3)在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？是哪个变量的函数？ 【题型3 函数解析式】 【例3】．已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【变式3-1】．围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为 ． 【变式3-2】．杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力憵分别为1800N和0.3m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ． 【变式3-3】．中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为 ． 【变式3-4】．圆柱的底面半径为，当圆柱的高h变化时圆柱的体积V也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是_______________________________； (2)试写出V与h的函数关系式；（用含和h的式子表示） 【题型4 函数自变量取值范围】 【例4】．已知长方形周长为． (1)写出长方形面积与一边长的函数关系式； (2)求出自变量的取值范围； (3)当时，算出面积的值． 【变式4-1】．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 【变式4-2】．点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． (1)当点的横坐标为时，试求的面积； (2)求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【变式4-3】．求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 【变式4-4】．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为． (1) ______； (2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围； (3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【题型5 求自变量值或函数值】 【例5】．一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（    ） A．300千米 B．250千米 C．200千米 D．150千米 【变式5-1】．已知函数，若，则x的值为 ． 【变式5-2】．如图，这是关于变量的计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为 ． 【变式5-3】．已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【变式5-4】．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：）与所挂的物体的质量x（单位：）（不超过）间有下面的关系：则下列说法不正确的是（   ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 A．x与y都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【题型6 用表格表示变量之间关系】 【例6】．已知长方形周长为． (1)写出长方形面积与一边长的函数关系式； (2)求出自变量的取值范围； (3)当时，算出面积的值． 【变式6-1】．某牛奶公司要对一批牛奶进行罐装，每瓶容量（升）与需要的瓶数（个）之间的关系如表所示： 每瓶容量（升） 0.2 0.25 0.4 0.5 … 需要的瓶数（个） 1000 800 500 400 … (1)这批牛奶共有多少升？ (2)需要的瓶数是怎样随着每瓶容量的变化而变化的？ 【变式6-2】．心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出这个新概念所用的时间x（单位：）之间有如下表所示的关系（其中）： 提出一个新概念所用的时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对这个新概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据表格中的数据，当提出一个新概念所用的时间是 时，学生对这个新概念的接受能力最强； (3)学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？ 【变式6-3】．数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 10 20 30 声音在空气中的传播速度 319 325 331 337 343 349 阅读上述材料，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪些量是变量？ (2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了多少？ (3)用含t的代数式表示v； (4)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【变式6-4】．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是_____________，因变量是_____________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是_____________m； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 【题型7 用关系式表示变量之间关系】 【例7】．汽车油箱中有汽油，如果不再加油，油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加，则该气体的体积与温度之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】．点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为的蜡烛，点燃，变短．设点燃后，还剩． (1)求y与x之间的关系式； (2)点燃几分钟后，还剩? 【变式7-4】．已知池中有的水，每小时抽水． (1)用关系式表示池中剩余水的体积Q（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系； (2)后池中还有多少水？ (3)几小时后池中还有的水？ 【题型8 用图象表示变量之间关系】 【例8】．往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（   ） A． B． B． C． D． 【变式8-1】．在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】．在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图像描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】．《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（    ）比较符合故事情节． A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$