第二章二次函数 单元试卷　2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版数学9年级下第二章二次函数 一．选择题（共10小题） 1．若抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．且k≠1 B． C．且k≠1 D． 2．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线表达式是（　　） A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2 3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＜0；②3a+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④（a+c）2﹣b2＜0；⑤a+b≤m（am+b） （m为实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （第3题） 4．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（　　） A．B． C．D．（第5题） 5．二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为（　　） A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝3，x2＝1 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），l是其对称轴，则下列结论： ①abc＞0； ②a﹣b+c＝0；③2a+b＞0； ④a+2c＜0；其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，﹣m），B（1，m），C（﹣2，n）， （第6题） D（3，m），其中m，n为常数，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．定义：将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（　　） A． B． C．1 D．﹣1 9．函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数．且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根 D．无实数根 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的y与x的部分对应值如下表： （第9题） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 1 3 1 … 则下列判断正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 二．填空题（共6小题） 11．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为 　 　 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y 7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7 12．已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C， 点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1　 　 y2（填“＞”或“＜”）． 13．如图将抛物线yx2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（6，0）和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线yx2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两OB＝OC＝3OA， 则该抛物线的解析式是 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　 　 ． 16．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　 　 平方米． (第13题) (第14题) (第15题) (第16题) 三．解答题（共7小题） 17．当自变量x＝4时，二次函数有最小值﹣3，且它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1．求： （1）求这个二次函数的表达式； （2）这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标． 18．有一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c的大致图象如图，请根据图中信息回答问题： （1）不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　 　 ， kx+m＞ax2+bx+c的解集是 　 　 ； （2）当x为何值时，y1＝y2？ （3）要使y2随x的增大而增大，求x的取值范围． 19．已知抛物线y＝x2+mxm2（m＞0）与x轴交于A、B两点． （1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若（点O是坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积． 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的解析式是y1＝x2，直线l的解析式是y2，点F（0，），点P是在该抛物线上的动点，连接PF，过P作PN⊥l．（1）求证：PF＝PN； （2）设点E（﹣2，6），求PE+PF的最小值及此时点P的坐标． 21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），并且以x＝1为对称轴． （1）求此函数的解析式（2）作出二次函数的大致图象；（3）在对称轴x＝1上是否存在一点P，使△PAB中PA＝PB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． 22．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式．（2）点P是BC上方抛物线上的一个动点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m之间的函数解析式． 23．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 北师大版数学9年级下第二章二次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C B D D B A C 一．选择题（共10小题） 1．若抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．且k≠1 B． C．且k≠1 D． 【分析】根据抛物线与x轴有交点，即求令y＝0的一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解，再结合二次函数的定义，即可确定k的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点， ∴（k﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，且k﹣1≠0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（k﹣1）≥0，且k≠1， 解得：且k≠1， ∴k的取值范围是且k≠1， 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与x轴的交点的横坐标即为y＝0时对应一元二次方程的解是解题关键． 2．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线表达式是（　　） A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2 【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）， 把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， 所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④（a+c）2﹣b2＜0；⑤a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据抛物线向上开口，对称轴在y轴右，抛物线与y轴交于负半轴，可判断①结论；根据当x＝﹣1时，y＞0，可判断②结论；根据抛物线与x轴交点个数可判断③结论；根据当x＝1时，y＜0，可判断④结论；根据当x＝1时，二次函数有最小值a+b+c，可判断⑤结论． 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴b＜0． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错误； ②当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵， ∴b＝﹣2a， 把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确； ③∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即b2﹣4ac＞0，故③是正确的； ④当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴a+c＜﹣b， 当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∴a+c＞b， ∴|a+c|＜|b|， ∴（a+c）2＜b2， 即（a+c）2﹣b2＜0，所以④正确； ⑤∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c， ∴a+b+c≤am2+mb+c， 即a+b≤m（am+b），所以⑤正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握热刺函数的性质是解答本题的关键． 4．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝bx2+a的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上，与y轴交在负半轴a＞0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限，b＞0，a＞0，故此选项错误； B、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上且与y轴交在正半轴a＞0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，四象限，b＜0，a＞0，故此选项错误； C、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在正半轴a＜0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，三，四象限b＞0，a＜0，故此选项正确； D、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在负半轴a＜0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限b＞0，a＞0，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 5．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为（　　） A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝3，x2＝1 【分析】由图知，抛物线与x轴交于（3，0），代入y＝x2﹣2x+m求出m的值，再解方程﹣x2﹣2x+m＝0即可． 【解答】解：由图知，抛物线与x轴交于点（3，0）， 将（3，0）代入y＝x2﹣2x+m，得0＝9﹣6+m， ∴m＝﹣3， ∴原方程为﹣x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），l是其对称轴，则下列结论：①abc＞0； ②a﹣b+c＝0；③2a+b＞0； ④a+2c＜0；其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由x＝﹣1时y＝0可判断②，由抛物线对称轴的位置可判断③，由a﹣b+c＝0，a+b+c＜0，可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，①正确． ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴②正确． ∵抛物线对称轴为直线x， ∴01， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，③正确． 由图象得x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∵a﹣b+c＝0， ∴2a+2c＜0， ∵a＞0， ∴a+2c＜2a+2c＜0，④正确． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，﹣m），B（1，m），C（﹣2，n），D（3，m），其中m，n为常数，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由B（1，m），D（3，m）可知抛物线的对称轴为直线x＝2，从而2，则b＝﹣4a，又由题意可得，c＝﹣m，a+b+c＝m，4a﹣2b+c＝n，从而a﹣4a﹣m＝m，可得am，bm，最后可得n＝4a﹣2b+cmm﹣m＝﹣9m，进而可以判断得解． 【解答】解：由B（1，m），D（3，m）可知抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴2． ∴b＝﹣4a． 又由题意可得，c＝﹣m，a+b+c＝m，4a﹣2b+c＝n． ∵a﹣4a﹣m＝m． ∴am，bm． ∴n＝4a﹣2b+cmm﹣m＝﹣9m． ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【分析】根据题意设“互异二次函数”为互异二次函数y＝a（x﹣1）2﹣1，代入点（﹣1，0）即可求得二次项系数． 【解答】解：∵互异二次函数的对称轴为直线x＝1， ∴互异二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣1， ∵图象经过点（﹣1，0）， ∴0＝4a﹣1， ∴a， 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知“互异二次函数”的定义是解题的关键． 9．已知函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数．且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根 D．无实数根 【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为大于4，判断方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况即是判断y＝4时x的值，即可得出结果． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数．且a≠0）的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标＞4， ∵方程ax2+bx+c﹣4＝0， ∴ax2+bx+c＝4时，即是y＝4求x的值， 由图象可知：有两个不相等的正实数根， 故选：A． 【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点、方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况；先看函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到结果是解决问题的关键． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 1 3 1 … 则下列判断正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 【分析】结合图表可以得出当x＝0或2时，y＝1，可以求出此函数的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质． 【解答】解：∵由图表可以得出当x＝0或2时，y＝1，可以求出此函数的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，3）， ∴二次函数解析式为：y＝a（x﹣1）2+3， 再将（0，1）点代入得：1＝a（﹣1）2+3， 解得：a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣1）2+3， ∵a＜0 ∴A，抛物线开口向上错误，故A错误； ∵y＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣2x2+4x+1， 与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴， 故B错误； ∵当x＞1时，y随x的增大而减小时正确的， 故C正确； ∵方程ax2+bx+c＝0，△＝16+4×2×1＝22＞0， 此方程有两个不相等的实数根， 由表正根在2和3之间； 故选：C． 【点评】主要考查了二次函数解析式的求法，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用． 二．填空题（共6小题） 11．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为 　﹣1　 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y 7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7 【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值． 【解答】解：根据图表可以得到， 点（﹣2，7）与（4，7）是对称点， 点（﹣1，2）与（3，2）是对称点， ∴函数的对称轴是：x＝1， ∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点， ∴m＝﹣1． 【点评】正确观察图象，能够得到函数的对称轴，联想到对称关系是解题的关键． 12．已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1　＜　 y2（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式，然后利用抛物线的增减性即可得到结论． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为：y＝（x﹣1+2）2，即y＝（x+1）2； ∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∵点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，且﹣1＜2＜3， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标等知识点，难度不大，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．如图所示，将抛物线yx2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（6，0）和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线yx2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　13.5　 ． 【分析】连接OQ、OP，如图，先利用交点时写出平移后的抛物线m的解析式，再用配方得到顶点式y（x﹣3）2，则P点坐标为（3，），抛物线m的对称轴为直线x＝3，于是可计算出Q点的坐标为（3，），所以点Q与P点关于x轴对称，于是得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：连接OQ、OP，如图， ∵平移后的抛物线解析式为y（x﹣6）•x（x﹣3）2， ∴P点坐标为（3，），抛物线m的对称轴为直线x＝3， 当x＝3时，yx2，则Q点的坐标为（3，）， 由于抛物线yx2向右平移3个单位，再向上平移个单位得到抛物线y（x﹣3）2， 所以图中阴影部分的面积＝S△OPQ3×（）＝13.5． 故答案为：13.5． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB＝OC＝3OA，则该抛物线的解析式是 　y＝x2﹣2x﹣3　 ． 【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为C（0，﹣3），根据OB＝OC＝3OA，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∴OB＝3，OA＝1， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 将B（3，0），A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　4　 ． 【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3）， ∴． ∴． ∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3． ∴抛物线的对称轴是直线x1． ∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0）， ∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）． ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 16．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　450　 平方米． 【分析】依据题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，又墙长为40米，从而可得0＜60﹣2x≤40，故10≤x＜30，又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米， 又墙长为40米， ∴0＜60﹣2x≤40． ∴10≤x＜30． 又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450， ∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450， 即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 三．解答题（共7小题） 17．当自变量x＝4时，二次函数有最小值﹣3，且它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1．求： （1）求这个二次函数的表达式； （2）这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标． 【分析】（1）由自变量x＝4时，二次函数有最小值﹣3，可知顶点坐标为（4，﹣3），由此可设顶点式为y＝a（x﹣4）2﹣3，再将（1，0）代入，求出a的值，进而得到这个二次函数的表达式； （2）由抛物线的对称轴为x＝4，与x轴的一个交点的坐标为（1，0），根据二次函数的对称性即可求出这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标． 【解答】解：（1）∵当自变量x＝4时，二次函数有最小值﹣3， ∴顶点坐标为（4，﹣3）， ∴可设顶点式为y＝a（x﹣4）2﹣3， 将（1，0）代入，得9a﹣3＝0， 解得a， ∴这个二次函数的表达式为y（x﹣4）2﹣3； （2）∵y（x﹣4）2﹣3， ∴对称轴为x＝4， 又∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（1，0）， ∴抛物线与x轴另一个交点的横坐标为2×4﹣1＝7． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．同时考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点． 18．有一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c的大致图象如图，请根据图中信息回答问题： （1）不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　2＜x＜6　 ，kx+m＞ax2+bx+c的解集是 　1＜x＜8　 ； （2）当x为何值时，y1＝y2？ （3）要使y2随x的增大而增大，求x的取值范围． 【分析】（1）由二次函数y2＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为2、6；一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c交点的横坐标为1、8；即可得出； （2）由一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c交点的横坐标为1、8，解答出即可； （3）二次函数y2＝ax2+bx+c的对称轴为x＝4，结合图形，即可得出． 【解答】解：（1）如图， ∵二次函数y2＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为2、6， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是：2＜x＜6； ∵一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c交点的横坐标为1、8， ∴kx+m＞ax2+bx+c的解集是：1＜x＜8； 故答案为：2＜x＜6，1＜x＜8； （2）∵一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c交点的横坐标为1、8， ∴当x＝1或8时，y1＝y2； （3）∵二次函数y2＝ax2+bx+c的对称轴为x＝4， ∴当x＞4时，y2随x的增大而增大． 【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，体现了初中数学中的重要思想﹣﹣数形结合思想，能用图象看不等式的解集是解决本题的关键． 19．已知抛物线y＝x2+mxm2（m＞0）与x轴交于A、B两点． （1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧； （2）若（点O是坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积． 【分析】（1）证明抛物线的对称轴＜0即可证明抛物线的对称轴在y轴的左侧； （2）根据题中已知条件求出m的值，进而求得抛物线的解析式； （3）先设出C点坐标，根据的x1与x2关系求出m值，进而可求得△ABC的面积． 【解答】（1）证明：∵m＞0， ∴x0， ∴抛物线的对称轴在y轴的左侧； （2）解：设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0）， 则x1+x2＝﹣m＜0，x1•x2m2＜0， ∴x1与x2异号， 又∵0， ∴OA＞OB， 由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴x1＜0，x2＞0， ∴OA＝|x1|＝﹣x1， OB＝x2， 代入得：， ， 从而， 解得m＝2， 经检验m＝2是原方程的根， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （3）解：当x＝0时，ym2 ∴点C（0，m2）， ∵△ABC是直角三角形， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴（x1﹣x2）2＝x12+（m2）2+x22+（m2）2 ∴﹣2x1•x2m4 ∴﹣2（m2）m4， 解得m， ∴S△ABCAB•OC|x1﹣x2|•2mm2． 【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形面积的求法等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题． 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的解析式是y1＝x2，直线l的解析式是y2，点F（0，），点P是在该抛物线上的动点，连接PF，过P作PN⊥l． （1）求证：PF＝PN； （2）设点E（﹣2，6），求PE+PF的最小值及此时点P的坐标． 【分析】（1）设点P的坐标为（p，p2），根据两点间距离公式求出PF，可证； （2）由PF＝PN可得PE+PF＝PE+PN≥EN，当E，P，N共线时，等号成立． 【解答】（1）证明：∵点P是在该抛物线上的动点， ∴设点P的坐标为（p，p2）， ∵， ∴； ∵PN⊥直线l，直线l的解析式是， ∴， ∴PF＝PN； （2）解：∵（﹣2）2＝4＜6， ∴点E（﹣2，6）在抛物线的上方， 由（1）知PF＝PN， ∴PE+PF＝PE+PN≥EN，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ∵，当x＝﹣2时，， ∴PE+PF的最小值为，此时点P的坐标为（﹣2，4）． 【点评】本题考查抛物线的性质，二次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，线段的最值问题等，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），并且以x＝1为对称轴． （1）求此函数的解析式； （2）作出二次函数的大致图象； （3）在对称轴x＝1上是否存在一点P，使△PAB中PA＝PB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据对称轴的公式x和函数的解析式，将x＝1和A（3，0），B（2，﹣3）代入公式，组成方程组解答； （2）求出图象与坐标轴的交点坐标，描点即可； （3）根据两点之间距离公式解答． 【解答】解：（1）把点A（3，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c依题意， 整理得， 解得， ∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）二次函数图象如右； （3）存在． 作AB的垂直平分线交对称轴x＝1于点P， 连接PA、PB，则PA＝PB， 设P点坐标为（1，m），则22+m2＝（﹣3﹣m）2+1 解得m＝﹣1， ∴点P的坐标为（1，﹣1）． 【点评】（1）所用方法被称为待定系数法；（2）考查了二次函数草图的画法；（3）会用距离公式L． 22．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是BC上方抛物线上的一个动点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m之间的函数解析式． 【分析】（1）依据题意，可设抛物线的解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3），再结合题意可得a＝﹣1，从而可以得解； （2）依据题意，过点P作 PE⊥x轴，垂足为E，交 BC于F，再求出BC的解析式，然后结合P点的横坐标为m表示出S，进而可以得解． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴设抛物线的解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3）． ∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴a（0+1）（0﹣3）＝3． ∴a＝﹣1． ∴抛物线的解析式为 y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3． （2）如图，过点P作 PE⊥x轴，垂足为E，交 BC于F． ∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC的解析式为 y＝﹣x+3． ∵P点的横坐标为m， ∴P（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3）． ∴PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m． ∴S（﹣m2+3m）m2m（0＜m＜3）． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 23．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； （3）设点P是抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可； （3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB＝6，从而求出P点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），代入得： ， 解得． ∴所求抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则C（0，﹣3）， 又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴F（1，﹣4）． 设直线BC的解析式为y＝kx﹣3（k≠0）， 把B（3，0）代入，得0＝3k﹣3， 解得k＝1，则该直线的解析式为y＝x﹣3． 故当x＝1时，y＝﹣2，即E（1，﹣2）， ∴EF＝|﹣4|﹣|﹣2|＝2， 即EF＝2． （3）存在满足S△PAB＝6的点P；理由如下： 设点P（x，y），由题意得： ， ∴|y|＝3， 解得：y＝±3， 当y＝﹣3时，x2﹣2x﹣3＝﹣3， 解得：x1＝0，x2＝2， 当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3， 解得：，， 综上所述，当点P的坐标分别为P1（0，﹣3），P2（2，﹣3），，时，S△PAB＝6． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图象上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/3 9:07:10；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$