第01讲 空间几何体与斜二测画法（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第01讲 空间几何体与斜二测画法 课程标准 学习目标 1．理解生活中物体占据空间的部分，并能抽象出一个几何体的概念; 2．了解斜二测画法的概念，掌握其步骤，并能运用该方法绘制简单平面图形和见几何体的直观图； 3．学会从直观图中推断出原始的图形。 1．了解空间几何体的概念. 2．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤； 3．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图； 4．逆用斜二测画法，找出直观图的原图. 知识点01 斜二测画法 1、 斜二测画法的概念 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 2、 平面图形直观图的画法及要求 第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点， 画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于， 且使（或），它们确定的平面表示水平面； 第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段， 在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； 第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度变为原来的一半， 3、空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【分析】由斜二测画法得到的直观图，如正方形的直观图是平行四边形，据此可以判断选项正误. 【详解】如图，由斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形，可知ABC均错误，D正确． 故选：D. 知识点02 直观图与原图多边形面积关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有， 举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为， 则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中， 【即学即练2】 （24-25高一下·广西·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以. 故选：C 题型01 斜二测画法辨析 【典例1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【答案】C 【分析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解. 【详解】依题意，轴，轴，是的中点， 由斜二测画法规则知，在原图形中应有，且为边上的中线， 因此为等腰三角形，为边上的高，所以相等且最长，最短. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·广西河池·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据直观图定义以及矩形的结构特征即可得解. 【详解】由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度， 直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度， 故矩形的直观图是平行四边形． 故选：D. 【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的性质判断BC的正误，根据特例可判断AD的正误. 【详解】对于B，由于直角在直观图中有的成为，有的成为, 但直观图的平行关系依然保留，故B正确. 对于C，梯形的直观图一定是梯形，故C错误. 对于D，如图等边三角形中，为的中点，设， 则，则在直观图中，，， 故，， 故三角形不为等腰三角形，故AD错误. 故选：B. 【变式3】（24-25高三·全国·对口高考）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中错误的是（    ） ①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，逐项判断即可解答. 【详解】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错误； 两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错误； 根据斜二测画法规则，平行性保持不变，可得③④正确； 故选：A. 【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ） A．平行于轴，且大小为 B．平行于轴，且大小为 C．与轴成，且大小为 D．与轴成，且大小为 【答案】A 【分析】根据“斜二测画法”画直观图的画法，即可得出结果. 【详解】用斜二测画法画的直观图中，竖直方向的高和原图是一样的， 所以圆柱的高平行于轴，且大小为 故选：A. 题型02 画平面图形的直观图 【典例2】（23-24高一下·湖南株洲·期中）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直观图的性质求解即可. 【详解】由直观图的性质得原正方形的横向长度不变，纵向长度减半，横纵夹角变为，显然C正确. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 【详解】由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半. 对于①：三角形的直观图是三角形，①正确； 对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确； 对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误； 对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误； 故选：A. 【变式2】（24-25高一下·河北唐山·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（      ） A．相等的线段在直观图中仍相等 B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形 C．相等的角在直观图中仍相等 D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形 【答案】B 【分析】由如图所示正方形及直观图即可判断A、C、D选项；结合斜二测画法的定义判断B选项. 【详解】 如图所示为正方形及其直观图，显然，A错误；，C错误； 正方形是特殊的菱形，直观图为平行四边形，D错误；水平放置的三角形的直观图仍是三角形，B正确. 故选：B. 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】作出直角梯形的直观图，即可得出合适的选项. 【详解】作出直角梯形的直观图如下图所示：    A选项满足要求. 故选：A. 【变式4】（23-24高一下·四川凉山·期末）在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（    ） A．45° B．135° C．90° D．45°或135° 【答案】D 【分析】根据直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°即可得答案 【详解】因∠A的两边分别平行于x轴、y轴， 故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°， 即∠A′＝45°或135°. 故选：D. 题型03 画立体图形的直观图 【典例3】（24-25高一·全国·课后作业）若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【分析】根据斜二测画法，即可判断选项. 【详解】平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 故选：A 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【答案】D 【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【答案】直观图见解析 【分析】借助直观图的画法逐步画出即可得. 【详解】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】画法步骤：（1）画坐标轴； （2）画下底面：按水平放置的平面图形的直观图的画法作出下底面的直观图； （3）画上底面：与画下底面相同方法作出下底面直观图． （4）连线并擦去辅助线得直观图． 【详解】【解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图． （3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图． （4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图 如图②）． 题型04 由直观图还原几何图形 【典例4】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据直观图与原图的关系即可得解. 【详解】因为矩形中， 所以直观图还原得， 四边形为平行四边形，， 则，所以， ， ， 所以，故原图形为菱形. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·福建泉州·期末）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则进行判断. 【详解】由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变， 注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为， 经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半， 故原图的对角线长是，只有A符合题意. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，其中，所在直线分别与轴，轴平行，且，那么是（    ）    A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的原则，可得原平面图形中，且，即可判断的形状. 【详解】中，，所在直线分别与轴，轴平行， 所以中，，所在直线分别与轴，轴平行，所以， 因为，所以，即， 所以是直角三角形. 故选：D. 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【答案】B 【分析】根据所给的图形中，可得到原图形为一个直角梯形． 【详解】因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 综上，原平面图形是直角梯形. 故选：B． 【变式4】（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【答案】 【分析】由平行四边形的面积求出，再结合斜二测画法分析可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 【变式5】（24-25高二上·上海杨浦·期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是 ． 【答案】12 【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到周长. 【详解】如图所示， 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，，， 所以原图形的周长是． 故答案为： 题型05 斜二测画法中的量的计算 【典例4】（2025·陕西西安·二模）（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 【变式1】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正三棱锥的高为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱锥底面三角形的斜二测直观图面积，求出底面边长，利用三棱锥体积公式，即可求得答案. 【详解】正三棱锥的底面为正三角形，设其边长为a，底面三角形的斜二测直观图如图示： 则，解得（舍去负值）， 则正三棱锥的底面积为， 故三棱锥的体积为， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 【变式3】（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（    ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 【答案】AD 【分析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果 【详解】 对于AB选项，考虑正方形的一条边与轴重合，由斜二测画法的性质， 另一条边与轴重合，如图所示， 由于对称性与旋转可换性，图中与均等价为所求角. 而由斜二测图性质， ， 过作的垂线，则， 即，故的最小值小于，故正确； 过作的垂线，易有，且， 故，则的最大值大于，故B错误； 对于CD选项，设图形绕点逆时针旋转，则 ， 即 ， 其中，则最小值为， 最大值为， 故C错误， D正确. 故选 ：AD. 【变式4】（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为    【答案】 【分析】由斜二测画法的特点可知平行于轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出，然后求出原图中的长度即可求解. 【详解】由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形， 则中边长与的边长相等的边为， 在中，，， 所以，由正弦定理得：， 所以，所以原图中边上的高为：， 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）用斜二测画法，可得矩形的直观图一定为（    ） A．矩形 B．梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由斜二测画法规则能直接得到答案. 【详解】由斜二测画法规则知：平行性不变，矩形的直观图一定是平行四边形，平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半， 故选：D. 2．（24-25高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 3．（24-25高二上·辽宁·开学考试）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解 【详解】因为， 所以是直角三角形且，可得， 所以的面积， 则的面积． 故选：A 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示是水平放置的的直观图,其中,则原是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】 将水平放置的的直观图还原,可知, 由勾股定理有,注意到, 所以三角形是等腰三角形,不是等边三角形, 由大边对大角可知,三角形中最大角的余弦值为, 即三角形中最大角是锐角,三角形是锐角三角形,不是直角三角形, 综上所述,只有C选项符合题意, 故选:C. 5．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】B 【分析】画出原图可得答案. 【详解】 如图，画出原图， 在原平面图形中，是钝角， 从而． 故选：B. 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【分析】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状． 【详解】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示： 由图得，，故为等边三角形， 故选：A 7．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【详解】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 8．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解. 【详解】因为直观图是等腰直角，，所以， 根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半， 所以的边上的高. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】ACD 【分析】根据斜二测画法的要求和结论理解辨析即可． 【详解】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行， 原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，ACD正确. 故选：ACD． 10．（23-24高一下·河北·期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 【详解】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据斜二测画法作出的水平放置的直观图和平面直角坐标系中图形关系，进行辨析即可． 【详解】由直观图知为直角三角形，在平面直角坐标系中如图所示， ，，，为的中点， 又，故A，B错误，C，D正确． 故选：CD. 三、填空题 12．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【答案】/ 【详解】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解. 【解答】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积. 故答案为：. 13．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 【答案】 【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 因为，， 所以，， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 14．（24-25高一下·上海闵行·阶段训练）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    【答案】 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示 ，， 在三角形中，，    由余弦定理得 . 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    【答案】图见解析， 【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算. 【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，， 所以 .    16．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【答案】 【分析】利用斜二测画法性质还原出原图形即可得出原图形面积. 【详解】根据斜二测画法可知正方形的对角线长为， 画出原图形如下图所示：    原图为两直角边分别为的直角三角形组成的平行四边形， 所以原来图形的面积为. 17．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在斜二测画法下，四边形是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是多少？    【答案】 【分析】根据斜二测画法的知识，先画出原图，然后计算出原图的面积. 【详解】如图（1）作，垂足为；作，垂足为， 则， 所以. 将原图复原，如图（2）， 则原四边形为直角梯形， ， 所以四边形的面积为.    18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 19．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间几何体与斜二测画法 课程标准 学习目标 1．理解生活中物体占据空间的部分，并能抽象出一个几何体的概念; 2．了解斜二测画法的概念，掌握其步骤，并能运用该方法绘制简单平面图形和见几何体的直观图； 3．学会从直观图中推断出原始的图形。 1．了解空间几何体的概念. 2．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤； 3．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图； 4．逆用斜二测画法，找出直观图的原图. 知识点01 斜二测画法 1、 斜二测画法的概念 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 2、 平面图形直观图的画法及要求 第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点， 画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于， 且使（或），它们确定的平面表示水平面； 第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段， 在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； 第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度变为原来的一半， 3、空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 知识点02 直观图与原图多边形面积关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有， 举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为， 则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中， 【即学即练2】 （24-25高一下·广西·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 题型01 斜二测画法辨析 【典例1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【变式1】（23-24高一下·广西河池·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 【变式3】（24-25高三·全国·对口高考）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中错误的是（    ） ①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ） A．平行于轴，且大小为 B．平行于轴，且大小为 C．与轴成，且大小为 D．与轴成，且大小为 题型02 画平面图形的直观图 【典例2】（23-24高一下·湖南株洲·期中）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25高一下·河北唐山·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（      ） A．相等的线段在直观图中仍相等 B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形 C．相等的角在直观图中仍相等 D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式4】（23-24高一下·四川凉山·期末）在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（    ） A．45° B．135° C．90° D．45°或135° 题型03 画立体图形的直观图 【典例3】（24-25高一·全国·课后作业）若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图． 题型04 由直观图还原几何图形 【典例4】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式1】（24-25高一上·福建泉州·期末）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，其中，所在直线分别与轴，轴平行，且，那么是（    ）    A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【变式4】（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【变式5】（24-25高二上·上海杨浦·期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是 ． 题型05 斜二测画法中的量的计算 【典例4】（2025·陕西西安·二模）（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【变式1】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正三棱锥的高为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式3】（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（    ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 【变式4】（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为    一、单选题 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）用斜二测画法，可得矩形的直观图一定为（    ） A．矩形 B．梯形 C．菱形 D．平行四边形 2．（24-25高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高二上·辽宁·开学考试）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示是水平放置的的直观图,其中,则原是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 7．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（    ）    A．1 B．2 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 10．（23-24高一下·河北·期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 11．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 13．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 14．（24-25高一下·上海闵行·阶段训练）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    16．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    17．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在斜二测画法下，四边形是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是多少？    18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 19．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$