第07讲 平面的基本事实与推论（2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第07讲 平面的基本事实与推论 课程标准 学习目标 1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法； 2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系； 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题. 1、了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用 2、会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换 3、培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理能力. 知识点01平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实2 （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实3 （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 【即学即练1】（2025高一·全国·专题练习）设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M （用符号表示）． 【答案】 【分析】利用平面的基本性质即得. 【详解】因为，直线，直线， 所以，又平面与平面相交于直线， 所以点在直线上，即. 故答案为：. 知识点02 平面基本事实的推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【分析】当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面可判断A；由平面的性质可判断BD；由空间两条直线的位置关系可判断C. 【详解】对于A，当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面，A错误； 对于B，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，B错误； 对于C，三棱锥的三条侧棱所在的直线交于同一点，但这三条直线不共面，C错误； 对于D，若空间四点不共面，则任意三点不共线，否则若其中三点共线，则这四点共面，不合题意，D正确． 故选：D． 题型01 平面的基本性质及辨析 【典例1】（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 【变式1】（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据确定平面的依据，即可判断选项. 【详解】①三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①正确； ②三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②错误； ③三条直线共点，有可能确定三个平面，故③错误； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④正确. 故选：D 【变式2】（24-25高一·辽宁·期末）能确定一个平面的条件是（    ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 【答案】C 【分析】根据基本事实及其推论进行判断即可. 【详解】对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确； 对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确； 对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确； 对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确 故选：C． 【变式3】（24-25高一·江苏·课后作业）已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（    ） A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒ C．A∈，A∈β⇒ D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合 【答案】C 【分析】由平面的性质可知，为经过A的一条直线而不是A. 【详解】，A∈β， 由基本事实可知为经过A的一条直线而不是A. 故的写法错误. 故选：C 【变式4】（24-25高二上·山西太原·阶段练习）两个平面若有三个公共点，则这两个平面（    ） A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 【答案】C 【解析】根据平面的基本性质判断． 【详解】两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合． 故选：C． 【点睛】本题考查平面的基本性质，平面的基本性质公理3中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，属于基础题． 题型02 空间位置的画法 【典例2】（24-25高一下·福建宁德·期中）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据点与线、点与面的属于关系，结合线面包含关系进行判断即可. 【详解】由图可知：， 故选：B 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平面的基本性质及空间位置关系的画法判断即可． 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）将下列符号语言转化为图形语言： (1)A∉α， a⊂α. (2)α∩β＝a， P∉α且P∉β. (3)aα， a∩α＝A (4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据点线、点面、线面、面面的位置关系画出图形即可. 【详解】（1）如图(1)所示． （2）如图(2)所示． （3）如图(3)所示． （4）如图(4)所示． 【变式4】（2024高一·江苏·专题练习）（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解. 【详解】符号语言表示：平面平面，平面平面. 用图形表示如图①所示． (2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内， 图形语言表示如图②所示．         题型03 空间点共线问题 【典例3】（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（       ） A．三点 共线，且 B．三点不共线，且 C．三点共线，且 D．三点不共线，且 【答案】A 【分析】利用平面基本事实证明点O在直线 上，再借助正方体性质说明可得线段比例式，即可求得答案. 【详解】在正方体中，连接 ，如图， ，故共面， 连接 ，平面平面， 因为M为棱 的中点，则平面， 而平面，即平面，又，则平面， 因AM与平面 的交点为O，则平面， 于是得，即三点共线， 由，为棱的中点，可得且，故 于是得，即 ， 所以三点共线，且. 故选：A 【变式1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】∵是不在同一直线上的三点 ∴过有一个平面 又,且，所以， 设，则 同理可证：， 所以三点共线 【变式3】（2025高一上·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】如下图所示，连接A1B，CD1．易证BD1⊂平面A1BCD1． BD1⊂平面ABC1D1．即 平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，下证 Q∈平面A1BCD1．Q∈平面A1BCD1．即可. 【详解】如下图所示，连接A1B，CD1．显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1． ∴BD1⊂平面A1BCD1． 同理BD1⊂平面ABC1D1． ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1． ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1． 又∵A1C⊂平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1． ∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线． 【变式4】（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 题型04 空间线共点问题 【典例4】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 【详解】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【答案】证明见解析 【分析】如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明. 【详解】连接，    因为为的中点，为的中点，所以且. 又因为且，所以且， 所以四点共面， 设.又平面平面， 所以点为平面与平面的公共点． 又因为平面平面， 所以根据基本事实3,得， 即三线交于一点． 【变式3】（24-25高一·北京·期中）空间四边形中，分别在上，且满足，．    求证：三线共点． 【答案】证明见解析 【分析】由题意可证且，则四边形为梯形，设，可证，得证三线共点． 【详解】，， ，， ，又，，， 四边形为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD ， 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面，， 三线共点． 题型05 空间点共面问题 【典例5】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断①②③，根据异面直线的定义可判断④. 【详解】对于①，分别连接， 在长方体中，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以，，则，所以四点共面. 对于②，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得，， 故平面，平面，所以六点共面. 对于③，连接，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以， ， 故，所以四点共面. 对于④，连接，因为平面，平面，且不过点， 所以为异面直线， 所以四点不共面. 故选：A. 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 【答案】BCD 【分析】根据中位线的性质，结合平行的性质逐一分析即可. 【详解】由题意知，且，所以，故错误； 又，，所以，又， 所以四点共面，且四边形是梯形．故正确． 故选：. 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)共面，理由见解析 【分析】（1）利用中位线的性质及平行四边形的判定定理证明即可； （2）利用平行四边形的判定定理与性质定理得出即可判断. 【详解】（1）由，分别为，的中点， 可得， 又，， 所以， 四边形为平行四边形． （2），，，四点共面， 理由如下：由题意易知， 四边形为平行四边形，． 由（1）知， ，与共面． 又， ，，，四点共面． 题型06 空间直线共面问题 【典例6】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内． 【答案】证明见解析 【分析】方法一：由，可得和确定一个平面，再由，，可得，，从而可得，进而可得结论， 方法二：由，可得和确定一个平面，由，可得，确定一个平面，然后证两平面重合即可 【详解】证明  方法一（纳入平面法） ∵，∴和确定一个平面． ∵，∴．又∵，∴．同理可证． ∵，，∴．∴直线，，在同一平面内． 方法二（辅助平面法） ∵，∴和确定一个平面． ∵，∴，确定一个平面． ∵，，∴．∵，，∴． 同理可证，，，． ∴不共线的三个点，，既在平面内，又在平面内， ∴平面和重合，即直线，，在同一平面内． 【变式1】（19-20高一下·全国·课后作业）如图，已知直线直线1与都相交，求证：过有且只有一个平面. 【答案】证明见解析 【解析】根据，可确定一个平面，由在平面内可证明在平面内，或确定一个平面α，直线确定一个平面β，证明两平面重合亦可. 【详解】证法1：纳入法 共面. 证法2：同一法 ，确定一个平面α. ，∴直线确定一个平面β. 又. ∴平面α与β重合，故直线共面. 【点睛】本题主要考查了确定一个平面的公理及推论，属于中档题. 【变式2】如图，在三棱锥中，，分别为与的重心，，分别为，的中点.求证：，，三线共面. 【答案】证明见解析 【解析】连接，.由三棱锥的性质，知三点不共线，则确定一个平面. 所以平面，平面，平面，平面，平面. 根据三角形重心的性质，知，，所以平面，平面， 所以平面，平面，平面， 所以，，三线共面. 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C．若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【分析】根据空间点，线，面的位置关系及平面的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案． 【详解】不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题； 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，可能不共面， 比如面与面相交于所在直线，而均不在该直线上，故B为假命题； 若直线，共面，直线，共面，则直线，可能不共面， 比如若相交，且、不相交，则此时异面，故C为真命题； 依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题； 故选：AC． 题型07 截面问题 【典例7】（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）（多选）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【答案】ABC 【分析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案. 【详解】解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）； 当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）； 当点不与点重合时，当分别为的中点， 则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）． 故选：ABC. 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ． 【答案】 等腰梯形 / 【分析】根据线线平行及边长判断截面是等腰梯形，再计算可得面积. 【详解】如图，取的中点，连接，，，，， 因为，，故，且． 则截面为梯形，且为等腰梯形， ，可得梯形的高为，所以梯形的面积为． 故答案为：等腰梯形；. 【变式3】（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，四棱锥的所有棱长都为2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为 . 【答案】 【分析】先根据线面平行的性质定理得出线线平行，再根据图形特征计算边长即可求出周长. 【详解】因为四边形ABCD为菱形，所以. 因为平面SAB，平面SAB，所以平面SAB. 因为平面CDE，平面平面，所以，则. 因为E为SA的中点，所以F为SB的中点，所以. 因为是边长为2的等边三角形，所以，且， 同理可得，因此四边形DEFC的周长为. 故答案为： 【变式4】（2025·全国·高一专题练习）用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】B 【分析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案． 【详解】正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示， 因此截面边数最多有6条． 故选：B． 一、单选题 1．（24-25高二上·上海金山·期末）若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面的基本定理判断即可. 【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D正确， 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）下列命题是真命题的是（    ） A．四边相等的四边形一定是平面图形 B．空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C．一个平面的面积可以为 D．相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 【答案】D 【分析】利用平面图形的定义以及公理2的推论可判断ABC三个选项，由两条相交直线确定一个平面，分析四条直线相交的情况，可求出最多可以确定平面的个数. 【详解】四边相等的四边形可以为平面图形，也可以为空间四边形，故A为假命题； 空间一条直线与直线外一点可以确定一个平面，故B为假命题； 平面是无限延展的，所以平面不计算面积，故C为假命题； 相交于同一点的四条直线，当任三条直线不共面时，可以确定6个平面，故D为真命题． 故选：D． 4．（23-24高一下·北京·期末）如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（    ） A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点 C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点 【答案】D 【分析】根据平面的性质判断即可. 【详解】如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面有一条过公共点的公共直线. 故选：D. 5．（23-24高一下·广东佛山·期中）下列条件不能确定一个平面的有（   ） A．一条直线和直线外一点 B．对边相等的四边形 C．两条相交直线 D．两条平行直线 【答案】B 【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解． 【详解】对选项A：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故A错误． 对选项B：对边相等的四边形，对边有可能异面，不能确定一个平面，故B正确． 对选项C：经过两条相交直线有且只有一个平面，故C错误． 对选项D：经过两条平行直线有且只有一个平面，故D错误； 故选：B. 6．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】先确定两直线共面，再确定不平行，根据共面直线的位置关系，不是平行就是相交. 【详解】 A选项，E、F分别为、的中点，所以，即，所以四点共面，因为，所以与相交，故A正确. B选项，因为平面，平面，所以与无交点，故B错误. C选项，因为平面，不过点，所以与异面，无交点，故C错误. D选项，因为平面，平面，所以与无交点，故D错误. 故选：A. 7．（24-25高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【答案】A 【分析】由公理2知，不共线的三点确定一个平面，由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面，再由公理1，3可得的位置． 【详解】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 8．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则.    故选：C 二、多选题 9．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下结论正确的是（    ）    A．与平行； B．与共面； C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； D．与的交点一定在直线上． 【答案】BD 【分析】如图所示．连接，，依题意，可得，，即可得出共面，又，可得与必相交，从而可判断出选项A和B的正误；设交点为，可得点在平面与平面的交线上，又是这两个平面的交线，即可得出点一定在直线上，从而判断出选项C和D的正误，即可求解． 【详解】如图所示．连接，，    依题意，可得，， 所以， 所以共面，所以选项B正确， 因为， 所以四边形是梯形，与必相交，所以选项A错误， 设与的交点为， 因为点在上，故点在平面上． 同理，点在平面上， 所以点在平面与平面的交线上， 又是这两个平面的交线，所以点一定在直线上，故选项C错误，选项D正确， 故选：BD． 10．（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【答案】AB 【分析】连接，证得且，可得判定A正确、B正确；延长相交于点，结合平面的性质，可判定C不正确；由和时，得到，可判定D错误． 【详解】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB    11．（23-24高一下·山东德州·期末）棱长为2的正方体中，用一平面去截，则下列说法正确的是（    ） A．当截面为三角形时，截面一定为锐角三角形 B．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形 C．若E为的中点，平面截正方体所得截面面积为 D．过棱，，的中点作正方体的截面，截面多边形的周长为 【答案】ABD 【分析】A选项，当截面为三角形时，根据余弦定理得到，为锐角，得到A正确；B选项，假设截面为直角梯形，根据线面垂直和线面平行得到矛盾；C选项，作出截面，得到平面截正方体所得截面面积；D选项，作出辅助线，得到五边形即为过棱，，的中点作正方体的截面，并求出各边长，得到答案. 【详解】A选项，如图，截面为三角形， 设，则， 由于，故，为锐角， 同理为锐角， 故截面一定为锐角三角形，A正确； B选项，如图，截面是梯形，，与不平行， 假设梯形为直角梯形，其中⊥， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 因为，，平面， 所以⊥平面， 因为⊥平面， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面， 所以，矛盾，假设不成立， 当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形，B正确； C选项，取的中点，连接， 则可得平面截正方体所得截面即为平行四边形， 因为若E为的中点，由勾股定理得， 故平行四边形为菱形， 其中，， 故平面截正方体所得截面面积为，C错误； D选项，直线交的延长线于点，连接分别交，于点， 连接，则五边形即为过棱，，的中点作正方体的截面， 取的中点，连接， 其中，，， 故，，故， 同理可得， 其中，， 故截面多边形的周长为，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三、填空题 12．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】根据空间中平面的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，过不共线的三点确定一个平面；故①错误， 对于②,有三个角为直角的四边形可能是空间四边形，故②错误， 对于③，若三条直线相交于一点，则可以确定3个平面；故③错误， 对于④,两个相交平面把空间分成四个区域, ④正确， 故答案为：①②③ 13．（24-25高一下·全国·课后作业）空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面． 【答案】7 【分析】同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是7个面． 【详解】由题意空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，要使确定的平面最多,则没有任何三点共线， 同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线， 由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面， 再加上4点确定的面总共是7个面． 故答案为：7. 14．（23-24高一下·安徽·期末）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ． 【答案】 【分析】过且过的平面与面的交线平行于即为，由此能求出过点的平面截该正方体所得的截面的周长． 【详解】正方体中，分别是棱的中点， ． 平面平面， 平面， 由正方体的棱长为4， 所以截面是以为腰，为上底，为下底的等腰梯形， 故周长为． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 17．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. (1)求证：、、、四点共面； (2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证、、、四点共面，只需证明，利用中位线定理及平行的传递性即可证明； （2）令，由正弦定理求得，分别求出所以圆柱的侧面积，圆柱的底面积，正三棱柱的侧面积，正三棱柱的底面积，根据剩余几何体的表面积即可求解. 【详解】（1）由于，分别为，中点，所以， 又，所以， 所以、、、四点共面； （2）令，则，解得， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 正三棱柱的侧面积为， 正三棱柱的底面积为， 所以剩余几何体的表面积. 18．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【分析】先设与有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线上即可 【详解】四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， P为平面与的公共点， ∵平面平面， ∴根据基本事实3可得， ∴直线BG，EF，共点. 19．（23-24高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平面的基本事实与推论 课程标准 学习目标 1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法； 2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系； 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题. 1、了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用 2、会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换 3、培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理能力. 知识点01平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实2 （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实3 （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 【即学即练1】（2025高一·全国·专题练习）设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M （用符号表示）． 知识点02 平面基本事实的推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 题型01 平面的基本性质及辨析 【典例1】（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【变式1】（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式2】（24-25高一·辽宁·期末）能确定一个平面的条件是（    ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 【变式3】（24-25高一·江苏·课后作业）已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（    ） A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒ C．A∈，A∈β⇒ D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合 【变式4】（24-25高二上·山西太原·阶段练习）两个平面若有三个公共点，则这两个平面（    ） A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 题型02 空间位置的画法 【典例2】（24-25高一下·福建宁德·期中）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）将下列符号语言转化为图形语言： (1)A∉α， a⊂α. (2)α∩β＝a， P∉α且P∉β. (3)aα， a∩α＝A (4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O. 【变式4】（2024高一·江苏·专题练习）（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 题型03 空间点共线问题 【典例3】（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（       ） A．三点 共线，且 B．三点不共线，且 C．三点共线，且 D．三点不共线，且 【变式1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【变式2】（2025高一下·全国·专题练习）已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【变式3】（2025高一上·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 【变式4】（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 题型04 空间线共点问题 【典例4】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【变式3】（24-25高一·北京·期中）空间四边形中，分别在上，且满足，．    求证：三线共点． 题型05 空间点共面问题 【典例5】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 题型06 空间直线共面问题 【典例6】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内． 【变式1】（19-20高一下·全国·课后作业）如图，已知直线直线1与都相交，求证：过有且只有一个平面. 【变式2】如图，在三棱锥中，，分别为与的重心，，分别为，的中点.求证：，，三线共面. 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C．若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 题型07 截面问题 【典例7】（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）（多选）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ． 【变式3】（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，四棱锥的所有棱长都为2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为 . 【变式4】（2025·全国·高一专题练习）用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 一、单选题 1．（24-25高二上·上海金山·期末）若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 3．（24-25高一下·全国·课后作业）下列命题是真命题的是（    ） A．四边相等的四边形一定是平面图形 B．空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C．一个平面的面积可以为 D．相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 4．（23-24高一下·北京·期末）如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（    ） A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点 C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点 5．（23-24高一下·广东佛山·期中）下列条件不能确定一个平面的有（   ） A．一条直线和直线外一点 B．对边相等的四边形 C．两条相交直线 D．两条平行直线 6．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．（24-25高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 8．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 二、多选题 9．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下结论正确的是（    ）    A．与平行； B．与共面； C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； D．与的交点一定在直线上． 10．（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 11．（23-24高一下·山东德州·期末）棱长为2的正方体中，用一平面去截，则下列说法正确的是（    ） A．当截面为三角形时，截面一定为锐角三角形 B．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形 C．若E为的中点，平面截正方体所得截面面积为 D．过棱，，的中点作正方体的截面，截面多边形的周长为 三、填空题 12．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 13．（24-25高一下·全国·课后作业）空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面． 14．（23-24高一下·安徽·期末）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 17．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. (1)求证：、、、四点共面； (2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 18．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 19．（23-24高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$