第03讲 多面体与棱柱（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第03讲 多面体与棱柱 课程标准 学习目标 1．了解多面体的定义及其分类； 2．理解棱柱的定义和结构特征； 3．了解多面体表面积的概念，知道棱柱表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 1．了解多面体的定义及其分类并掌握棱柱的定义和结构特征； 2．在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系. 知识点01 多面体 1、多面体的定义：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。 2、多面体的有相关概念： （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面； （2）多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点； （4）多面体的面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是棱的线段； （5）多面体的体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段； （6）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部）. 3、凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，称这样的多面体为凸多面体. 4、正多面体：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体. 【即学即练1】（24-25高二上·上海·课堂训练）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号） 知识点02 棱柱 1、棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱。 2、棱柱的构成元素及相关概念 （1）底面：有两个互相平行的面称为棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）侧棱：相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱； （4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 【解读】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面. 3、棱柱的高与侧面积 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高。棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积。 4、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体。 5、特殊的四棱柱： 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体，不难看出，底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学习过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体，它们之间的关系如下： 【即学即练2】（25-26高二上·上海·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 题型01 多面体的概念与性质 【典例1】（24-25高一·黑龙江·期中）如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足（Euler's formula），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（    ） A．共有20个六边形 B．共有10个五边形 C．共有90条棱 D．共有32个面 【变式1】（23-24高一下·河南·期中）多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 题型02 棱柱的判断及性质 【典例2】（2025高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【变式1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 【变式3】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．直四棱柱是长方体 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．平行六面体是四棱柱 【变式4】（2025·高一课时练习）下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 棱柱及其计算问题 【典例3】（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）棱长为2的正方体中，是平面内一点，则点到平面的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2025高一下·北京·阶段训练）如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4】（23-24高二上·北京房山·期中）长方体中，，为的中点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 正方体中的截面问题 【典例4】（2025高三·全国·专题练习）若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【变式1】（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·贵州贵阳·期末）如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【变式3】（24-25高一上·上海·期末）如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 题型05 棱柱的展开图及最值问题 【典例4】（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【变式1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 2．（24-25高一·全国·课后作业）设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·随堂练习）下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列图形中，不是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 7．（24-25高一下·全国·课后作业）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（    ） A．30 B．20 C．12 D．10 8．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列关于棱柱的说法，正确的是（    ） A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 10．（23-24高一下·河北廊坊·月考）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（     ） A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 11．（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 三、填空题 12．（24-25高二上·天津武清·期中）如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 13．在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为 ． 14．（2025高一·全国·专题练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为 ． 4、 解答题 15．已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题： （1）这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ （2）将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 16．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 17．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程． 18．（24-25高一·全国·课后作业）在一个长方体的容器中，里面装有少量的水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜． （1）在倾斜的过程中，水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？ （2）在倾斜的过程中，水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？ （3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第（1）问和第（2）问对不对？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 多面体与棱柱 课程标准 学习目标 1．了解多面体的定义及其分类； 2．理解棱柱的定义和结构特征； 3．了解多面体表面积的概念，知道棱柱表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 1．了解多面体的定义及其分类并掌握棱柱的定义和结构特征； 2．在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系. 知识点01 多面体 1、多面体的定义：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。 2、多面体的有相关概念： （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面； （2）多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点； （4）多面体的面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是棱的线段； （5）多面体的体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段； （6）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部）. 3、凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，称这样的多面体为凸多面体. 4、正多面体：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体. 【即学即练1】（24-25高二上·上海·课堂训练）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号） 【答案】（1）（2）（4） 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 知识点02 棱柱 1、棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱。 2、棱柱的构成元素及相关概念 （1）底面：有两个互相平行的面称为棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）侧棱：相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱； （4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 【解读】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面. 3、棱柱的高与侧面积 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高。棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积。 4、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体。 5、特殊的四棱柱： 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体，不难看出，底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学习过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体，它们之间的关系如下： 【即学即练2】（25-26高二上·上海·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【分析】根据棱柱的定义依次判断选项即可. 【详解】对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 题型01 多面体的概念与性质 【典例1】（24-25高一·黑龙江·期中）如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足（Euler's formula），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（    ） A．共有20个六边形 B．共有10个五边形 C．共有90条棱 D．共有32个面 【答案】ACD 【分析】分别设出正五边形和正六边形的个数，利用关系式即可解出正五边形和正六边形的数量，以及棱数和面数. 【详解】解：由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形， 解得：.B错误. ∵顶点数：，解得：，∴A正确. 面数：.∴D正确.棱数：.C正确. 故选：ACD. 【变式1】（23-24高一下·河南·期中）多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合欧拉公式列出方程组，求解方程组即得. 【详解】设该多面体的顶点数为，棱数为， 依题意，，消去得， 所以. 故选：C 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】可以动手制作模型，按线折叠后再判定，或在头脑中模拟折叠过程，即可得出结论． 【详解】把四面体的底面固定不动，沿三条侧棱剪开，展在平面上，即得A选项的图形; 把四面体的底面和相邻的一个侧面的棱不剪，其余的棱剪开，展开在一个平面上， 即得B选项的图形;； 无论怎么展开，展开图不会是C,D选项的图形;，因为它们的四个面都共点． 故选：AB． 【变式3】（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 【答案】 【分析】根据正二十面体的结构特征，利用条件列出方程求解即可. 【详解】由于正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体， 所以面数为，并且每个顶点处有条棱， 设正二十面体共有个顶点，则棱数为， 由题意可得，解得. 则正二十面体的顶点的个数为 故答案为：. 题型02 棱柱的判断及性质 【典例2】（2025高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义逐项判断即可. 【详解】根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体； 根据棱柱的概念可得选项B为棱柱； 根据棱台的定义知选项C为棱台； 根据棱锥的概念知选项D为棱锥. 故选：B 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 【答案】B 【分析】根据棱柱的结构特征，判断选项中的结论是否正确. 【详解】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱； B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同； C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行； D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱． 故选：B. 【变式3】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．直四棱柱是长方体 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．平行六面体是四棱柱 【答案】A 【分析】根据长方体、直四棱柱、平行六面体的定义、性质和关系判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体， 故A错误； 对于选项B，正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确； 对于选项C，长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确； 对于选项D，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故D正确； 故选：A. 【变式4】（2025·高一课时练习）下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据直四棱柱的定义，分别判断各个命题即可得出结果. 【详解】对于命题（1），斜四棱柱的两个相对侧面可能平行且垂直于底面，故命题（1）为假命题； 对于命题（2），两截面的交线平行于侧棱且垂直于底面，故命题（2）为真命题； 对于命题（3），如图③：作正四棱柱的两个平行的菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱，故命题（3）为假命题；    对于命题（4），如图④：四棱柱的一个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形， 于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故命题（4）为真命题； 故选：B. 题型03 棱柱及其计算问题 【典例3】（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 【变式1】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用解直角三角形可求点到直线AC1的距离. 【详解】 如图，连接，由正方体的性质可得，， 故到的距离为， 故选：C. 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）棱长为2的正方体中，是平面内一点，则点到平面的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据正方体的性质判断即可. 【详解】在正方体中平面平面， 又平面， 当两平面平行时，则一个平面内任意一点到另一个平面距离相等， 所以点到平面的距离等于棱长. 故选：B 【变式3】（2025高一下·北京·阶段训练）如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据长方体的性质求解. 【详解】在长方体中，， 故选：B 【变式4】（23-24高二上·北京房山·期中）长方体中，，为的中点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接，设，表示出，，，利用勾股定理计算可得. 【详解】如图连接，设，则， ，， 因为，所以，即，解得（负值舍去）. 故选：A 题型04 正方体中的截面问题 【典例4】（2025高三·全国·专题练习）若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】由题意分析得截面与棱的交点应在相邻的三条棱上，作出可能的图后逐个分析，特殊①恰好经过三个顶点；②恰好经过两个顶点；③与三条棱都交于任意点，设交点到顶点的距离分别为，由勾股定理定理表示出三角形三边，然后利用余弦定理得到三角形内角的范围. 【详解】一个平面截正方体要使其截面为三角形，则与棱的交点应在相邻的三条棱上． ①如图1，当三个交点恰好在正方体的顶点处，则为等边三角形； ②如图2，在①基础上将其中一个顶点沿棱平移，则可能产生等腰三角形； ③如图3，一般情形下，设交点到同一个顶点的距离分别为， 利用勾股定理可知截面三角形的三边长分别为，，， 利用余弦定理知其中一个角的余弦值大小为， 所以该角为锐角，同理其余角也为锐角，所以该三角形为锐角三角形， 不可能为直角三角形． 故选：C． 【变式1】（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 【变式2】（24-25高三上·贵州贵阳·期末）如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据已知及平面的基本性质确定水平面截正方体所得截面的形状，进而求其面积. 【详解】在正方体中，与平面所成的角是相等的， 所以水平面平行于平面，又水平面恰好经过的中点， 则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为， 如图，所以其面积. 故选：B 【变式3】（24-25高一上·上海·期末）如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，利用平面的性质可得过的平面截该正方体所得截面为菱形，再计算其面积. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得， 所以，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为1，，，，， 故的面积为. 故选：D. 【变式4】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，确定四边形为经过三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求解. 【详解】正方体中，平面， 则平面与平面的唯一交线与平行. 取BC中点，连接， 则四边形即为经过三点的正方体的截面， 梯形中，， 则梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故选：A. 题型05 棱柱的展开图及最值问题 【典例4】（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【分析】将正四棱柱的侧面展开，由直线段最短求解. 【详解】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用展开方法，以为基准，将和翻折使其与共面，然后利用余弦定理求解. 【详解】由正方体的结构特征可知，平面， 点M是内一动点，且，所以点在线段上运动， 动线段在内运动，动线段在内运动，动线段在内运动， 以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示： 其中翻折至，翻折至， 的周长等于,最小值等于 ， 由余弦定理可求得， 所以， 故的周长最小值等于， 故选：B. 【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，进而可得截面与截面面积. 【详解】如图，把正四棱柱的侧面展开图可得最短距离， （1）  ，（2）  ，（3）   （1），（2），（3）， 所以质点从到的最短距离为， 此时质点从点出发，经过上靠近的三等分点，再到达点， 面截正四棱柱所得截面为五边形，如图， 由，， 所以沿质点的最短运动路线截正四棱柱，    则所得截面的面积为： ． 故选：B 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【答案】D 【分析】由长方体的结构特征判断A；由正方体的结构特征判断B；由直平行六面体的结构特征判断C、D. 【详解】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确； 对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；. 对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一·全国·课后作业）设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由各几何体的特点得到集合之间的关系. 【详解】根据几何体的特点可知，长方体是底面为矩形的直四棱柱，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，正方体是侧面均为正方形的正四棱柱可以得到这些集合的关系， 故选：B. 3．（24-25高二·上海·随堂练习）下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 【答案】A 【分析】根据棱柱的几何特征得到A正确；举出反例，得到BCD错误； 【详解】A选项，棱柱的面中，上下底面必平行，侧面可能平行，故至少有两个面互相平行，A正确； B选项，棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的底面，也可能是侧面，比如正方体，B错误； C选项，若棱柱为斜棱柱，此时棱柱中侧棱不是棱柱的高，C错误； D选项，棱柱的侧面一定是平行四边形，它的底面可能是平行四边形，比如长方体，D错误. 故选：A 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列图形中，不是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 故A为四棱柱，B为三棱柱，C为四棱柱， D中有两个面为梯形，两个面为三角形且三角形面不平行，故D不是棱柱.故选：D 5．（2025高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次分析各个选项中截面出现的情况即可. 【详解】对于A，当截面平行于正方体的一个侧面时，可得A中截面； 对于B，当截面不平行于任何侧面，也不经过正方体的体对角线时，可得B中截面； 对于C，当截面过正方体的体对角线时，可得C中截面； 对于D，截面中的四边形为正方形，且四个顶点均在球的表面；过球心的截面不可能作出D中截面. 故选：D. 6．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【答案】C 【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，结合正方体的结构特征，即可求解． 【详解】根据正方体的表面展开图，翻折成正方体，如图所示： 其中“成”在最下面，“拼”在最上面，构成对面关系． 故选：C． 7．（24-25高一下·全国·课后作业）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（    ） A．30 B．20 C．12 D．10 【答案】C 【解析】因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每1条棱被2个三角形共用， 即1个面对应条棱，所以共有条棱， 所以由顶点数－棱数＋面数，得：顶点数棱数面数.故选：C 8．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，利用平面展开图求解可得. 【详解】如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 因为，所以小虫爬行的最短路程为. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列关于棱柱的说法，正确的是（    ） A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 【答案】CD 【分析】由棱柱的结构特点逐项判断即可. 【详解】A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； B错误，棱柱的底面可以是三角形； C正确，由棱柱的定义易知； D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱． 故选：CD 10．（23-24高一下·河北廊坊·月考）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（     ） A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 【答案】ABD 【解析】由题意，在正方体中， 对于A中，过点三点的截面为，截面的形状为正三角形，所以A正确； 对于B中，过棱的中点，作正方体的截面， 此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B正确； 对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误； 对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确. 故选：ABD. 11．（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 【答案】AD 【分析】根据题意，画出该正方体的直观图，结合正方体的结构特征依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， 对于A，易得，A正确； 对于B，与异面，B错误； 对于C，直线与相交，C错误； 对于D，直线与异面，D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二上·天津武清·期中）如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，结合中位线即可求解. 【详解】 连接，由为 的中点，可得为 的中点, 又是线段的中点， 所以， 故答案为： 13．在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为 ． 【答案】 【解析】如图连接AC，则AC过点M,连接,则经过点N,连接, 则过点A、、的平面截正方体的截面为等边， 因为正方体棱长为，故边长为，面积为， 14．（2025高一·全国·专题练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算即可. 【详解】正十二面体在每个顶点有3个面角，每个面角是， 所以正十二面体在各顶点的曲率为， 由于正十二面体有20个顶点，故其总曲率为. 故答案为： 4、 解答题 15．已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题： （1）这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ （2）将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【答案】（1）6个面，8个顶点，12条棱；（2）是长方形， 【解析】（1）由直四棱柱的特征可知直四棱柱一共有6个面，8个顶点，12条棱. （2）将直四棱柱的侧面展开是一个长方形.长方形的宽为直四棱柱的侧棱长， 所以宽为8cm，长为直四棱柱的底边边长的四倍，即，所以长为20cm， 所以侧面展开图面积为 16．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)是；三棱柱BB1M－CC1N；四棱柱ABMA1－DCND1 【分析】根据棱柱的定义及结构特征可解答. 【详解】（1）该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义． （2）各部分形成的几何体还是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 17．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程． 【答案】 【解析】沿将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形，如下图所示： 且，，所以，小虫爬行的最短路程为的长， 且. 18．（24-25高一·全国·课后作业）在一个长方体的容器中，里面装有少量的水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜． （1）在倾斜的过程中，水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？ （2）在倾斜的过程中，水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？ （3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第（1）问和第（2）问对不对？ 【答案】（1）可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形（2）水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥.（3）（1）对，（2）不对. 【分析】根据绕着棱旋转和绕着点旋转的特点，将问题转化为长方体被相应平面所截形成的截面形状. 【详解】（1）不对.水面的形状就是用一个与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形. （2）不对.水的形状就是用与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥. （3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台.故（1）对，（2）不对. 【点睛】本题考查长方体被平面所截的问题，难度一般.用平面去截长方体，截面形状可以是：三角形，四边形，五边形，六边形，如下图所示： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$