11.1.4 棱锥与棱台（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

11.1.4 棱锥和棱台 课程标准 学习目标 （1）理解棱锥和棱台的定义和结构特征.(重点） （2）能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系.（难点) （1）了解棱锥、棱台的定义和结构特征； （2）掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质； （3）3.知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 知识点01 棱锥 1、棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥。 2、棱锥的相关概念： （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 3、棱锥的表示：棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示. 4、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】如果棱锥的底面为正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即学即练1】（23-24高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 知识点02 棱台 1、棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 2、棱台的相关概念： （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 3、棱台的高与侧面积 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高。 棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积。 4、棱台的分类 （1）按底面形状：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… （2）正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台，正棱台的上下底面的中心连线是棱台的高。 正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高。 【即学即练2】（23-24高二上·海南海口·开学考试）（多选）棱台具备的特点有（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点 【题型一：判断是否为棱锥或棱台】 例1．（23-24高一下·全国·课后作业）下面图形中，为棱锥的是（    ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①② 变式1-1．（23-24高一下·安徽亳州·月考）下列空间几何体中可能是棱台的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高一·全国·课后作业）下列空间图形中是棱台的为 .(填序号) 变式1-3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ） A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4 B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 【方法技巧与总结】 1、判断一个多面体是棱锥时，尤其要注意“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”。 2、判断一个多面体是棱台，关键要抓住两个特征：（1）各侧棱的延长线交于一点；（2）两底面平行。还可以由“两底面的对应边平行，且这些对应边成比例”这一性质进行判断。在把握棱台的结构特征时，一定要认识到它是棱锥的一部分，而不能只看现象不看本质。 【题型二：棱锥和棱台的结构特征】 例2．（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 变式2-1．（23-24高二上·四川内江·月考）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．正四面体是正三棱锥. B．棱锥的侧面是全等的三角形. C．正三棱锥是正四面体. D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点. 变式2-2．（23-24高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 变式2-3．（23-24高一下·四川攀枝花·月考）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【方法技巧与总结】 判断棱锥、棱台的两种方法： （1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断出关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确； （2）直接法： 根据棱锥的判定方法：①确定底面，只有一个面是多边形即为底面；②看侧面，相交于一点。 根据棱台的判定方法：①确定底面，两个互相平行的面即为底面；②看侧面，侧棱延长后交于一点。 【题型三：棱锥的相关计算】 例3．（22-23高一下·辽宁鞍山·月考）正三棱锥的高为，斜高为，则该三棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D．4 变式3-1．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 变式3-2．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，则表面积为 . 变式3-3．（22-23高一下·重庆万州·月考）如图，已知正四棱锥的底面是面积为4的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，为棱的中点，为底面正方形的中心． （1）求四棱锥的高； （2）求四棱锥侧面三角形底面上的高． 【方法技巧与总结】 求棱锥表面积的一般方法：定义法，注意“高”和“斜高”的区别。 另外，正棱锥的高为顶点与底面正多边形中心的连线。 【题型四：棱台的相关计算】 例4．（22-23高一下·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24高一下·广东广州·期中）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 变式4-2．（22-23高一下·内蒙古乌兰察布·月考）若正四棱台的上、下底面边长分别是5和，则该棱台的高为 ． 变式4-3．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 关于正棱台的计算，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形：正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形；正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形。 【题型五：棱锥的表面最短距离】 例5．（23-24高二上·辽宁·开学考）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（    ） A．        B．          C．             D． 变式5-1．（22-23高一下·湖北武汉·期中）如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为 ． 变式5-2．（22-23高一下·河北保定·月考）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为 ．    变式5-3．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【方法技巧与总结】 求棱锥表面最短距离的方法步骤： （1）首先需要将棱锥的侧面展开成平面图形，即将棱锥的侧面沿着某个轴线展开，形成一个多边形； （2）在展开图中，需要识别出起点和终点，以及任何可能的中间转折点。这些点可能位于多边形的边缘或内部。 （3）从起点开始，按照一定的顺序连接所有关键点，形成一条路径。这条路径应该尽可能直线，确定最短路径所对应的选段长度进行求解。 一、单选题 1．（22-23高一下·广东云浮·期末）一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥 2．（22-23高一下·四川成都·期中）下列几何体中，面的个数最小的是（    ） A．四面体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 3．（22-23高一下·安徽·月考）下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 4．（23-24高一下·广东佛山·月考）下列说法不正确的是（   ） A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B．棱台的各侧棱延长线必交于一点 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 5．（22-23高一下·山东临沂·月考）下列说法正确的是（    ） A．棱台的侧棱长都相等 B．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．棱台的两个底面相似 6．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，三棱台截去三棱锥后，剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱柱 7．（22-23高一下·湖北黄冈·月考）已知侧棱长为的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为，则棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·河南信阳·期中）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．三棱柱 D．三棱锥 10．（23-24高一下·福建宁德·月考）下列说法中，错误的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥. 11．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 三、填空题 12．（22-23高一下·天津河北·期中）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 13．（22-23高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 14．（23-24高二上·湖北恩施·月考）分子式是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料广泛应用于民用和工业中. 近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加. 深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题. 如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等. 请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为 . 四、解答题 15．（22-23高一下·重庆万州·月考）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为. （1）计算四棱锥的高； （2）计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 16．（23-24高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. （1）折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ （2）每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 17．（22-23高一下·宁夏银川·期中）正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 18．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米. （1）求该漏斗的表面积； （2）若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长； （3）将图中正方形水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1.4 棱锥和棱台 课程标准 学习目标 （1）理解棱锥和棱台的定义和结构特征.(重点） （2）能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系.（难点) （1）了解棱锥、棱台的定义和结构特征； （2）掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质； （3）3.知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 知识点01 棱锥 1、棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥。 2、棱锥的相关概念： （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 3、棱锥的表示：棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示. 4、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】如果棱锥的底面为正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即学即练1】（23-24高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【答案】D 【解析】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形， 但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误； 对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误； 对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形， 则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确.故选：D. 知识点02 棱台 1、棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 2、棱台的相关概念： （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 3、棱台的高与侧面积 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高。 棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积。 4、棱台的分类 （1）按底面形状：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… （2）正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台，正棱台的上下底面的中心连线是棱台的高。 正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高。 【即学即练2】（23-24高二上·海南海口·开学考试）（多选）棱台具备的特点有（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点 【答案】ABD 【解析】因为棱台是由平行棱锥底面的平面截得的， 所以棱台的两底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，故选：ABD 【题型一：判断是否为棱锥或棱台】 例1．（23-24高一下·全国·课后作业）下面图形中，为棱锥的是（    ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①② 【答案】C 【解析】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选：C 变式1-1．（23-24高一下·安徽亳州·月考）下列空间几何体中可能是棱台的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据空间几何体的几何特征知：选项A是圆台，选项B可能是棱台， 选项C是棱柱，选项D是圆柱.故选：. 变式1-2．（23-24高一·全国·课后作业）下列空间图形中是棱台的为 .(填序号) 【答案】③ 【解析】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点. 图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面， 故图①和图②都不是棱台.图③符合棱台的定义与结构特征.故答案为：③ 变式1-3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ） A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4 B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 【答案】C 【解析】棱台是由棱锥截成的，上下两个底面互相平行，且对应边之间的比值相等. A：，故A不正确； B：，故B不正确； C：，故C正确； D：满足这个条件的是一个三棱柱，不是棱台，D不正确；故选：C 【方法技巧与总结】 1、判断一个多面体是棱锥时，尤其要注意“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”。 2、判断一个多面体是棱台，关键要抓住两个特征：（1）各侧棱的延长线交于一点；（2）两底面平行。还可以由“两底面的对应边平行，且这些对应边成比例”这一性质进行判断。在把握棱台的结构特征时，一定要认识到它是棱锥的一部分，而不能只看现象不看本质。 【题型二：棱锥和棱台的结构特征】 例2．（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 【答案】B 【解析】对于A，如图1，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A错误； 对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥. 如：三棱柱被平面分为两个棱锥，如图2所示，故B正确； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误； 对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥. 如：四棱锥被平面SAC分成两个三棱锥，如图3所示，故D错误.故选：B. 变式2-1．（23-24高二上·四川内江·月考）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．正四面体是正三棱锥. B．棱锥的侧面是全等的三角形. C．正三棱锥是正四面体. D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点. 【答案】AD 【解析】A选项，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A选项正确. B选项，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B选项错误. C选项，正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等， 所以正三棱锥不一定是正四面体，C选项错误. D选项，根据棱台的定义可知，延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D选项正确.故选：AD 变式2-2．（23-24高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（　　） A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】BCD 【解析】由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A正确，B，C不正确； 棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确.故选：BCD 变式2-3．（23-24高一下·四川攀枝花·月考）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【解析】有一个面是多边形，其余各面是三角形， 若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误； 两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台， 还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误． 故选：D. 【方法技巧与总结】 判断棱锥、棱台的两种方法： （1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断出关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确； （2）直接法： 根据棱锥的判定方法：①确定底面，只有一个面是多边形即为底面；②看侧面，相交于一点。 根据棱台的判定方法：①确定底面，两个互相平行的面即为底面；②看侧面，侧棱延长后交于一点。 【题型三：棱锥的相关计算】 例3．（22-23高一下·辽宁鞍山·月考）正三棱锥的高为，斜高为，则该三棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】依题意作图，其中E是BC的中点，D是正三角形ABC的中心， 并且 平面ABC， ， 则有 ，在 中， ， 在 中， ；故选：D. 变式3-1．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 【答案】A 【解析】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：.故选：. 变式3-2．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，则表面积为 . 【答案】144 【解析】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为， 所以，高， 过作交于，连接， 因为是正四棱锥，易知，且， 所以正四棱锥的侧面积为，又底面积为， 故正四棱锥的表面积为144. 变式3-3．（22-23高一下·重庆万州·月考）如图，已知正四棱锥的底面是面积为4的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，为棱的中点，为底面正方形的中心． （1）求四棱锥的高； （2）求四棱锥侧面三角形底面上的高． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为是正四棱锥，且为底面正方形的中心， 所以底面，而底面，因此， 因为是正方形，且面积为4， 所以该正方形的边长为2，， 在直角三角形中，； （2）因为侧面是全等的等腰三角形，且为棱的中点，所以， 在直角三角形中，； 【方法技巧与总结】 求棱锥表面积的一般方法：定义法，注意“高”和“斜高”的区别。 另外，正棱锥的高为顶点与底面正多边形中心的连线。 【题型四：棱台的相关计算】 例4．（22-23高一下·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台， 该棱台的高等于大正三棱锥的高的. 设大正三棱锥的高为DH，则： 因为大正三棱锥的高为:， 所以该棱台的高为.故选：A 变式4-1．（23-24高一下·广东广州·期中）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【解析】设，则. 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点， 则，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点， 易知为正四棱台的高，则， 所以.故选：C. 变式4-2．（22-23高一下·内蒙古乌兰察布·月考）若正四棱台的上、下底面边长分别是5和，则该棱台的高为 ． 【答案】3 【解析】由题意得，正四棱台的对角面为等腰梯形， 其中上底，下底长为， 过点分别作，垂足分别为， 则，故， 则高为． 变式4-3．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，正棱台侧面为上下底边长分别为的等腰梯形， 所以棱台的斜高为.故选：C 【方法技巧与总结】 关于正棱台的计算，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形：正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形；正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形。 【题型五：棱锥的表面最短距离】 例5．（23-24高二上·辽宁·开学考）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（    ） A．        B．          C．             D． 【答案】B 【解析】将正三棱锥沿剪开可得如下图形， ∵，即，又的周长为, ∴要使的周长的最小，则共线，即， 又正三棱锥侧棱长为，是等边三角形， ∴.故选：B 变式5-1．（22-23高一下·湖北武汉·期中）如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示： 则即为的周长的最小值， 在中，，， 由余弦定理得：． 变式5-2．（22-23高一下·河北保定·月考）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为 ．    【答案】 【解析】由题意可知：，则， 所以， 将翻折至一个平面，过点A作，垂直为点， 则的最小值为点A到边的距离， 因为 所以， 即的最小值为. 变式5-3．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【解析】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 【方法技巧与总结】 求棱锥表面最短距离的方法步骤： （1）首先需要将棱锥的侧面展开成平面图形，即将棱锥的侧面沿着某个轴线展开，形成一个多边形； （2）在展开图中，需要识别出起点和终点，以及任何可能的中间转折点。这些点可能位于多边形的边缘或内部。 （3）从起点开始，按照一定的顺序连接所有关键点，形成一条路径。这条路径应该尽可能直线，确定最短路径所对应的选段长度进行求解。 一、单选题 1．（22-23高一下·广东云浮·期末）一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥 【答案】C 【解析】对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意； 对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意； 对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意； 对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.故选：C 2．（22-23高一下·四川成都·期中）下列几何体中，面的个数最小的是（    ） A．四面体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】A 【解析】四面体有个面，四棱锥有个面，三棱柱有个面，三棱台有个面， 所以下列几何体中，面的个数最小的是四面体.故选：A. 3．（22-23高一下·安徽·月考）下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【解析】对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误； 对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C错误； 对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确.故选：D. 4．（23-24高一下·广东佛山·月考）下列说法不正确的是（   ） A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B．棱台的各侧棱延长线必交于一点 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【答案】C 【解析】对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确； 对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确； 对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误； 对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确；故选：C. 5．（22-23高一下·山东临沂·月考）下列说法正确的是（    ） A．棱台的侧棱长都相等 B．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．棱台的两个底面相似 【答案】D 【解析】由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以不正确，正确； 若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥，不正确； 棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，不正确，故选：D 6．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，三棱台截去三棱锥后，剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱柱 【答案】B 【解析】三棱台截去三棱锥后，剩下的部分是多面体， 是以四边形为底面，点为顶点的四棱锥.故选：B 7．（22-23高一下·湖北黄冈·月考）已知侧棱长为的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为，则棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，取中点，连接，过点作平面交底面于点，如图， 因为三棱锥为正三棱锥， 所以在平面上的射影为的中心，即O在CD上， 因为，底面周长为， 则，，， 所以三棱锥的高.故选：A. 8．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，在三棱锥中，， 则有，可得，又，则， 而，则，又△PAB，△PAC为正三角形， 将三棱锥沿侧棱展开，得到如图所示的多边形，其中， 根据余弦定理，最短距离故选：D． 二、多选题 9．（23-24高一下·河南信阳·期中）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】BCD 【解析】如图三棱柱，连接， 则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确， 若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面， 则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确， 因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交， 而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的， 所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误，故选：BCD 10．（23-24高一下·福建宁德·月考）下列说法中，错误的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥. 【答案】ABCD 【解析】对于A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形， 且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体一定是棱柱，故不正确； 对于B：有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台， 只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，故不正确； 对于C：底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥， 只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，故不正确； 对于D：因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等， 所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故不正确.故选：ABCD. 11．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 【答案】ACD 【解析】如图在正六棱台中， 因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：， 所以梯形的面积为：， 故正六棱台的侧面积为: ，故B选项错误； 由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为：，故A正确； 同理下底面积为：， 所以该正六棱台的表面积是,故C正确； 正六棱台的高为，D正确.故选：ACD. 三、填空题 12．（22-23高一下·天津河北·期中）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【答案】 前 程 【解析】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”. 13．（22-23高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 【答案】 【解析】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以， 过点作，垂足为，则易知且， 在Rt中，，， 所以，故正四棱台的高为. 14．（23-24高二上·湖北恩施·月考）分子式是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料广泛应用于民用和工业中. 近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加. 深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题. 如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等. 请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为 . 【答案】 【解析】如图： 设正四面体的棱长为，正三角形中，， 正四面体的高， 设,则中，, 即,解得 即 则中， 即甲烷碳氢键的键角的余弦值为 四、解答题 15．（22-23高一下·重庆万州·月考）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为. （1）计算四棱锥的高； （2）计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）正方形的边长为， 由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 所以四棱锥是正四棱锥，设，连接， 则平面，由于平面， 所以，由于， 所以, 即四棱锥的高为. （2）由于正四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 侧面三角形底边上的高为. 16．（23-24高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. （1）折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ （2）每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 【答案】（1）三棱锥，4个面；（2）为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，. 【解析】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥， 这个几何体共有4个面. （2）由已知，，，， 所以， ， 所以为等腰三角形，为等腰直角三角形， 和均为直角三角形. ，， . 17．（22-23高一下·宁夏银川·期中）正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接， 则为正四棱台的斜高，， 则棱台的表面积. （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高. 18．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.    （1）求该漏斗的表面积； （2）若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长； （3）将图中正方形水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段的长. 【答案】（1）（）；（2）（米）；（3）米或米 【解析】（1）由题意，该漏斗的表面积（）； （2）将漏斗表面展开，如图所示： 由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径， 过点作交延长线于点，连接， 则，， 在中，， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）； （3）正方形的斜二测画法有以下两种： 左图情况下，，在中由余弦定理可得： ， 右图情况下，，在中由余弦定理可得： ， 综上所述，米或米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$