11.1.3 多面体与棱柱（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

11.1.3 多面体与棱柱 课程标准 学习目标 （1）了解多面体的定义及其分类；（重点） （2）理解棱柱的定义和结构特征；（重点） （3）了解多面体表面积的概念，知道棱柱表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.（难点） （1）了解多面体的定义及其分类并掌握棱柱的定义和结构特征； （2）在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系. 知识点01 多面体 1、多面体的定义：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。 2、多面体的有相关概念： （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面； （2）多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点； （4）多面体的面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是棱的线段； （5）多面体的体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段； （6）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部）. 2、凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，称这样的多面体为凸多面体. 3、正多面体：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体. 【即学即练1】（21-22高一上·陕西渭南·月考）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上．则该半正多面体共有 个面． 知识点02 棱柱 1、棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱。 2、棱柱的构成元素及相关概念 （1）底面：有两个互相平行的面称为棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）侧棱：相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱； （4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 【注意】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面 3、棱柱的高与侧面积 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高。棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积。 4、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体。 5、特殊的四棱柱： 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体，不难看出，底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学习过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体，它们之间的关系如下： 【即学即练2】（23-24高二上·广东惠州·月考）下列说法不正确的是（   ） A．直四棱柱是长方体 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．平行六面体是四棱柱 【题型一：多面体的概念与性质】 例1．（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号） 变式1-1．（23-24高一下·全国·课后作业）一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为，则它的棱数为（    ） A．24 B．22 C．18 D．16 变式1-2．（23-24高一下·河南·期中）多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 变式1-3．（22-23高一下·重庆九龙坡·月考）如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角满足：，式中分别为杂化轨道中