精品解析：重庆市万州第二高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考试题 数学试题

高2024级高一下月考数学试题 出题人：杨柳 审题人：何金晶 （总分：150分； 时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 中，三边之比，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 7. 已知是内的一点，且，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 8. 如图所示，已知在四边形ABCD中，，且点A，B，C，D共圆，点M，N分别是AD和BC的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，，在复平面内对应点分别为，，则（ ） A. B. C. 满足复数对应的点形成的图形的周长是 D. 满足的复数对应的点形成的图形的面积是 10. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时 11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________． 13. “文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为_________米 14. 已知为单位向量，且，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 16. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC. （1）求BD长； （2）求sin∠BDC的值. 17. 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点， （1）用和表示； （2）求； 18. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组． （1）求∠BAC； （2）若，，，求C的坐标； （3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高一下月考数学试题 出题人：杨柳 审题人：何金晶 （总分：150分； 时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简已知复数z，由共轭复数定义可得． 【详解】解：化简可得 ， 的共轭复数， 故选：B． 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】当时，，， 此时，故，故充分性成立， 当时，满足，解得， 故此时必要性成立，故C正确 故选：C 3. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 4. 中，三边之比，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用正弦定理角化边，即可求得答案. 详解】中，三边之比，设， 则由正弦定理得， 故选：D 5. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状. 【详解】由题意得， 即，由正弦定理得， 即，则，因为，所以， 又， 所以, 故，因为，所以． 综上可知三角形为等边三角形． 故选：C. 6. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件确定是等边三角形，再建立坐标系，用坐标法求数量积的范围. 【详解】，，，，可得， ，，若，则，，，可得，，，即，即是等边三角形.如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，.由题意设，则，，. 因为，所以. 故选：C. 7. 已知是内的一点，且，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据判断点位置，进而根据三角形的面积公式可得,所以,进而根据不等式即可求解最小值. 【详解】由得 取边中点为,则, 因此可知：在过且与平行的中位线上， 由得,由于为三角形的内角，因此, 所以,所以, 因此, 设， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故最小值为8， 故选：A 8. 如图所示，已知在四边形ABCD中，，且点A，B，C，D共圆，点M，N分别是AD和BC的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据圆的几何性质，结合余弦定理，求和，再利用向量转化，结合数量积公式，即可求解. 【详解】由提设，则， 在中，， 在中，， 所以，可得，故， ，， 中，， 中，， 所以，得 得， 又，分别是和的中点， 所以， 所以， . 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. 满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D. 满足的复数对应的点形成的图形的面积是 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数的几何意义以及模长公式即可判断AB，先确定复数对应的点的轨迹，即可得到其周长以及面积，即可判断CD. 【详解】对于A，，则， 且，，而，故A错误； 对于B，因为，则，即， 故B正确； 对于C，设，且，由可得，即， 以复数对应的点形成的图形是以原点为圆心，为半径的圆， 其周长为，故C正确； 对于D，因为，，由可得， 复数对应的点形成的图形是以原点为圆心， 半径与的两个圆所夹圆环内点的集合， 其面积为，故D错误； 故选：BC 10. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意可得为的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A，建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设，，利用坐标法判断B、C，由三点共线得到，即可求出，从而求出，，即可判断D. 【详解】因为，即为的中点，所以，故A正确； 如图建立平面直角坐标，则，，，， 所以，，则，故B错误； 又， 所以圆的方程为， 设，， 则，又， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故最大值为，故C正确； 因为，，三点共线，所以， 又，， 所以，即， 所以， 所以，又，， 且，即， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，对已知条件结合正弦定理可说明其正确； B选项，通过内切圆半径和面积法推出； C选项，由A先等价推出，由三角形的面积公式可算出； D选项，根据的取值结合和正弦定理可计算. 【详解】 如图，设内切圆圆心为，则到三边的距离均为，于是，即，则，得到，B选项正确； 由可得， 结合正弦定理可得，，即，A选项正确； 根据诱导公式，，， ，按照整体展开得到，，而，于是，即，故，由三角形面积公式，，解得，C选项正确； 由正弦定理结合B选项，，即，D选项错误. 故选：ABC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________． 【答案】5 【解析】 【详解】 由复数在复平面内对应的点分别为， 又三点是共线的，所以． 13. “文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为_________米 【答案】30 【解析】 【分析】利用解直角三角形得到三边长，再利用余弦定理得到五边关系，从而可求解高度. 【详解】 设雕像高为，设雕像底部为点，根据直角三角形正切函数可得： 再由，结合两个三角形的余弦定理可得： 因为， 所以 即， 解得：， 故答案为：. 14. 已知为单位向量，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【详解】因为为单位向量，有，得， 由，得，得， 所以，又，所以， 而， 则 当且仅当与方向相反时“=”成立 所以的最小值为； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知为实数，所以，求得，再进行复数的乘法运算即可； （2）由题知为纯虚数，所以，求得，再根据复数的模长公式计算即可. 【小问1详解】 由已知， 是实数， ，即， . 【小问2详解】 ， 由于是纯虚数，，解得， 则. . 16. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC. （1）求BD的长； （2）求sin∠BDC的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，在中，再利用余弦定理即可求解. （2）在中，利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， 则，所以， 由AD＝4DC，则，， 在中，， 所以. （2）由，，BC＝3， 在中，， 即，解得 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理内容，属于基础题. 17. 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点， （1）用和表示； （2）求； 【答案】（1）． （2）4 【解析】 【分析】（1）根据向量得线性运算即可求得答案； （2）设，从而得出，根据共起点的三向量终点共线的充要条件求出t，即可求得答案. 【小问1详解】 由向量的线性运算法则，可得， ， 因为为线段中点，则， 联立得：， 整理得：． 【小问2详解】 由与交于点，设， 得， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：． 所以，即得. 18. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得； （3）延长交于，延长交于，设，，分别求出、，再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 即，解得， 设边上的角平分线长为， 则，即， 即，解得，即边上的角平分线长为； 【小问3详解】 延长交于，延长交于， 设，，所以， 在中， 在中，，所以， 在中，同理可得， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组． （1）求∠BAC； （2）若，，，求C的坐标； （3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据与同向，设，利用夹角公式，结合，得到，再由，得到求解； （2）由（1）知，，得到是正三角形，利用边长相等求解； （3）设BC的中点为D，由，得到G为的重心，且为的中心，不妨设与的夹角为，，分别表示数量积求解. 【小问1详解】 解：因为与同向，设， 则， ， 又∠GAB，． 因为，所以， 所以， 由，得， 又，所以，． 【小问2详解】 由（1）知，． 所以， 因为，，， 所以，，， 则，解得 所以C的坐标为． 【小问3详解】 设BC的中点为D，则，又， 所以，即G为的重心，又是正三角形，点G是的中心， 所以，，， 由对称性，不妨设与的夹角为，， 如图所示， ， ， 由图可知，与，与的夹角分别为，， 所以，的值分别为，， 当时，， 所以，其取值范围是． 所以取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $