精品解析：天津市滨海新区泰达中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024~2025学年度第二学期泰达中学高二年级3月份考试 数学试卷 考试时间：100分钟；满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，注意准考证号要填涂准确. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的导数为，则（ ） A. B. C. D. 4. 某日，从甲城市到乙城市的火车共有个车次，飞机共有个航班，长途汽车共有个班次,若该日小张只选择这种交通工具中的一种，则他从甲城市到乙城市共有 A. 种选法 B. 种选法 C. 种选法 D. 种选法 5. 将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同的分法种数有(　　) A. 2610 B. 720 C. 240 D. 120 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则 （ ） A. 为极大值点 B. 为极大值点 C. 为极小值点 D. 无极值点 8. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 天津博物馆为国家一级博物馆，是展示中国古代艺术及天津城市发展历史的大型艺术历史类综合性博物馆，是天津地区最大的集收藏、保护、研究、陈列、教育为一体的大型公益性文化机构和对外文化交流的窗口.天津博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于2024年5月13日（周一）至5月19日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去天津博物馆参观研学（此周无节假日），每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ） A. 20种 B. 50种 C. 60种 D. 100种 11. 如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 540 B. 600 C. 660 D. 720 12. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知函数，则___________. 14. 若函数的单调减区间是则实数________． 15. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____. 16. 函数在区间上的最大值是________． 17. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为_________. 18. 用这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个. 19. 把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中3盆兰花不能摆放在一条直线上，则不同的摆放方法有______种． 20. 已知函数，方程有2个不同的根，则实数a的取值范围是______. 三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 3名男同学和4名女同学站成一排.（要有列式子的过程，结果用数字作答） （1）若女同学必须相邻，共有多少种不同的排法； （2）若男同学互不相邻，共有多少种不同的排法； （3）若甲同学不站在两端，共有多少种不同的排法. 22. 已知函数. （1）求函数在上的最值； （2）设在上有两个零点，求的取值范围. 23. 已知函数，. （1）若在单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 24. 已知函数，其中 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期泰达中学高二年级3月份考试 数学试卷 考试时间：100分钟；满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，注意准考证号要填涂准确. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合导数的运算法则和导数的定义，即可求解. 【详解】由题意知，， 又由，则，所以 故选：A． 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式判断． 【详解】；；，，只有B正确． 故选：B． 3. 若函数的导数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则即可求解. 【详解】由函数， 则. 故选：B 【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，需熟记公式以及导数的运算法则，属于基础题. 4. 某日，从甲城市到乙城市的火车共有个车次，飞机共有个航班，长途汽车共有个班次,若该日小张只选择这种交通工具中的一种，则他从甲城市到乙城市共有 A. 种选法 B. 种选法 C. 种选法 D. 种选法 【答案】C 【解析】 【详解】由加法原理知有10＋2＋12＝24种选法，故选C． 5. 将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同的分法种数有(　　) A. 2610 B. 720 C. 240 D. 120 【答案】B 【解析】 【详解】本题是将3张门票分给3人,是一个分步计数问题,第一张门票,应从10名同学中选择1人得到,共有10种分法;第二张门票,应从剩下的9名同学中选择1人得到,共有9种分法;第三张门票,应从剩下的8名同学中选择1人得到,共有8种分法,根据分步乘法计数原理知,共有10×9×8=720(种)分法. 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，利用导数几何意义得到切线斜率，由点斜式得到切线方程. 【详解】，当时，，故切线方程为，即. 故选：A 7. 设函数，则 （ ） A. 为极大值点 B. 为极大值点 C. 为极小值点 D. 无极值点 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到极值点. 【详解】函数定义域为， 则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，即为极大值点. 故选：B 8. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果． 【详解】解：根据导函数图象可知， 在上先单调递减后单调递增，故错误； 在上，单调递增，故错误； 函数在上先单调递减，再单调递增，最后在上单调递减，故无法确定函数在上的最大值，故C错误； 在时单调递减，在时单调递增，在 时，取极小值，故对， 故选：． 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 10. 天津博物馆为国家一级博物馆，是展示中国古代艺术及天津城市发展历史的大型艺术历史类综合性博物馆，是天津地区最大的集收藏、保护、研究、陈列、教育为一体的大型公益性文化机构和对外文化交流的窗口.天津博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于2024年5月13日（周一）至5月19日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去天津博物馆参观研学（此周无节假日），每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ） A. 20种 B. 50种 C. 60种 D. 100种 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定高一年级的安排方法，再在剩下的四天里安排高二和高三，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由于周一闭馆，所以高一年级可以选择从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择两天去参观，共5种选择方法， 再从剩下的四天里安排高二和高三，共种， 则不同的方案有种． 故选：C． 11. 如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 540 B. 600 C. 660 D. 720 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 12. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 【答案】B 【解析】 【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1， 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点， 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点． 则实数a的取值范围是（0，）． 故选B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知函数，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值． 【详解】由题意，所以． 故答案为：2． 14. 若函数的单调减区间是则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设知上，利用根与系数关系有，即可求. 【详解】由题设，， ∴上，即是的两个根， ∴，可得. 故答案为： 15. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m的取值范围. 【详解】f′(x)＝3x2＋2mx＋1.由题意得Δ＝4m2－12≤0，解得，即实数m的取值范围是. 故答案为： 16. 函数在区间上的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求出最大值. 【详解】，令，则， 所以时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 所以函数在处取得极大值，也是最大值， 因此， 故答案为：. 17. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，将不等式转化为，令，求出的最大值，令可得结果. 【详解】不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 设函数，，都是减函数， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 18. 用这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个. 【答案】 【解析】 【分析】组成没有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类; 个位不是0时要注意选中的数有0和无0情况求解. 【详解】由题意，从六个数字中任取个数字组成没有重复数字的三位偶数，可分为两类， 当末位是时，这样的三位数有个 当末位不是时，从余下的两位偶数中选一个放在个位，再从余下的四位非零数字中选一个放在首位，然后从余下的四个数中取一个放在中间，由此知符合条件的偶数有 综上得这样的三位数共有个. 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题.使用两个计数原理进行计数的基本思想: 对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 19. 把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中3盆兰花不能摆放在一条直线上，则不同的摆放方法有______种． 【答案】4320 【解析】 【分析】因为三盆兰花不能放在一条直线上，所以求出7盆花的所有摆放情况，分析图中7个点有几种共线情况共线的，然后任取一种，放三盆兰花，剩下的位置放置4盆玫瑰花，最后用总排列减去共线情况即可. 【详解】先将7盆花全排列，共有种排法，其中3盆兰花摆放在一条直线上的方法有种，故所求摆放方法有（种）． 故答案为：4320. 20. 已知函数，方程有2个不同的根，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，分别求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值，从而得到函数图象，由方程有2个不同的根,结合函数图象即可得解. 【详解】因为， 当时，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，在取得极小值，当从1的左边趋于1时，； 当时,，则， 当时,，当时,， 所以在上单调递增，在上单调递增， 所以在取得极大值，， 令，若，则，从而， 当时，； 所以的函数图象如下所示： 方程有2个不同的实数根， 由图可知当且仅当. 故答案为：. 三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 3名男同学和4名女同学站成一排.（要有列式子的过程，结果用数字作答） （1）若女同学必须相邻，共有多少种不同的排法； （2）若男同学互不相邻，共有多少种不同的排法； （3）若甲同学不站在两端，共有多少种不同的排法. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法求解即可； （2）利用插空法求解即可； （3）先将甲同学排好，再将其他名同学排列即可. 【小问1详解】 由题意，先将女生看成一个整体，再与其他同学进行全排列， 共有种不同的排法； 【小问2详解】 由题意，先将所有女生排好，再将男生插入个空， 共有种不同的排法； 【小问3详解】 先将甲同学排好，再将其他名同学排列， 共有种不同的排法. 22. 已知函数. （1）求函数在上的最值； （2）设在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）最大值1，最小值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数并确定其单调区间，再根据单调性求出最值即可. （2）由（1）中信息，结合函数的性质及最值求出的范围. 【小问1详解】 函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上的单调递增，在上的单调递减， 则，而，， 所以. 【小问2详解】 函数在上有两个零点，即方程在上有两个不等根， 亦即直线与函数在上的图象有两个交点，由（2）知， 所以的取值范围是. 23. 已知函数，. （1）若在单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数及其导数，再利用给定单调区间及单调性建立恒成立的不等式求解. （2）求出函数在区间上的最大值，再借助建立不等式求解. 【小问1详解】 函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此， 设，，则在上单调递增， 于是，即， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，，即在上单调递增，， 函数，求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 24. 已知函数，其中 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时， 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）根据导函数在上存在零点，则在上有解，则有，即，得到函数的最小值，构造函数，，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证． 【小问1详解】 函数的定义域是，， ①时，，令，解得：，令， 解得：，故在递减，在递增； ②时，令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减，在递增； ③时，，在递增； ④时，令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减，在递增； 综上：时，在递减，在递增， 时，在递增，在递减，在递增； 时，在递增； 时，在递增，在递减，在递增； 【小问2详解】 因为， 又因为导函数在上存在零点，所以在上有解， 则有，即， 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 设，，则，则， 所以在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 所以，则根据不等式的传递性可得， 当时， 【点睛】本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $