精品解析：吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题（五四制）

87中学八年级下学期第一次大练习数学试题（1-15） 时间：120分钟分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知是成比例线段，且，其中，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 2. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丙和丁 D. 甲和丁 4. 如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，连接，交于点，若的周长为4，则的周长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，树垂直立在地面上，小明在时测得树的影子长为时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度长为（ ） A. B. 5m C. D. 8. 如图，矩形的中心与点都在反比例函数的图象上，点，在轴上，若的面积为9，则的值是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则___________． 10. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为1．点、、都在格点上，、分别与网格线交于点、，则的长为___________． 11. 如图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图②中的数据可得的值为___________． 12. 如图，在四边形中，平分，且，．当________时，． 13. 如图，已知菱形的对角线，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为_____． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 16. 如图，在和中，已知，．求证：． 17. 延时课上，老师布置任务如下：让王林站在点处去观测外的位于点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具、、在直线上）．已知王林目高，大树高，将平面镜放置在离多远处才能观测到大树的顶端． 18. 如图，在矩形中，点、分别在边、上，，，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形． （2）第（1）问中中点的对应点的坐标为___________． （3）在图中的线段上找一点，连结，使． 20. 如图，在中，为延长线上一点，，过作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，则___________． 21. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若，求线段AD的长． （2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 22. 如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）直接写出当为何值时，能使得与相似． 23. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材页的部分内容． 例 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明 连接． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：连接，   【结论应用】 （）如图②，在中，，，分别是边的中点，相交于点．若，则______． （）如图③，在中，分别是边的中点，相交于点．过点作交于点，如果的面积是，那么的面积是_____． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线方向向终点运动，点在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度，点不与点和点重合．过点向边作垂线段，垂足为点，以、为邻边作平行四边形，连结．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示的长度 （2）当点在边上运动时， ①当点落在边上时，求出的值； ②若是以为腰的等腰三角形，求出的值； （3）作直线，当直线将平行四边形分成面积比为2：3的两部分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 87中学八年级下学期第一次大练习数学试题（1-15） 时间：120分钟分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知是成比例线段，且，其中，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据题意得到即，求出，即可得到答案． 【详解】解：是成比例线段，且， ， ， ， 故选：C． 2. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 3. 如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丙和丁 D. 甲和丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，结合相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．∵∴，∴，故该选项不符合题意； ．∵，而与不一定相等，不能使和相似，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，连接，交于点，若的周长为4，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，根据平行四边形的性质得到，得出，得到的周长为的周长，求出的周长，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 平行四边形， ， ， 的周长为的周长， ∵的周长为4， 的周长， 故选：B． 6. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：在中， ，，， A、三边分别为，，，则，故与相似，符合题意； B、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； C、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； D、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握． 7. 如图，树垂直立在地面上，小明在时测得树的影子长为时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度长为（ ） A. B. 5m C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，代入数据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得或 (舍去)， ∴树的高度长为 故选： D． 8. 如图，矩形的中心与点都在反比例函数的图象上，点，在轴上，若的面积为9，则的值是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，待定系数法求解析式． 过点E作于点F，由矩形的性质与三角形中位线的性质得到，设点A的坐标为，点E的坐标为，则，得到．根据，推出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点F， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点A的坐标为，点E的坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 设，得到，代入计算即可． 【详解】解：设， ， ， 故答案为：． 10. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为1．点、、都在格点上，、分别与网格线交于点、，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取格点，连接得到，再证明，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，连接 正方形网格中每个小正方形边长为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图②中的数据可得的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练知识相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得到，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，平分，且，．当________时，． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 13. 如图，已知菱形的对角线，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得，然后求出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 【详解】四边形是菱形， ∴，， 点是的中点， 是的中位线， ∴， 菱形的周长； 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． ①正确．只要证明，即可；②正确．由，推出，推出，由，推出，即；③错误，现有条件不足以证明；④正确．设，，则，由，有，即，可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 现有条件不足以证明③，故③错误； 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确结论①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，． 16. 如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】 证明：， ， 即， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】略 17. 延时课上，老师布置任务如下：让王林站在点处去观测外的位于点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具、、在直线上）．已知王林目高，大树高，将平面镜放置在离多远处才能观测到大树的顶端． 【答案】将平面镜放置在离处才能观测到大树的顶端 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得到，得出，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， 将平面镜放置在离处才能观测到大树的顶端． 18. 如图，在矩形中，点、分别在边、上，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 连接，由矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，，继而得出，求出． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形． （2）第（1）问中中点的对应点的坐标为___________． （3）在图中的线段上找一点，连结，使． 【答案】（1） 如图即为所求， （2） （3） 点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换，点的坐标，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据位似中心和位似比确定点的位置，再依次连接即可； （2）根据直接得到中点的坐标； （3）取格点，连接交于点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 解：原点为位似中心，位似比为， ； 【小问2详解】 解： 中点的坐标为， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，取格点，连接交于点，连接，点即为所求， ， ， ， ， 20. 如图，在中，为延长线上一点，，过作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，则___________． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查两小时三角形的判定和性质平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，得到，即可证明结论； （2）先证明，得到，求出，由（1）知，得到，求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， 故答案为：． 21. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若，求线段AD的长． （2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】（1）2 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【小问1详解】 ∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 22. 如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）直接写出当为何值时，能使得与相似． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）5或2 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，得到，，即可证明结论； （2）分两种情况：当时；当时；利用相似三角形的性质，结合等腰三角形的性质和矩形的性质分别求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，如图， ∴，， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，由三线合一可得：， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当为5或2时，能使得与相似． 23. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材页的部分内容． 例 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明 连接． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：连接，   【结论应用】 （）如图②，在中，，，分别是边的中点，相交于点．若，则______． （）如图③，在中，分别是边的中点，相交于点．过点作交于点，如果的面积是，那么的面积是_____． 【答案】教材呈现： 证明：连接， ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 结论应用（）；（） 【解析】 【分析】教材呈现：连接，根据三角形中位线的性质可得，进而根据相似三角形的性质即可求解； 结论应用（）如图②，连接，证明，根据相似三角形的性质得出，进而根据直角三角形斜边上的中线以及勾股定理即可求解； （）如图③，连接，证明，得到，进而得，，即可得，又可得，得到，即得到，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】教材呈现：略； 结论应用： （）如图②，连接，     ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图③，连接，    ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点，的面积是， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线方向向终点运动，点在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度，点不与点和点重合．过点向边作垂线段，垂足为点，以、为邻边作平行四边形，连结．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示的长度 （2）当点在边上运动时， ①当点落在边上时，求出的值； ②若是以为腰的等腰三角形，求出的值； （3）作直线，当直线将平行四边形分成面积比为2：3的两部分时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；②或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点在、上的运动速度和时间t，以及、的长度，分两种情况表示的长度． （2）①，当点落在边上时，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定证明，进而可得 ．进而证明，列出比例式即可求出t的值． ②分和两种情况，根据等腰三角形的性质和相关线段关系求出的值． （3）根据直线将分成面积比为的两部分，分两种情况：点在上时，设与交于点，得出，点在上时，设与交于点，延长，交于，结合平行四边形的性质和相似三角形的性质求出t的值． 【小问1详解】 解：在中，根据勾股定理． 点在边上的速度为每秒3个单位长度， 当时，，则； 当时，点在上， 此时． 综上所述，； 【小问2详解】 解：①当点在边上运动时，当点落在边上时， 如图： 四边形是平行四边形， ． 则， ． 又因为， ． ， ， ，即， 解得， 那么． ， 即， ， ；  ②当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形， 当时：如图所示： ，， ， ； 当时：如图所示： 过作于，则． ， ， ， ， 可得， 即， ． 【小问3详解】 解：当点在上时，如图所示： 设与交于点， 直线将分成面积比为的两部分， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在上时，如图： 设与交于点，延长，交于， 直线将分成面积比为的两部分， ， 同上可得， ， ， ， 点在上时，， ， ， ， ， ，即， 解得， 综上所述，直线将分成面积比为的两部分时， 的值为或． 【点睛】本题主要涉及直角三角形的勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等数学概念和定理．熟知相关性质定理，正确画出图形，结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $