精品解析：云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月教学质量监测（五）数学试题

2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（五） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 经过两点的直线的方向向量为，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图： 下列说法中正确的是（ ） A. B. 评分的众数估值为70 C. 评分的平均数估值为76.5 D. 评分的第25百分位数估值为67 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒 B. 命题“”是真命题 C. 设函数导函数为，且，则 D. 已知函数R上可导，若，则 7. 在中，M是上靠近点B的四等分点，若的面积为，则的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左、右两支分别相交于两点，若原点O到直线l的距离为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 与的图象存在相同的对称轴 B. 与的值域相同 C. 与存在相同零点 D. 与的最小正周期相同 10. 设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 11. 设直线与函数图象的三个交点分别为，，且，则（ ） A. 图象的对称中心为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 设，曲线在点，，处的切线斜率分别记为，，，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设曲线在点处的切线与直线平行，则a为______． 13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 14. 设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，点D在边上，．沿直线将翻折成，使平面平面，连接． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值． 16. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）在图中画出函数的大致图象； （3）若方程有2个解，求实数m的取值范围． 17. 已知等差数列的项，公差． （1）在和中间都插3个数，使它们和原数列的数构成个新的等差数列，求数列的通项公式； （2）在和中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，构成的新数列为：，求数列的前50项的和． 18. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是在平面直角坐标系中抽象出的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，称为欧几里得距离，用表示，若、，则，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此曼哈顿两点间距离． （1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积； （2）在中，求证：； （3）已知为常数，动点、，求最小值． 19. 已知椭圆的左顶点为A，下顶点为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆在第一象限内一点，线段交y轴于点D，线段交x轴于点E，若的面积是的6倍，求P点的坐标； （3）如图，若椭圆上的三个动点满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（五） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用交集运算的概念求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 经过两点的直线的方向向量为，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义列式求解. 【详解】由点，，得，由直线的方向向量为， 得，因此，所以. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】， ，. 故选：D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D. 【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C； 且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减， 导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误. 故选:A 5. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图： 下列说法中正确的是（ ） A. B. 评分的众数估值为70 C. 评分的平均数估值为76.5 D. 评分的第25百分位数估值为67 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出，再根据平均数、百分位数及众数的计算规则计算可得结论. 【详解】对于A，，得，故A错误； 对于B，由图可知，众数为75，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意得，评分的第25百分位数位于区间之间，设为， 则，得，故D错误. 故选：C. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒 B. 命题“”是真命题 C. 设函数的导函数为，且，则 D. 已知函数在R上可导，若，则 【答案】B 【解析】 【分析】求解导函数后利用瞬时速度的概念计算判断A；构建，利用导数法证明，即可判断B；先求出导函数，然后建立方程求解判断C；根据导数的定义计算判断D. 【详解】对于A，由得，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，错误； 对于B，构建，因为， 则， 可知函数在内单调递增，则，即， 所以命题“，”是真命题，故B正确； 对于C，由，得，故， 所以，C错误； 对于D，由导数定义知， 所以，D错误. 故选：B 7. 在中，M是上靠近点B的四等分点，若的面积为，则的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则得，根据三角形面积公式化简得，结合基本不等式，根据数量积的运算律求解最值即可. 【详解】 如图，∵ ，∴ ，设在中，所对的边为， 因为，的面积为，所以，即， 所以 ， （当且仅当时取“=”）. 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左、右两支分别相交于两点，若原点O到直线l的距离为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，过点作，结合题意及勾股定理得，，在中，由得，利用双曲线的第一定义列式求解离心率即可. 【详解】如图，过点作垂足为，过点作垂足为，则， 又，所以，又因为，，是的中点， 所以，且，， 在中，由，，得， 因为，所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 与的图象存在相同的对称轴 B. 与的值域相同 C. 与存在相同的零点 D. 与的最小正周期相同 【答案】AB 【解析】 【分析】特殊值法判断A；根据正弦函数和余弦函数的最小正周期和值域判断BD；根据正弦函数和余弦函数的对称中心，分别求出两函数的零点，根据零点重合建立方程判断D. 【详解】对于A，特殊值法：是和的对称轴，故A正确； 对于B，D，、值域均为，最小正周期分别为，故B对D错； 对于C，的零点为， 令，，得， 则的零点为， 若与存在相同的零点，则， 则，即，又且，则不成立，即C错误. 故选：AB. 10. 设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据所给的递推关系可求出,即可判断A选项，再利用可以将递推关系化简可求出的通项公式，再利用做差法可求出的通项公式，可判断B,C，再由的通项公式的取值范围可判断D选项 【详解】对于A，令得，，解得，故A正确； 对于B和C，当时，，所以，化简得，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，又因为是正项数列，所以． 当时，，所以，当时，，也满足条件，所以，故B错误，C正确； 对于D，因为，故D正确， 故选：ACD 11. 设直线与函数图象的三个交点分别为，，且，则（ ） A. 图象的对称中心为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 设，曲线在点，，处的切线斜率分别记为，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，验证是否成立即可判断；对于B，结合函数的单调性及方程的解与图象交点的关系可得且，即可判断；对于C，由题意可得，，，则可借助表示出，即可判断；对于D，对函数求导得， ，，代入化简即可判断. 【详解】∵ ， 故图象的对称中心为，故选项A正确； ∵， ∴当时，；当时，， ∴在，上单调递增，在上单调递减. 又，，∴且. 又由题意可得， 即有, 则，，，故，故选项B错误； 由，则. 又，即， ∴. 又由，则，故. 又，故，故选项C正确； ∵， ∴， ∴，同理，， ∴ ，故选项D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设曲线在点处的切线与直线平行，则a为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，利用导数的几何意义及直线平行的条件建立方程求解即可. 【详解】由得，所以切线斜率为， 又直线的斜率为2，则，解得. 故答案：1 13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】在正方体中构造出正四面体，建立空间直角坐标系.设正方体边长为，求出向量和的坐标，根据向量法即可求解. 【详解】如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体边长为.因为， ∴，，，， ∴，， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，可知，函数在内单调递增，则在上恒成立．参变分离得出，求出函数的最小值，即可求出实数的取值范围. 【详解】对任意的，，可得，可得， 构造函数，则， 所以函数内单调递增，即在上恒成立． 因为，即在上恒成立． 分离参数有， 当时，取最小值，所以，即. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，点D在边上，．沿直线将翻折成，使平面平面，连接． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，先利用等腰三角形的性质得，再利用面面垂直的性质定理得平面，最后代入锥体体积公式求解即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 取的中点为，连接， ∵是等腰直角三角形，∴． 又∵平面平面BCD，平面平面且平面， ∴平面，即是三棱锥的高． 在中，，，解得， ∴， ∴. 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，过点作出z轴，建立如图坐标系． ∴，，，， ∴，． 设平面的法向量为， 解得，令，则， ∴． 又∵平面BCD的法向量． 设二面角为，又由图可知二面角的平面角为锐二面角， ∴， ∴二面角的余弦值为. 16. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）在图中画出函数的大致图象； （3）若方程有2个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值 （2）函数图像见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求出单调区间，然后根据极值的概念求解即可. （2）根据（1）的单调性，函数过的零点和最大值点，结合函数图象的变换趋势作图即可. （3）将问题转化为函数的图象和的图象有2个交点，数形结合得，解不等式组即可求解. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为R，． 令，解得，即函数在上单调递增； 令，解得，即函数在上单调递减， 当时，有极大值，无极小值． 【小问2详解】 函数经过特殊的点，， 当时，； 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而， 根据以上信息及（1）的单调区间，画出的大致图象如图： 【小问3详解】 若方程有2个解， 即函数的图象和的图象有2个交点， 结合图象得， 即或． 所以实数的取值范围为. 17. 已知等差数列的项，公差． （1）在和中间都插3个数，使它们和原数列的数构成个新的等差数列，求数列的通项公式； （2）在和中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，构成的新数列为：，求数列的前50项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质可求得的公差，可求得的通项公式； （2）由题意可得的第50项在和之间，进而利用分组求和法可求得的前项的和. 【小问1详解】 由题意可得，， ∵是等差数列，设公差为， ∴， ∴． 【小问2详解】 因为，，， 即的第50项在和之间． 所以数列的前50项中含有数列的前9项，含有数列的前41项， 所以数列的前50项的和为 . 18. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是在平面直角坐标系中抽象出的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，称为欧几里得距离，用表示，若、，则，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此曼哈顿两点间距离． （1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积； （2）在中，求证：； （3）已知为常数，动点、，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，可得出，去绝对值，化简曲线方程，可得出点的轨迹图形，作出图形，可求出点的轨迹所围成图形的面积； （2）利用“曼哈顿距离”结合绝对值三角不等式可证得结论成立； （3）令，则，可得出，令，化简函数的解析式，结合导数可求得函数的最小值. 【小问1详解】 设，则， 当，时，则；当，时，则； 当，时，则；当，时，则． 如图，点的轨迹是一个边长为的正方形， 所以，点的轨迹所围成的图形面积为． 【小问2详解】 设、、， 则 ， 当且仅当且时，等号成立， 故在中，. 【小问3详解】 由题意得，，， 令，则，则，， 令，则， 当时，，则在上单调递减，此时； 当，，则在上单调递增，则； 当时，，则在上单调递增，此时，， 综上，函数在上最小值为． 19. 已知椭圆的左顶点为A，下顶点为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆在第一象限内一点，线段交y轴于点D，线段交x轴于点E，若的面积是的6倍，求P点的坐标； （3）如图，若椭圆上的三个动点满足，证明：． 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意易求得，进而可得椭圆的方程； （2）由题意可得，进而计算可得，结合条件可求解； （3）设，，利用点差法可求得，，进而计算，可得结论. 【小问1详解】 由题意得，，， 解得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 如图：由， 则， 对，令， 则， 所以由相似三角形可得：， 所以， 又因为，所以，， 解得或，所以对应的分别为或， 所以或； 【小问3详解】 设， 由可得①， 由，两式相减得， 即②， 由①②两式可得， 又由可得③， 由，两式相减得， 即④， 由③④两式可得 ， 所以 ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$