精品解析：天津市百华实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

天津市百华实验中学2024-2025学年度第二学期三月阶段性试题 高二数学 出题：李杰冰 审核：卞宜文 杨志芬 何添欣 刘钰锦 出卷时间：2025年3月11日 考试时长：100分钟 试题总分：120分 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分. 1. 设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为 A. 4 B. -1 C. 1 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知条件推导得到f′（1）=-4，由此能求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处切线的斜率． 【详解】由， 得， ∴曲线在点处的切线斜率为-4， 故选：D. 【点睛】本题考查导数的几何意义及运算，求解问题的关键，在于对所给极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求曲线上的点的切线斜率，属于基础题. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理求出项即可得该项系数. 【详解】二项式的展开式中，含的项为， 所以的系数为. 故选：A 3. 一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系式为，则该物体在3秒末位移的瞬时变化率是（ ） A. 6米/秒 B. 5米/秒 C. 4米/秒 D. 3米/秒 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，求出时的导数值，利用导数的定义即可求解. 【详解】由题意可知：物体的位移(米)与时间(秒)的关系式为，则， 当时，，即3秒末位移的瞬时变化率是米/秒. 故选：C. 4. 若是函数的导函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的导数，然后令，解方程即可解. 【详解】根据题意，， 所以， 令，得， 解得，所以， 则. 故选：A 5. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 A. 140种 B. 84种 C. 70种 D. 35种 【答案】C 【解析】 【分析】通过算没有限制时的总数，减去全是男生或全是女生的情况数即可得解. 【详解】从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有种情况. 若全为男生，共有种情况；若全为女生，共有种情况. 所以若男女至少各有一人，则不同的选法共有 故选C. 【点睛】本题主要考查了组合问题，用到了正难则反的思想，属于基础题. 6. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据给定条件，利用排除法列式计算得解. 【详解】从这人中任选人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员有种方法，其中甲乙两人都入选的方法为种. 所以甲乙两人不都入选的不同选法共有种. 故选：C 7. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ） A. 是函数的极大值点； B. 是函数的最小值点； C. 在区间上单调递增； D. 在处切线的斜率小于零． 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的导函数的图象对A，B，C，D四个选项逐个判断即可． 【详解】解：由函数的导函数的图象可知， A．左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以是函数的极小值点，故错误，不符合题意； B．左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，不是函数的最小值点，故B错误，不符合题意； C．当时，，单调递增，故C正确，符合题意； D．由图象得，所以在处切线的斜率大于零，故D错误，不符合题意； 故选：C． 8. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围. 【详解】由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立. 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递琙， 所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：C. 9. 已知函数，，若有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x0时，，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y的图象，即可得出结论． 【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当时，由题意可得，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0， 令h(x)=,令h′（x）=，则x=， 所以h(x)在（0，）单调递增，在（）上单调递减， ∴y的大致图像如图： 又h()= 若y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，则， 故选B. 【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 的展开式的二项式系数和为32，则其展开式中项系数为______；在二项式的展开式中，含项的二项式系数为_____ 【答案】 ①. ②. 10 【解析】 【分析】根据二项式系数和及通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32， 所以，解得， 所以展开式的通项公式为， 令，可得，即展开式中项系数为； 二项式的展开式中， 令，可得，即展开式中含项的二项式系数为. 故答案为： 11. 若函数在处取得极大值，则的极小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】先求得，根据题意，得到，求得，得到，求得的单调区间，进而求得函数的极小值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极大值，可得， 即，解得， 将，代入可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极小值，极小值为. 故答案为：. 12. 用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将个数字分为三类，被整除的有、、，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，先确定所选的三个数字，然后确定首位不能排，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】数字、、、、、、中被整除的有、、， 被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 若所选的个数均能被整除，即所选的三个数为、、，则三位数的首位不能放， 此时，首位数有两种选择，此时，共有个合乎条件的三位数； 若在、中选一个数，在、中选一个数，则需在、、中选一个数， 若在、、中选择，则三位数的首位不能排，首位有两种选择， 此时，满足条件的三位数个数为； 若在、、中选择或，则首位任排， 此时，满足条件的三位数的个数为. 综上所述，满足条件的三位数的个数为. 故答案为：. 13. 用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多用色，涂色方法有______种. 【答案】 【解析】 【分析】利用间接法，先考虑用种不同的颜色给图中个格子涂色的方法种数，减去个格子的颜色各不相同的涂色方法种数，即可得解. 【详解】利用间接法，用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色， 要求相邻的两个格子颜色不同，共有种不同的涂色方法； 若每个格子颜色各不相同，共有种不同的涂色方法. 综上所述，满足条件的涂色方法种数为. 故答案为：. 14. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】因为（），所以. 函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解. 由. 设，则在上单调递增，所以. 所以. 故答案为： 15. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的有______．（填序号） （1）如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种. （2）最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种. （3）甲、乙不相邻的排法种数为72种. （4）甲在乙左边的排列的排法有30种. 【答案】（2）（3） 【解析】 【分析】由相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，定序问题倍缩法，特殊元素优先考虑，逐个求解判断即可. 【详解】对于（1），甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法， 看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故（1）错误； 对于（2），若最左端排甲，则有种方法， 若最左端排乙，则最右端不能排甲，则有种方法， 所以共有种方法，故（2）正确； 对于（3），甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空， 然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故（3）正确； 对于（4），甲在乙左边是定序问题，所以共有种，故（4）错误. 故答案为：（2）（3） 三、解答题：本题共5小题，共60分. 16. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 （4）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据两个函数乘积的导数运算法则可得结果. （2）根据两个函数和的导数运算法则可得结果. （3）根据两个函数商的导数运算法则可得结果. （4）利用对数函数的求导公式及复合函数求导法则计算. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 【小问4详解】 . 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）有极大值为，无极小值 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式得出切线方程； （2）求出导函数的零点，列表即可得出函数的极值. 【小问1详解】 ， ，又， 在处的切线方程为， 即切线方程为. 【小问2详解】 令，解得， 当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 2 0 单调递增 单调递减 当时，有极大值，并且极大值为，无极小值. 18. （1）已知，，求的值； （2）计算. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由指数式与对数式的互化得出，再利用对数的运算性质可求得的值； （2）利用对数的运算性质、换底公式以及根式的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）因为，则， 故； （2）原式 . 19. 已知函数，， （1）求的单调区间和极值点； （2）求使恒成立的实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. 函数有极小值点：. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号，求函数的单调区间和极值点. （2）把问题转化成在上恒成立，设，利用导数分析函数单调性，求函数最大值即可. 【小问1详解】 因为（），所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数有极小值点：，没有极大值点 【小问2详解】 由恒成立（）恒成立. 即（）恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的最大值为. 所以. 所以实数的取值范围是. 20. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时， ，，求出，，即可写出点处的切线方程. （2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调性. （3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可. 【小问1详解】 当时， ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：， 即：. 【小问2详解】 由得， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设. 则，令得. 当时，，上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以在处取最小值，且， 所以得证， 即得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出，则将原不等式等价转化为证明，再设新函数，利用导数求出其最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市百华实验中学2024-2025学年度第二学期三月阶段性试题 高二数学 出题：李杰冰 审核：卞宜文 杨志芬 何添欣 刘钰锦 出卷时间：2025年3月11日 考试时长：100分钟 试题总分：120分 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分. 1. 设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为 A. 4 B. -1 C. 1 D. -4 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A B. C. D. 3. 一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系式为，则该物体在3秒末位移的瞬时变化率是（ ） A. 6米/秒 B. 5米/秒 C. 4米/秒 D. 3米/秒 4. 若是函数的导函数，，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 A. 140种 B. 84种 C. 70种 D. 35种 6. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（ ）种 A. B. C. D. 7. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ） A. 是函数极大值点； B. 是函数的最小值点； C. 在区间上单调递增； D. 在处切线的斜率小于零． 8. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，，若有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 展开式的二项式系数和为32，则其展开式中项系数为______；在二项式的展开式中，含项的二项式系数为_____ 11. 若函数在处取得极大值，则极小值为______ 12. 用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为_____. 13. 用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多用色，涂色方法有______种. 14. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是______. 15. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的有______．（填序号） （1）如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种. （2）最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同排法共有42种. （3）甲、乙不相邻的排法种数为72种. （4）甲在乙左边的排列的排法有30种. 三、解答题：本题共5小题，共60分. 16. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）求的极值. 18. （1）已知，，求的值； （2）计算. 19. 已知函数，， （1）求的单调区间和极值点； （2）求使恒成立的实数的取值范围. 20. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$