精品解析：甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

天水一中高二级2024—2025学年第二学期第一学段检测 数学试题 命题：王亚平 郭红莹 审核：高路 （满分：150时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求 1. 向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可知在相等时间间隔内容器内水面的高度增加量越来越大，结合容器形状可确定选项. 【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大， 故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求. 故选：C. 2. 设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. 3. 已知的一个极值点为2，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，利用只有一个极值点，可得，求解即可. 【详解】，令0，得或， 又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意. 故选：B. 4. 已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令，结合选项中角的范围求得x的范围，即可得出单调递增区间. 【详解】因为，所以， 令，则， 根据四个选项，可知 则，所以，所以， 所以的单调递增区间为， 因为，所以为函数的一个单调递增区间. 故选：B. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求解单调性即可得解. 【详解】设，则， 当时，，故在单调递减， 因此，故， 故选：B. 6. 若函数是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出对任意的恒成立，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，则， 因为是增函数，所以，即对任意的恒成立， 所以， 又时，，当且仅当时，即当时取等号， 所以，故实数的取值范围是. 故选：A. 7. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故. 故选：B 8. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，令，分析可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】设切点为，因为，则， 切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理可得， 令，则， 由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，则， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方盒的容积最大 B. 方盒的容积没有最小值 C. 方盒容积的最大值为 D. 方盒容积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将方盒容积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得单调性、最值点和最值，由此可得结果. 【详解】由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中， 则方盒的容积为， ， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，无最小值，ABC正确，D错误. 故选：ABC. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由可得， 则， 即，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以A正确； 又由极小值，且当时，， 当时，，所以函数有3个零点，所以B错误； 由，可得，令，可得， 又由，所以点是函数的对称中心， 所以C正确； 因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以， 所以，即， 所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，分别求得，得到函数呈现周期变化，且周期为，结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得，，，，， ， 一次类推，函数呈现周期变化，且周期为， 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，，若，，三点共线，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，共线，结合向量共线关系列方程求，，由此可得结论. 【详解】因为，，三点共线， 所以，共线，即，又， 故存在实数t使得，又，， 所以，，， 所以，， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】将条件转化为在上单调递增，再转化为在上恒成立，利用导数求函数的最小值，可得结论. 【分析】不妨设，则不等式可化为， 所以， 设，由已知可得在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 设，则， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在，满足， 即，所以， 设，则， 所以在上单调递增，又， 所以， 所以当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为在上单调递增，进一步转化为在上恒成立. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的单调增区间； （2）方程有三个零点，求实数m的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令导数大于0即可得到增区间； （2）问题转化为直线与的图象有三个交点，因此画出的图象，数形结合即可得到答案. 【小问1详解】 的定义域为R， ， 当时，当时，； 故单调增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 的大致图象如图所示， 方程有三个零点等价于直线与的图象有三个交点， 由图可知时满足题意. 16. 已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． （1）用向量表示向量，并求的长度； （2）设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【小问1详解】 因为， ， 所以； 所以 ， 所以. 【小问2详解】 假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 17. 已知函数． （1）若，求在区间上的最值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间，求出最值； （2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围. 【小问1详解】 函数的定义域为. 当时，导函数， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 导函数， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 令， 则，显然单调递减，且，， 必然存在唯一，使得. 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于时，，符合题意. 当时，单调递减，且，因此. 综上，成立的范围为 18. 已知函数，其中a，. （1）若，，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）已知，若对任意的恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入得，利用导数的几何意义即可求得切线方程. （2）求导之后分和讨论得到单调性即可； （3）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导分析单调性得到最值即可. 【小问1详解】 当，时，函数， 则，得到曲线在处的切线方程的斜率为，且， 故切线方程为，整理得： 【小问2详解】 由，当时，恒成立，在R上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增； 【小问3详解】 由（2）可得，当时，在R上单调递增；当时，，不满足对任意的，恒成立， 当时，在上单调递减；在上单调递增；故时，函数取得最小值， 若对任意的恒成立，则只需满足， 即，即，即， 代入，设， 则，令，得， 当时，，在单调递减；当时，， 在单调递增， 所以，所以的最小值为. 19. 定义：是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”.已知函数有两个极值点. （1）求a的取值范围； （2）若为“M函数”，求m的取值范围. （3）证明：为“M函数”. 【答案】（1） （2） （3） 由（1）可知有两个零点，不妨设； 因此在上单调递减； 下面先证，只需证明，即； 因为，可得； 所以， 令，则， 因此在上单调递减，所以， 即，所以，即； 再证明； 因为在上单调递减，所以， 要证，只需证， 即证， 设，则； 设，则； 所以在上单调递增，，即； 因此在上单调递增，； 即当时，，可得； 所以，即. 综上可得，为“M函数”. 【解析】 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论，再根据极值点个数判断即可得出结果； （2）对求导并根据“M函数”的定义，得出关于m的表达式，解不等式即可求得m的取值范围； （3）利用分析法分别证明和，通过构造函数并利用导数得出单调性，证明不等式恒成立即可. 【小问1详解】 由题意可得， 设，则， 令，解得， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 可得, 当时，，此时函数在上单调递增，没有极值点，不合题意； 当时，， 此时，当时，； 显然有两个零点，不妨设， 因此当函数有两个极值点时，； 即a的取值范围为； 【小问2详解】 由可知， 令，可得或， 因为为“M函数”，所以，解得； 且， 整理可得，即，解得； 所以m的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“M函数”定义，通过构造函数并利用导数分别证明和成立，即可证明为“M函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中高二级2024—2025学年第二学期第一学段检测 数学试题 命题：王亚平 郭红莹 审核：高路 （满分：150时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求 1. 向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 2. 设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知的一个极值点为2，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（    ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方盒的容积最大 B. 方盒的容积没有最小值 C. 方盒容积的最大值为 D. 方盒容积的最大值为 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，，，，，则________. 13. 已知向量，，若，，三点共线，则________ 14. 已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的单调增区间； （2）方程有三个零点，求实数m的范围. 16. 已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． （1）用向量表示向量，并求的长度； （2）设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 17. 已知函数． （1）若，求在区间上的最值； （2）若，求的取值范围． 18. 已知函数，其中a，. （1）若，，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）已知，若对任意的恒成立，求的最小值. 19. 定义：是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”.已知函数有两个极值点. （1）求a的取值范围； （2）若为“M函数”，求m的取值范围. （3）证明：为“M函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $