精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

高三数学 （本试卷共150分　考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知z为纯虚数，且，则（ ） A. B. 1或-7 C. 或 D. i或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再利用复数模的意义列式求解. 【详解】设，由，得，整理得， 解得或， 所以或. 故选：D 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面数量积中向量垂直的坐标表示，列出等式计算即可. 【详解】由得， 即，解得. 故选：A 3. 直线与圆相交的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离小于半径，求得的范围即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 由直线与圆相交，得，即，得， 结合选项可知： 直线与圆相交的充分不必要条件可以是. 故选：C. 4. 毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻（仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（ ） A 24 B. 36 C. 42 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况，正前后相邻或左右相邻，再利用排列和计数原理知识解决. 【详解】当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧， 另1人站在正后面，站法种数为2=24； 当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素， 从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列， 所以站法种数为，所以不同站法种数为. 故选：D. 5. 函数 的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，函数为奇函数，排除B、D项，再由，排除C项，即可得到答案. 【详解】由函数，定义域为， 有， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项； 又由，可排除C项， 所以函数的图象为选项A. 故选：A. 6. 某校为了促进学生文化学习和体育活动协调发展，对高一年级学生每周在校体育活动时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 频率 0.15 0.30 0.35 0.20 则高一年级学生每周体育活动时长的第70百分位数约为（ ） A. 4.3 B. 4.5 C. 4.7 D. 4.9 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义结合题意可得答案. 【详解】注意到对于分组，，频率之和为， 分组，，，频率之和为. 则高一年级学生每周体育活动时长的第70百分位数在之间. 设高一年级学生每周体育活动时长的第70百分位数为x，则. 故选：C 7. 已知双曲线C：，过点（2c为C的焦距）作直线l与C的一条渐近线平行，直线l与C交于A点，若点A到y轴的距离为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线方程，求点坐标，建立方程关系即可. 【详解】不妨设直线l与y=x平行，其方程为，代入双曲线C的方程得， 所以，化简得，解得=（舍）， 故选：C. 8. 如图，这是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点（1，2，…，6）重合于点P，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由题意得，设，则，，由已知求出，利用条件得六棱锥的体积，构造函数，利用导数法求解最值即可. 【详解】连接，，与交于点M. 设，则，， 设正六棱锥的高为h， 则h===()， 所以正六棱锥的体积==. 令，求导得，由，得， 当时，，当时，， 则当时，取得极大值，也是最大值， 此时V的最大值为==. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系、二倍角公式和辅助角公式逐项判断即可. 【详解】，选项A说法正确； ，选项说法B错误； 因为，， 所以，选项C说法错误； 因为，， 所以，所以，选项说法D正确， 故选：AD 10. 如图，在直三棱柱中，，则（ ） A. 平面平面 B. 的长为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 直三棱柱的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由平面平面，推出矛盾即可判断，对于B，由直角三角形，勾股定理即可判断，对于C，由异面直线夹角的定义即可判断，对于D，结合直棱柱结构特点，求得外接球半径即可. 【详解】 对于选项A，若平面平面，过点作交于点， 由面面垂直的性质定理已知：，又因为直三棱柱， 平面，在平面内，得到， 为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面，所以，这显然不成立，故选项A错误； 在中，由余弦定理得. 在直三棱柱中，平面，在平面内，从而，所以，选项B正确； 因为，所以(或其补角)即为直线与直线所成角， 如图，连接，易知，则为等腰三角形，因为，所以，选项C正确； 设的外接圆的半径为，三棱柱的外接球的半径为， 易知则， 所以直三棱柱的外接球的表面积为，选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义在R上的函数满足是偶函数，且.当时，（且），则（ ） A. B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利先由是偶函数，得到关于对称；再由得到关于对称，结合两个条件得出周期为4，确定出a的取值，进而分析各选项. 【详解】因为是偶函数，所以， 以替换，得， 以替换，得，关于对称； 由得， 以替换，得，关于对称； 由得，所以， 以替换，得， 以替换，得，所以是周期函数，且周期为4. 因为关于对称，所以， 即，解得，所以， 由周期性及①②得，选项A错误； 当时，是减函数， 由①知的图象关于直线对称，所以在上是增函数， 由周期性知在区间上是增函数，选项B错误； 由②知的图象关于点对称，则在上是减函数， 由周期性知在区间上是减函数，选项C正确； 因为，，，， 所以，选项D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合A={x|x+1>0}，B={x|2x<3}，则A∩B=______. 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出集合，再利用交集的定义即可得出答案. 【详解】由，解得，所以集合， 由即，由指数函数在上单调递增， 可解得，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的内切圆半径为______；若的内切圆与三边相切的切点分别为D，E，F，则的面积为______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出边并确定三角形形状，再借助三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得，解得， 则，是直角三角形，且， 设内切圆半径为，由，得； 由的内切圆切边分别于，连接， 则，， 所以的面积为. 故答案为：1； 14. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，直线l与x轴的交点为，过点F1作于点N，，且的中点P在椭圆C上，则椭圆C的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由是线段的中点，P是线段的中点，可得，进而得到，结合椭圆定义求得，，即可得解. 【详解】 依题意是线段的中点，又P是线段的中点，所以， 因为，所以. 由P是线段的中点，所以. 因为点P在椭圆C上，结合椭圆定义，可得，解得(舍去)， 所以，所以椭圆C的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. （1）试估计m的值； （2）对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1）50； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）应用样本估计总体的思想求小池塘中鱼的条数； （2）根据已知确定随机变量的可能值，应用超几何分布求对应概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 已知小池塘中鱼的条数为m， 由样本估计总体得=，解得， 所以估计小池塘中有50条鱼. 【小问2详解】 依题意，X的可能取值为0，1，2，3， 所以，，，， X的分布列为 0 1 2 3 . 16. 在直三棱柱中，点D在上，，E是上的一点，，，. （1）若E是的中点，求证：平面. （2）在下面给出三个条件中任选一个，证明另两个正确： ①三棱锥的体积是； ②截面将三棱柱分成的两部分的体积的比为； ③平面与平面所成角的余弦值为. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在上取点F，使，结合已知条件，可证得，，进而结合面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证； （2）若选①证明②③正确：已知三棱锥的体积，可求得，进而可求三棱锥与三棱柱的体积，从而求得截面将三棱柱分成的两部分的体积的比，即可证得②；建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，利用向量法求得面面角的余弦值，即可证得③。若选②证明①③正确：由已知求得三棱柱的体积为与三棱锥的体积为，结合条件②可得，根据三棱锥的体积公式计算，即可证得①；③的证明同上。若选③证明①②正确：建立空间直角坐标系，设，结合条件③利用向量法求面面角的余弦值列等式求得的值，进而求得三棱锥，即可证得①；继而求得三棱锥的体积与三棱柱的体积，从而求得截面将三棱柱分成的两部分的体积的比，即可证得②. 【小问1详解】 在中，因，， 所以,. 因为，所以是等腰直角三角形，则可得. 在上取点F，使，因为， 所以是等腰直角三角形，则，所以. 连接，易知四边形为矩形，所以. 因为平面， 所以平面，平面， 又因为,平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 选①证明②③正确. 三棱锥的体积 得，所以， 则三棱锥的体积， 而三棱柱的体积， 则，所以②正确. 由余弦定理可得， 因为， 所以，所以， 又因为平面， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 设的中点为M，则. 所以，. 设平面的法向量为， 则，即，取，可得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面所成角为θ，则 ，所以③正确. 选②证明①③正确. 三棱柱的体积, 三棱锥的体积, 由，得，所以，得， 所以， 所以三棱锥的体积 所以①正确. ③的正确性，前面已证，此处略. 选③证明①②正确. 由前面解法中，建立空间直角坐标系， 则设， 的中点为M，则， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即，取，可得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面所成角为θ，则 ， 即，解得 (舍去)或. 所以三棱锥的体积， 所以①正确. 又三棱锥的体积， 而三棱柱的体积, 则，所以②正确. 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据和关系得递推关系式，然后根据等差数列的定义判断，求出首项和公差，即可求解通项公式； （2）先求出，然后利用裂项相消法求数列的前n项和即可. 【小问1详解】 由得①， 所以②. 由②-①得，即③， 所以④. 由④-③整理得， 所以数列是等差数列. 在①中令，得，所以，则可得公差， 所以. 【小问2详解】 由(1)可得= =+=+， 所以=(++…+)+(++…+) =++…+++ =. 18. 已知抛物线的焦点为F，过点F作圆的切线，一条切线长为. （1）求抛物线C的方程； （2）若P是圆M上的动点，是抛物线C的两条切线，A，B是切点，若直线AB的斜率为，求直线AB在x轴上的截距. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦半径公式计算结合直线与圆的位置关系列式即可求出，进而得出抛物线方程； （2）先求出抛物线的导函数，再得出PA,PB的直线方程进而得出线AB的方程结合斜率计算求解即可. 【小问1详解】 抛物线C的焦点为，过点F作圆M的切线，设切点为D， .又圆M的半径为1， 所以(2+)2=12+(2)2，解得 (舍去)， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由得或，求导得或. 设点， 则直线PA的方程为，即， 即，得. 同理，可得直线PB的方程为 因为P为PA，PB的公共点， 所以且， 所以点A，B的坐标满足， 即直线AB的方程为. 因为直线AB的斜率为，所以，解得. 又因为，解得或. 对于直线AB的方程，令，得直线AB在x轴上的截距为 (或). 所以直线AB在x轴上的截距为或. 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若存在，当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再求导数，解不等式及即可求出单调区间； （2）在的前提下，针对与1的大小关系分三种情况讨论，借助导数得到当时，的最小值为即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 由得，由得， 所以函数 的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由(1)可知，当时，， 所以，当时，，与相矛盾， 所以不存在，故不符合题意； 当时，由，得， 而当时，一定有 ，即， 与相矛盾，所以不存在，故不符合题意； 当时， 设， 即， ， 令，得，， 当时，，所以在上单调递增， 此时，， 所以存在，当时，， 故满足题意. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 （本试卷共150分　考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知z为纯虚数，且，则（ ） A. B. 1或-7 C. 或 D. i或 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线与圆相交的充分不必要条件可以是（ ） A B. C. D. 4. 毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻（仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 42 D. 48 5. 函数 的部分图象大致是（ ） A B. C. D. 6. 某校为了促进学生文化学习和体育活动协调发展，对高一年级学生每周在校体育活动时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 频率 0.15 0.30 0.35 0.20 则高一年级学生每周体育活动时长的第70百分位数约为（ ） A. 4.3 B. 4.5 C. 4.7 D. 4.9 7. 已知双曲线C：，过点（2c为C的焦距）作直线l与C的一条渐近线平行，直线l与C交于A点，若点A到y轴的距离为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点（1，2，…，6）重合于点P，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直三棱柱中，，则（ ） A 平面平面 B. 的长为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 直三棱柱的外接球的表面积为 11. 已知定义在R上函数满足是偶函数，且.当时，（且），则（ ） A. B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合A={x|x+1>0}，B={x|2x<3}，则A∩B=______. 13. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的内切圆半径为______；若的内切圆与三边相切的切点分别为D，E，F，则的面积为______. 14. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，直线l与x轴的交点为，过点F1作于点N，，且的中点P在椭圆C上，则椭圆C的方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. （1）试估计m的值； （2）对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 16. 在直三棱柱中，点D在上，，E是上的一点，，，. （1）若E是的中点，求证：平面. （2）在下面给出的三个条件中任选一个，证明另两个正确： ①三棱锥的体积是； ②截面将三棱柱分成的两部分的体积的比为； ③平面与平面所成角的余弦值为. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）求数列通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求证：. 18. 已知抛物线的焦点为F，过点F作圆的切线，一条切线长为. （1）求抛物线C的方程； （2）若P是圆M上的动点，是抛物线C的两条切线，A，B是切点，若直线AB的斜率为，求直线AB在x轴上的截距. 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若存在，当时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $