精品解析：上海市存志中学2024—2025学年下学期3月月考九年级数学试卷

存志学校2024学年第二学期第一次阶段测试 初三数学试卷 （时间100分钟，满分150分） 2025．3．14 一、选择题（每小题4分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.3030030003 2. 下列计算中，结论正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 某中学篮球队14名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 2 3 4 3 2 A. 15，16 B. 16，16.5 C. 16，16 D. 17，16.5 5. 如果一组数据，，…，的方差，那么下列结论一定正确的是（ ） A. 这组数据平均数 B. C D. ． 6. 在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ） A. 点、均在圆内 B. 点在圆外，点在圆内 C. 点、均在圆外 D. 点在圆内，点在圆外 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. 方程的解是___________________． 8. 如果关于的方程无解，那么实数________． 9. 已知，，且与反向，则用向量表示向量，即________． 10. 如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则__________． 11. 从“等边三角形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“圆”和“等腰梯形”这六个图形中任选一个图形，选出的图形恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为________． 12. 如图，一根电线杆的接线柱部分在阳光下的投影的长为米，太阳光线与地面的夹角，则的长为________米． 13. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________. 14. 某校对学生开展的四项课外活动进行了一次抽样调查（每人只参加其中的一项活动），调查结果如图所示．根据图示所提供的样本数据，可得学生参加科技活动的频率是________． 15. 如图，、分别是平行四边形边、的中点，、交于点、，若的面积为1，则五边形的面积是________． 16. 如图，已知四边形是边长为2的菱形，点、、、都在以为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于________（结果保留） 17. 如图，在等腰中，底边中点是，底角的正切值是，将该等腰三角形绕其腰上的中点顺时针旋转，使旋转后的点与重合，得到，若旋转后的底边与交于点，则________． 18. 如图1，点是以为半径的圆外一点，点在线段上，若满足，则称点是点关于圆的“反演点”．如图2，在中，，，，圆的半径为2，如果点、分别是点、关于圆的“反演点”，那么的长是________． 三、解答题（每小题10分，共40分） 19. 计算： 20. 如图，公园里有一圆弧形拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． （1）求水面宽度的大小； （2）当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 21. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径的圆，交于点． (1)求证：≌； (2)如果，，，求的长． 22. 某中学组织600名学生参加了“青春飞扬”知识竞赛．组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图2，部分数据缺失）．试根据所提供的信息，解答下列问题： 表1：抽样分析分类统计表 成绩范围 成绩等级 不合格 合格 优良 人数 40 平均成绩 57 （1）本次随机抽样调查的样本容量是________； （2）试估计全校所有参赛学生中成绩等级为优良的学生人数为________； （3）若本次随机抽样的样本平均数为，又表1中比大15，则________，________； （4）如果把满足的的取值范围记为，表1中的取值范围是（ ） A． B． C． D． 四、解答题（第23、24题各12分，第25题14分，共38分） 23. 如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN． （1）求证：AB＝AC； （2）联结OM、ON、MN，求证：． 24. 如图，已知的圆心在轴上，且经过、两点，抛物线也经过、两点，与轴的交点为，顶点为． （1）求点和的坐标（用含的代数式表示）； （2）连接、，当时，求的正切值； （3）当为何值时，直线与相切？ 25. 如图1，中，，，点在的延长线上，联结，以为一边作，使点与点位于直线的两侧，且，． （1）如果，请判断四边形的形状并证明； （2）如图2，设点是中点，点是中点，联结、、，求证：； （3）设，在（2）的条件下，以为直径的与以为直径的存在着哪些位置关系？并求出相应的的取值范围（直接写出结论）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 存志学校2024学年第二学期第一次阶段测试 初三数学试卷 （时间100分钟，满分150分） 2025．3．14 一、选择题（每小题4分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.3030030003 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，特殊角的三角函数值，分数指数幂，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，是无理数，符合题意； B、是分数，不是无理数，不符合题意； C、，是分数，不是无理数，不符合题意； D、3.3030030003是小数，不是无理数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算中，结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程，二次根式有意义的条件，偶次方的非负性，掌握相关知识点是解题关键．根据根的判断式逐项可判断A选项；解分式方程可判断B选项；根据乘方的性质可判断C选项；根据二次根式的性质和平方的非负性可判断D选项． 【详解】解：A、，方程没有实数根，不符合题意； B、化为整式方程为：， 解得：，经检验，是增根，则原方程无解，不符合题意； C、由得，方程有实数根，符合题意； D、由可得，则，方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 4. 某中学篮球队14名队员年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 2 3 4 3 2 A. 15，16 B. 16，16.5 C. 16，16 D. 17，16.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数定义．根据题意观察哪个数据人数最多即为众数，再将数据从小到大排序，找出中间的数即为中位数． 【详解】解：∵年龄在16岁人数最多， ∴众数为16， ∵共有人， ∴中位数即中间两个数据的平均数，即16为中位数， 故选：C． 5. 如果一组数据，，…，的方差，那么下列结论一定正确的是（ ） A. 这组数据的平均数 B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，一组数据a1，a2，…，an的方差s2=0，即没有波动，此时这组数据一定相等，进而排除其他答案． 【详解】由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，它的方差为0．则s2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=0，此时每个数都和平均数相等，故a1=a2=…=an， 故选B． 6. 在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ） A. 点、均在圆内 B. 点在圆外，点在圆内 C. 点、均在圆外 D. 点在圆内，点在圆外 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理等．根据题意先计算出斜边，继而得出，再根据等积法求出，再利用勾股定理求出，再逐一对选项进行分析继而得到本题答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵、分别是斜边上的高和中线， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵是以点为圆心，半径长为2的圆， ∴，， ∴点在圆内、点在圆外， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. 方程的解是___________________． 【答案】x=2 【解析】 【详解】试题解析： 或 解得：或 当时，不成立，故舍去. 故答案为 8. 如果关于的方程无解，那么实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，对于方程，当且时，方程无解．据此求解即可． 【详解】解：∵方程无解， ∴，， ∴， 故答案为：1． 9. 已知，，且与反向，则用向量表示向量，即________． 【答案】## 【解析】 【分析】先表示出两个向量模的关系，再根据与反向即可得到答案． 【详解】解：，， ， 与反向， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平面向量，难点在于反向向量的表示方法． 10. 如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则__________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】过点作，从而可证明，然后由平行线的性质可知，，从而可求得的度数． 【详解】解：过点作． ，， ． ， ， 同理：． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是方向角的定义和平行线的性质的应用，掌握此类问题辅助线的作法是解题的关键． 11. 从“等边三角形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“圆”和“等腰梯形”这六个图形中任选一个图形，选出的图形恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，三角形、四边形以及圆的定义，概率公式，掌握相关知识点是解题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：“等边三角形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“圆”和“等腰梯形”这六个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有“矩形”、“菱形”、“圆”三个， 则任选一个图形，选出的图形恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 12. 如图，一根电线杆的接线柱部分在阳光下的投影的长为米，太阳光线与地面的夹角，则的长为________米． 【答案】 【解析】 【分析】过D作DE⊥AC于C，过B作BF⊥AC于F．由题意可求得DE=BF=，再由∠A=30°解直角三角形可求出AB的长度． 【详解】解：作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F． ∵CD=1，∠ACD=60°， ∴DE=BF=． 在Rt△AFB中∠A=30°，BF=， ∴AB=2BF=（米）． 故答案为. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值要熟练掌握． 13. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________. 【答案】(-1,1) 【解析】 【详解】试题解析：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M， 即圆心的坐标是（-1，1）， 14. 某校对学生开展的四项课外活动进行了一次抽样调查（每人只参加其中的一项活动），调查结果如图所示．根据图示所提供的样本数据，可得学生参加科技活动的频率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率，掌握每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率是解题关键．根据频率的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，、分别是平行四边形边、的中点，、交于点、，若的面积为1，则五边形的面积是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线求面积，掌握相似三角形的性质是解题关键．连接交于点，由平行四边形的性质证明，，进而推出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 、分别是平行四边形边、的中点， ，，，，， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 五边形的面积是， 故答案为：2 16. 如图，已知四边形是边长为2的菱形，点、、、都在以为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于________（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式，掌握相关知识点是解题关键．根据菱形的性质和圆的定义证明是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是边长为2的菱形， ，， 点、、、都在以为圆心的同一圆弧上， ， , 是等边三角形， ， ， ， ， 的长度等于， 故答案为：． 17. 如图，在等腰中，底边的中点是，底角的正切值是，将该等腰三角形绕其腰上的中点顺时针旋转，使旋转后的点与重合，得到，若旋转后的底边与交于点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，旋转性质，角度余弦值及正切值等．根据题意连接，再得到，再利用旋转性质可得，再利用正切值可设，，再取中点，连接，过点作于，继而得到本题答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵等腰， ∴， ∵腰上的中点， ∴根据旋转性质知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∴， 取中点，连接，过点作于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图1，点是以为半径的圆外一点，点在线段上，若满足，则称点是点关于圆的“反演点”．如图2，在中，，，，圆的半径为2，如果点、分别是点、关于圆的“反演点”，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先根据“反演点”的定义得出，然后证明，得出，根据勾股定理求出，根据“反演点”的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵点、分别是点A、B关于的反演点， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵的半径r为2， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 三、解答题（每小题10分，共40分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分数指数幂，分母有理化，掌握相关运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值和分数指数幂，再进行分母有理化，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 如图，公园里有一圆弧形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． （1）求水面宽度的大小； （2）当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 【答案】（1）16米 （2）2米 【解析】 【分析】本题考查了余切，垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接，在中，根据勾股定理求出，然后根据垂径定理求出即可； （2）设与相交于点，连接，在中，根据余切定义可求出，设水面上升的高度为米，即，则，在中，根据勾股定理得出，即可求解． 【小问1详解】 解：设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理可得：， ∵，是半径， ∴， 即水面宽度的长为16米． 【小问2详解】 解：设与相交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设水面上升的高度为米，即，则， ∴， 在中，， ∴， 化简得， 解得（舍去），， 答：水面上升的高度为2米． 21. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径的圆，交于点． (1)求证：≌； (2)如果，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）EC=. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出AD=BC，根据圆的半径相等可得出AB=AE，结合等腰三角形的性质和平行线的性质可得出∠B=∠EAD，从而利用SAS可证得结论；（2）在RT△ABC中，可求出BC，过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，则BH=HE，则结合cos∠B的值，可求出BH、EH的长度，继而根据EC=BC-BE即可得出答案． 试题解析：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD， ∵AB=AE(AB与AE为圆的半径)， ∴∠AEB=∠B， ∴∠B=∠EAD， 在△ABC和△EAD中,， 故可得△ABC≌△EAD. (2)∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， 在Rt△ABC中,cos∠B=， 又∵cos∠B=，AB=6， ∴BC=10， 过圆心A作AH⊥BC，垂足为H， 则BH=HE， 在Rt△ABH中,cos∠B=， 则可得， 解得：BH=， ∴BE=， 故可得EC=BC−BE=. 22. 某中学组织600名学生参加了“青春飞扬”知识竞赛．组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图2，部分数据缺失）．试根据所提供的信息，解答下列问题： 表1：抽样分析分类统计表 成绩范围 成绩等级 不合格 合格 优良 人数 40 平均成绩 57 （1）本次随机抽样调查的样本容量是________； （2）试估计全校所有参赛学生中成绩等级为优良学生人数为________； （3）若本次随机抽样样本平均数为，又表1中比大15，则________，________； （4）如果把满足的的取值范围记为，表1中的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）80； （2）240人； （3）72，87； （4）D 【解析】 【分析】（1）用成绩范围在分的学生人数除以所占百分比求解即可； （2）用全校所有参赛学生的人数乘以样本中成绩等级为优良的学生人数占比求解即可； （3）先求出样本中成绩等级为不及格和良的学生人数，再根据比大15以及加权平均数的公式列二元一次方程组求解即可； （4）先求出样本中成绩成绩范围在分和分的学生人数，进而求出的最大值和最小值求解即可． 【小问1详解】 解：， 即本次随机抽样调查的样本容量是80， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：人， 答：估计全校所有参赛学生中成绩等级为优良的学生人数为240人， 故答案为：240人； 【小问3详解】 解：样本中成绩等级为不及格的学生人数为人， 样本中成绩等级为优良的学生人数为人， 则，解得：， 故答案为：72，87； 【小问4详解】 解：样本中成绩成绩范围在分的学生人数为人， 样本中成绩成绩范围在分的学生人数为人， 得分都是整数， ，， 的取值范围是，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了频率分布直方图，样本容量，利用样本估计总体，加权平均数，二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找出所需数据是解题关键． 四、解答题（第23、24题各12分，第25题14分，共38分） 23. 如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN． （1）求证：AB＝AC； （2）联结OM、ON、MN，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案； （2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明，然后再证明，根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示： ∵AO平分∠BAC． ∴OD＝OE． ， ． ， ， ∴AB＝AC； （2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示， ∵AM＝CN，AB＝AC ∴BM＝AN． ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠BAO． ∵∠BAO＝∠OAN， ∴∠B＝∠OAN， ∴△BOM≌△AON（SAS）， ∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON， ∴∠AOB＝∠MON， ∴△NOM∽△BOA， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 24. 如图，已知的圆心在轴上，且经过、两点，抛物线也经过、两点，与轴的交点为，顶点为． （1）求点和的坐标（用含的代数式表示）； （2）连接、，当时，求的正切值； （3）当为何值时，直线与相切？ 【答案】（1），； （2）； （3）当时，直线与相切． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，进而得到，将、两点代入解析式，求得，再求出点和的坐标； （2）连接，结合（1）可知，当时，则，，再利用勾股定理及其逆定理，得到，即可求出的正切值； （3）先得出，由（1）可知，，，则，，设点到直线的距离为，利用等面积法，表示出，再根据圆的切线的性质，得到，进而得到关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过、两点， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 将、两点代入解析式得： ，解得：， ， 当时，；当时，； 则，； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，，； 当时，则，， ， ，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：、， ， 的圆心在轴上，且经过、两点， ， ， 由（1）可知，，， ，， 设点到直线的距离为， 则， ， ， 直线与相切， ，即， 解得：或（舍）， 即当时，直线与相切． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形的应用，圆的切线的性质，等面积法，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 25. 如图1，中，，，点在的延长线上，联结，以为一边作，使点与点位于直线的两侧，且，． （1）如果，请判断四边形的形状并证明； （2）如图2，设点是中点，点是中点，联结、、，求证：； （3）设，在（2）的条件下，以为直径的与以为直径的存在着哪些位置关系？并求出相应的的取值范围（直接写出结论）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析 （2）见解析 （3）当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆外离． 【解析】 【分析】（1）已知，则有，要证四边形是平行四边形，只需证，只需证到，只需得到，只需证到即可． （2）易证，根据相似三角形对应中线的比等于相似比可得，就可得到． （3）利用相似三角形的性质可以用x的代数式表示出及的长，只需求出两圆外切时的x的值，就可解决问题． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形． 证明：如图1， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 小问2详解】 证明：如图2， ∵是中点， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，M是中点，N是中点， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵△AMN∽△ABD， ∴． ∴． ∴ ， ∴， 当与外切时，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴， ∵点D在的延长线上， ∴． ∴． ∴当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆外离． 【点睛】本题重点考查了相似三角形的判定与性质，另外还考查了平行四边形的判定、两圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，综合性比较强，而考虑两圆外切这个临界位置是解决第（3）小题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$