精品解析：黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

哈十七中2024-2025学年度下学期八年级3月作业验收 数学学科试卷 时间：2025年3月28日 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. 9，12，15 C. ，， D. 、、 3. 在中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形 D. 对顶角相等 5. 如图,数轴上点A所表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 已知三角形的三边长、、满足，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 直角三角形 8. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A. 对角互补 B. 邻角互补 C. 对角相等 D. 内角和是360° 9. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 12. 计算：=________． 13. 将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有_____种． 14. 如图：▱ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为__cm． 15. 直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为_____． 16. 如图，，，，，正方形的面积是169，则的长为_____． 17. 墙与地面垂直，长为2米的梯子搭在墙上与地面成角，作业时调整为角．则梯子的顶端沿墙面升高了_____米． 18. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=60°，BE=2cm，FD=3cm，则平行四边形ABCD的面积为________________ 19. 等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为4，则这个等腰三角形底边的长度为__________． 20. 如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是_____． 三、解答题（其中21-22题每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以线段为一边的周长为，面积为15的，且点和点均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以线段为一腰，底边长为的等腰，点在小正方形的顶点上； （3）连接，请直接写出线段的长． 23. 如图7，已知，在ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点. 求证：四边形MFNE是平行四边形 . 24. 已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD； （2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍． 25. 美丽的雪花扮靓了我们可爱的家乡，但高速公路清雪刻不容缓．某高速公路维护站引进甲、乙两种型号的清雪车，已知甲型清雪车比乙型清雪车每天多清理路段6千米，甲型清雪车清理90千米与乙型清雪车清理60千米路段所用的时间相同． （1）甲型、乙型清雪车每天各清理路段多少千米； （2）此公路维护站欲购置甲、乙两种型号清雪车共20台，甲型每台30万元，乙型每台15万元，若在购款不超过360万元，甲型、乙型都购买的情况下，甲型清雪车最多可购买几台． 26. 将两块大小不同的等腰和等腰，按图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转连接、，延长交于点，连接．进行如下探究： 【初步探究】 （1）如图2，当时，则_____； （2）如图3，当点、重合时，请直接写出、、之间的数量关系：__________； 【深入探究】 （3）如图4，当点E、F不重合时，（2）中的结论_____；（填“成立”或“不成立”） 【拓展延伸】 （4）如图4，若，，则_____． 27. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，过点作轴于点，连接，，的长为10． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点为轴正半轴上一点，连接，点为轴正半轴上一点，连接分别交、于点、，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交轴于点，点是轴上一点（在点左侧），连接，过点作交于点，若，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈十七中2024-2025学年度下学期八年级3月作业验收 数学学科试卷 时间：2025年3月28日 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．根据最简二次根式满足的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、3不是二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. 9，12，15 C. ，， D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、二次根式的乘法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、，则此项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，则此项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，则此项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：A． 3. 在中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等即可求出，再根据平行线的性质可求． 【详解】解：平行四边形， ∴AD∥BC，， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题关键是熟记这些性质，准确应用它们进行推理计算． 4. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形 D. 对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质、勾股定理、对顶角、逆命题，正确写出各命题的逆命题是解题关键．先写出命题的逆命题，再根据三角形全等的判定、平行线的性质、勾股定理、对顶角判断即可得． 【详解】解：A、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；不成立，则此项不符合题意； B、逆命题：两直线平行，同旁内角互补；成立，则此项符合题意； C、逆命题，如果直角三角形的三边长分别为，那么三角形的三边满足；不成立（理由是没有指定是斜边长），则此项不符合题意； D、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；不成立，则此项不符合题意； 故选：B． 5. 如图,数轴上点A所表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆的性质可得点A到-1的距离为斜边的长，再写出点A表示的数即可． 【详解】由勾股定理，得斜边的长为， 由圆的性质可知，点A到-1的距离为， 故点A表示的数为， 故选B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜边的长是解题关键． 6. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°， ∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥BC．∴∠C=∠AED=70°． 故选C． 7. 已知三角形的三边长、、满足，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．将已知等式因式分解为，则或，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴此三角形的形状一定是等腰三角形，不一定是等边三角形， 故选：A． 8. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A. 对角互补 B. 邻角互补 C. 对角相等 D. 内角和是360° 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质逐个判断，即可得出结论． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ∴对角相等，不一定互补，故A符合题意，C不符合题意． AB∥CD，AD∥BC， ∴邻角互补，故B不符合题意． 任意四边形的内角和为360°，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 9. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 10. 如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ∴， ，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，， ， ∴平分的周长，故④正确； 如图，过点E作，并延长交于点N， ∵， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 综上，正确的有4个． 故选；C． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分母不为0以及被开方数为非负数建立不等式求解即可. 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且. 12. 计算：=________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式=． 故答案为． 13. 将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有_____种． 【答案】无数 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形，是解题的关键． 平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的对称中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形． 【详解】∵平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分平行四边形的面积， ∴这样的折纸方法共有无数种． 故答案为：无数． 14. 如图：▱ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为__cm． 【答案】8 【解析】 【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）＝28cm，则AB+BC＝14cm，而△ABC的周长＝AB+BC+AC＝22cm，所以AC＝22﹣14＝8cm． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴▱ABCD的周长= 2（AB+AD） ∵▱ABCD的周长是28 cm ∴AB+AD＝14cm ∵△ABC的周长是22cm ∴AC＝22﹣（AB+AC）＝8cm 故答案为：8． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，即对边相等，掌握周长公式是解题的关键． 15. 直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求斜边长，然后根据直角三角形的面积列式计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长为， 设斜边上的高为， 则 解得 故答案为：． 16. 如图，，，，，正方形的面积是169，则的长为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、算术平方根，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据正方形的面积可得，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵正方形的面积是169， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：12． 17. 墙与地面垂直，长为2米的梯子搭在墙上与地面成角，作业时调整为角．则梯子的顶端沿墙面升高了_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先画出图形（见解析），其中墙面与地面垂直，米，，，再根据等腰三角形的判定可得，利用勾股定理可得米，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得米，利用勾股定理可得米，由此即可得． 【详解】解：由题意画图如下：其中墙面与地面垂直，米，，． ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴（米）， 在中，米， ∴米， ∴米， 即梯子的顶端沿墙面升高了米， 故答案为：． 18. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=60°，BE=2cm，FD=3cm，则平行四边形ABCD的面积为________________ 【答案】12cm2 【解析】 【分析】由已知可求得∠C=120°；进而求得∠B=60°，在直角三角形ABE中求得AB的长，同理求得AD的长，求平行四边形ABCD的面积即可． 【详解】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴∠C=120°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D， ∴∠B=∠D=60°， ∴∠BAE=∠FAD=30°， ∵直角三角形ABE中，∠B=60°，BE=2cm ∴AB=4cm ∴CD=4cm ∵直角三角形AFD中，∠D=60°，FD=3cm ∴AD=6cm ∴AF= ∴S▱ABCD=CD•AF=4×3=12cm2． 故答案为：12cm2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理的相关知识，解答关键是应用数形结合思想解答问题． 19. 等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为4，则这个等腰三角形底边的长度为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质：注意分类讨论：当顶角为锐角时和顶角为钝角时，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：当顶角为锐角时，如图 ∵等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为4， ∴ 故 ∴ ∴这个等腰三角形底边的长度为 当顶角为钝角时，如图： 则 故 故答案为：或． 20. 如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是_____． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可． 【详解】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N， ∵DE平分△ABC的周长， AD=DB， ∴BE=CE+AC， ∴ME=EB， 又AD=DB， ∴DE=AM，DE∥AM， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACM=120°， ∵CM=CA， ∴∠ACN=60°，AN=MN， ∴AN=AC•sin∠ACN=， ∴AM=， ∴DE=， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（其中21-22题每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值、零指数幂和二次根式的混合运算．先计算括号内的减法，再计算乘法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以线段为一边的周长为，面积为15的，且点和点均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以线段为一腰，底边长为的等腰，点在小正方形的顶点上； （3）连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图所示，等腰三角形即为所求； （3） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形判定、勾股定理、等腰三角形定义等知识．熟练掌握网格特点和勾股定理是关键． （1）根据平行四边形的概念和网格的特点求解即可； （2）根据等腰三角形的概念和网格的特点求解即可； （3）利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 则． 【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题． 23. 如图7，已知，在ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点. 求证：四边形MFNE是平行四边形 . 【答案】略 【解析】 【详解】证明：由平行四边形可知，AB=CD， AB∥CD 又∵AE=CF. ∴BE=DF 又BE∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形，得到 DE∥BF，ED=BF 又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF 又∵ME∥NF∴四边形MENF为平行四边形 24. 已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD； （2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍． 【答案】 （1）证明：∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF， ∵AC⊥BD、BF⊥CD， ∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD； （2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG． 【解析】 【详解】分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得； （2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案． 详解：（1）略 （2）设DE=a， 则AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2， ∵BH是△ABE的中线， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a， 则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE； 在△ADE和△BGE中， ∵， ∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a， ∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a2， S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2， S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2， 综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG． 点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． 25. 美丽的雪花扮靓了我们可爱的家乡，但高速公路清雪刻不容缓．某高速公路维护站引进甲、乙两种型号的清雪车，已知甲型清雪车比乙型清雪车每天多清理路段6千米，甲型清雪车清理90千米与乙型清雪车清理60千米路段所用的时间相同． （1）甲型、乙型清雪车每天各清理路段多少千米； （2）此公路维护站欲购置甲、乙两种型号清雪车共20台，甲型每台30万元，乙型每台15万元，若在购款不超过360万元，甲型、乙型都购买的情况下，甲型清雪车最多可购买几台． 【答案】（1）甲型清雪车每天清理路段18千米，乙型清雪车每天清理路段12千米；（2）最多可购买甲型清雪车4台． 【解析】 【分析】（1）设乙型清雪车每天各清理路段x千米，根据甲型清雪车清理90千米与乙型清雪车清理60千米路段所用的时间相同，列方程求解； （2）设购买甲型清雪车a台，则购买乙种型号清雪车（20﹣a）台，根据购款不超过360万元，列不等式求解． 【详解】解：（1）设乙型清雪车每天各清理路段x千米， 根据题意得，， 解此方程得：x=12， 经检验：x=12是原方程的解， ∴x+6=18． 答：甲型清雪车每天清理路段18千米，乙型清雪车每天清理路段12千米； （2）设购买甲型清雪车a台，根据题意得： 30a+15（20﹣a）≤360， 解得：a≤4． 答：最多可购买甲型清雪车4台． 26. 将两块大小不同的等腰和等腰，按图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转连接、，延长交于点，连接．进行如下探究： 【初步探究】 （1）如图2，当时，则_____； （2）如图3，当点、重合时，请直接写出、、之间的数量关系：__________； 【深入探究】 （3）如图4，当点E、F不重合时，（2）中的结论_____；（填“成立”或“不成立”） 【拓展延伸】 （4）如图4，若，，则_____． 【答案】（1）；（2）；（3）成立；（4） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先利用勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再在上取一点，使得，连接，证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，利用勾股定理可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得； （4）设交于点，先求出，再根据（3）的结论求出的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵点、重合，是等腰直角三角形，， ∴，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （3）∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴当点、不重合时，（2）中的结论成立， 故答案为：成立． （4）如图，设交于点， 由（3）已证：， 由对顶角相等得：， ∴， 由（3）已证：， ∵，， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 27. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，过点作轴于点，连接，，的长为10． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点为轴正半轴上一点，连接，点为轴正半轴上一点，连接分别交、于点、，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交轴于点，点是轴上一点（在点左侧），连接，过点作交于点，若，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：， ∴， ∴， ∵轴，轴轴， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：， 在和中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的判定可得，再利用勾股定理求出的长，由此即可得； （2）先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （3）延长至点，使，作，交于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，证出，根据全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，则，根据三角形的中位线定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，设，则，据此可求出的长，最后过点作于点，根据等腰三角形的判定与性质、勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得的长，则可得的长，根据三角形全等的性质可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的长为10， ∴， ∴， 又∵点在轴的负半轴上， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使，作，交于点，连接， ， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 由（2）已证：， ∴， ∵点为轴正半轴上一点， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，综合性很强，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $