精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

数学练习题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则n的值为（ ）． A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的基本定理列方程组可得. 【详解】因为，则，，得到，解得：，． 故选：A. 2. 若，则等于（ ）． A. 2 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算得到，再根据共轭复数和模长计算公式得到答案. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 3. 在中，若，则的形状一定是（ ）． A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的夹角判断. 【详解】因为，所以角A为钝角，所以为钝角三角形． 故选：D. 4. 在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得答案． 【详解】∵， 由复数与对应的点关于虚轴对称， ∴． 故选：C. 5. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 6. 如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据模型中相邻的面折成长方体以后仍相邻，即可作出判断． 【详解】解：D折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的折叠，考查空间想象能力是此类题目的目的． 7. 若（，，），且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数运算结合复数相等概念可得，然后结合可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，解得，.因为，所以， 解得或. 故选：A. 8. 的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知条件可得，由，求得，可求得，取的中点，延长至点，使得是中点，连接，则四边形是平行四边形，在三角形中，由余弦定理可求得，之后利用面积公式求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以． 取的中点，延长至点，使得是中点， 连接，则四边形是平行四边形， 在三角形中，， ，，， 由余弦定理得，解得， 所以三角形的面积为， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【解析】 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可. 【详解】对A，因为在中， 所以 ，解得， 所以根据正弦定理知，故A正确； 对B，易知角C为最大角，则， ，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 易角A为最小角，则， 所以，即， 又，所以，所以 ，故C正确； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】 解：将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 13. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】由余弦定理可得， 解得， 所以， 故答案为：. 14. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，，且. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求向量与的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量模长的坐标表示计算可得结果； （3）由向量夹角的坐标表示计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 又，可得， 解得 【小问2详解】 由（1）可知， 可得， 因此； 【小问3详解】 易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 16. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得． 【小问1详解】 根据正弦定理， 变为，即， 也即， 所以． 整理，得，即，所以， 所以，则． 【小问2详解】 由，，得． 由余弦定理，得， 则，所以．则． 17. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 18. 如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. （1）若，求的长； （2）用表示的长度； （3）求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理直接计算即可； （2）在中，直接利用正弦定理可得出关于的表达式； （3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围. 【小问1详解】 由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， 【小问3详解】 由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求； ①； ②； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 【答案】（1）5；0 （2）证明如下： 因为向量，且向量， 则， 所以， 同理， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）设，并表示出，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为，，且， 所以； 又，，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设为锐角时，由，得或， 当为锐角，时， 故当时，取到最大值； 当为钝角时，由，得， 当为钝角，， ， 当，即时，取得最大值， 所以取得最大值. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则n的值为（ ）． A. B. 4 C. D. 2. 若，则等于（ ）． A. 2 B. C. D. 5 3. 在中，若，则的形状一定是（ ）． A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 4. 在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 6. 如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. 7. 若（，，），且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为__________ 13. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则________． 14. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 _________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，，且. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求向量与的夹角. 16. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 17. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 18. 如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. （1）若，求的长； （2）用表示的长度； （3）求的面积的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求； ①； ②； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $