精品解析：山东省潍坊第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高67级3月检测 数学试题 一、单选题（共8题，每题5分） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示，列式求解. 【详解】由，得，则， 由，得，所以. 故选：C 2. 若θ∈（，），则下列各式中正确的有的个数是（ ） ①sinθ+cosθ<0；②sinθ﹣cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ+cosθ>0. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】单位圆中利用三角函数线比较大小即可 【详解】如图，因为θ∈（，），所以，且， 所以，，， 所以①错误，②正确，③错误，④正确， 故选：B 3. 在区间范围内，与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对变形，然后利用终边相同的定义可判断. 【详解】因， 所以与终边相同， 故选：D. 4. “圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为，圆心为，墙壁截面为矩形，且劣弧的长等于半径长的倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式即可. 【详解】由题意得劣弧的长为2，半径， 设，则，即， 则扇形的面积为， 过点作，则，则，， ，则， 所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于， 故选：D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数平方关系可化简所求代数式. 【详解】因为，则，则， 所以， ， 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式即可求解. 【详解】因为. 又因为，所以. 故选：D 7. 角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式来化简所求式子，再根据已知点在单位圆上求出角的相关三角函数值，进而求出式子的值. 【详解】点的坐标为,根据三角函数定义可得，. 化简, 把，代入，可得. 故选：B. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多选题（共3题，每题6分） 9. 在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可判断AB，根据三点共线表示，再利用基底表示向量，再利用平面向量基本定理的推论，根据系数和为1，即可判断C，根据C的判断，即可判断D. 【详解】对于：根据，又因为点是线段的中点，，故，故A正确； 对于：因为，所以，，故正确； 对于，因为点是线段的中点，所以，设，则， ，又，则， 又因为三点共线，所以，解得，故错误； 对于D：由于，故，故D正确. 故选：ABD 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据商数关系和平方关系计算后可判断AB的正误，利用“1”的代换和弦切互化可判断C的正误，利用诱导公式化简后可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，，故， 故A正确； 对于B，因为，故，故， 故B错误； 对于C，因为，故， 故，故，故或， 而，故，故，故C正确； 对于D，由可得： ， 故D错误， 故选：AC. 11. 有下列说法其中正确的说法为（ ） A. 若，则 B. 设点在所在平面内，若，且，则 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若分别表示的面积，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据时即可判断A，根据向量的共线即可求解B，根据模长公式，即可求解C，根据共线以及线性运算即可求解D. 【详解】对于A，当时，不一定能得到，故A错误， 对于B，分别取的同方向的单位向量为，则,又，故三点共线，故平分，且在边上，只有当时，才有，因此无法确定，故B错误， 对于C，由可得， 由于为非零向量，所以，故C正确， 对于D，由于，所以， ， 在上取,使得 如图，故 设,则, 故， D正确 , 故选：CD 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 与向量方向相反的单位向量是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的单位向量的性质与向量的坐标运算即可得结论. 【详解】与向量方向相反的单位向量是. 故答案为：. 13. 已知角终边上一点坐标，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据终边上的点及余弦函数的定义求函数值. 【详解】由题设. 故答案为： 14. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系结合平方差公式化简即可； 【详解】原式 ， 故答案为：. 四、解答题 15. 化简下列各式 （1）若，化简； （2）若，化简. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可； （2）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可. 【小问1详解】 若，则，， 所以 . 【小问2详解】 若，则，， 所以 . 16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，，求； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量加法得到，由于三点共线，则存在实数，使得，然后建立方程求得； （2）由（1）写出，然后由得到向量坐标，由坐标求得模长； （3）由（2）得到，坐标，由得到坐标，设点坐标得到点坐标，即可得到坐标，由平行四边形得到，建立方程解出点坐标. 【小问1详解】 ， 当三点共线时，存实数，使得， 即， 即，解得. 【小问2详解】 由（1）可知， ∴， ∴. 【小问3详解】 ，， ∴， 设，∴， ∴， 在平行四边形中，，即，解得， ∴. 17. 玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米. （1）若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； （2）若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 【答案】（1）160厘米； （2）6400平方厘米. 【解析】 【分析】（1）由题可得弧与弧的长度关系，结合条件可解； （2）利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米. 因为，所以，所以. 因为厘米，所以厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以， 所以，解得，即弧的长度为160厘米. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 则扇形的面积，扇形的面积， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以 所以， 则，从而，当且仅当时，等号成立， 故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米. 18. （1）化简. （2）已知，.若角的终边与角关于轴对称，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简可得答案；. （2）由得与的关系，根据角的终边与角关于轴对称，求出，，再利用诱导公式化简所求式子代入可得答案. 【详解】（1） ； （2）因为，，可得， 由得， ， 所以，可得或， 因为，所以舍去， 由，得 若角的终边与角关于轴对称， 则，， . 19. 在等腰梯形ABCD中，，，，设，，取，为基底，若点P是梯形ABCD内部（含边界）上一点，且（，）． （1）设，求，的值； （2）当时，求的最小值； （3）若，求证的面积为定值，并求出这个定值． 【答案】（1），； （2）1； （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据向量的减法运算和平面向量基本定理即可求解； （2）先用表示，求出，将两边平方，利用平面向量数量积的定义与运算律，结合二次函数的性质即可求解； （3）当时，得，即，即可求解. 【小问1详解】 根据题意有， ，， ， 又，，由， 即， 所以，，则，； 【小问2详解】 在等腰梯形ABCD中，，，， 过点作，过点作，则有，则，得， 所以， ， 当且仅当时，有最小值1，此时， 满足条件的点在梯形ABCD内部． 【小问3详解】 ， 当时，， 所以，从而动点P在过点D且与BC平行的直线上，设过点D且与BC平行的直线与交点， 过点作，由，， 所以 所以的面积为定值，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高67级3月检测 数学试题 一、单选题（共8题，每题5分） 1. 已知向量，若，则（ ） A B. C. 1 D. 2 2. 若θ∈（，），则下列各式中正确有的个数是（ ） ①sinθ+cosθ<0；②sinθ﹣cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ+cosθ>0. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在区间范围内，与终边相同角是（ ） A. B. C. D. 4. “圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为，圆心为，墙壁截面为矩形，且劣弧的长等于半径长的倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多选题（共3题，每题6分） 9. 在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与面积之比为 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 11. 有下列说法其中正确的说法为（ ） A. 若，则 B. 设点所在平面内，若，且，则 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若分别表示的面积，则 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 与向量方向相反的单位向量是________. 13. 已知角终边上一点坐标，则_________. 14. 化简：_____． 四、解答题 15. 化简下列各式 （1）若，化简； （2）若，化简. 16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，，求； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 17. 玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米. （1）若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； （2）若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 18. （1）化简. （2）已知，.若角的终边与角关于轴对称，求的值. 19. 在等腰梯形ABCD中，，，，设，，取，为基底，若点P是梯形ABCD内部（含边界）上一点，且（，）． （1）设，求，的值； （2）当时，求的最小值； （3）若，求证的面积为定值，并求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $