精品解析：宁夏银川市第六中学2024-2025学年高三下学期一模数学试卷

银川市第六中学2024-2025学年第二学期高三一模数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用并集、交集的定义求得答案. 【详解】由，得或，则或， 而，所以. 故选：D 2. 已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数运算法则及共轭复数的定义判定即可. 【详解】易知的虚部为. 故选：B． 3. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量公式得到方程，求出，进而由向量夹角余弦公式求出，得到夹角. 【详解】因为在上的投影向量为，即，所以， 又， ， 所以， 且，则． 故选：B． 4. 已知，则取得最小值时的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解. 【详解】，则，当且仅当，即时等号成立. 故选：A 5. 定义在上的函数满足，又，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设条件，结合导数与函数单调性的关系分析得在上单调递减，再利用指对数函数的单调性得到的大小关系，从而得解. 【详解】因为， 所以当时，则， 则函数在上单调递减， 而， 所以，即. 故选：A. 6. 已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取正三棱锥的底面中心为，设外接球的球心为，先由三棱锥的体积求出正三棱锥的高为，再由勾股定理求出球的半径，最后求出表面积即可. 【详解】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得. 球心到底面的距离为， 由，得， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 7. 双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（ ） A. 1 B. 1或9 C. 9 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义和性质可得； 【详解】由题意可得，即， 又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以. 故选：C 8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规则可得的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果. 【详解】由题可得， 因为，所以当时，，且 因为在单调递增，所以， 又，解得. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题的是真命题的是（ ）. A. 若，则； B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】分别取特殊情况可得选项A,C错误，由同向不等式的可加性可得选项B正确， 由不等式两边同时除以一个正数，不等号的方向不变，可得选项D正确. 【详解】解：对于选项A，取，显然不成立，即选项A错误； 对于选项B，因，则，又，则，即选项B正确； 对于选项C，取，,显然不成立，即选项C错误； 对于选项D，因为，则，则，即选项D正确， 即命题是真命题的是BD, 故答案为BD. 【点睛】本题考查了不等式性质，属基础题. 10. （多选）在中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由内角和定理以及诱导公式逐一判断即可. 【详解】在中，有，则，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误； 故选：ABC. 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（ ） A. 或32 B. C. 当最小时的“雹程”是2步 D. 或4747 【答案】BC 【解析】 【分析】由，结合即可推出，即可判断选项A；由周期性即可求得，即可判断选项B；由A选项得的最小值为4，故雹程是2步即可判断选项C；由A可知，，或，分类求出其前项和即可判断选项D. 【详解】对于A，因为，所以； 或；或， ，即或5或4，故A错误； 对于B，因为，所以从开始，周期为3，又， 所以，故B正确； 对于C，由A选项得的最小值为4，故雹程是2步，故C正确； 对于D，当时，； 当时，； 当时，，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若曲线在点处的切线过原点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入求解. 【详解】因为，所以， 所以在点处的切线方程为. 又切线过原点，则，所以. 故答案为： 13. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意，利用正弦定理化简得，由，得，且，再利用余弦定理化简得，解得即可. 【详解】在中，， 正弦定理化简得， ，，， 则，解得. 故答案为：2. 14. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，则的周期为_____; 当时，，若关于 的方程有 4 个不同实根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 ①. （且） ②. 【解析】 【分析】根据给定条件探讨函数的周期性，设，进一步探讨函数的性质，结合性质做出函数的图象，数形结合可求的取值范围. 【详解】因为为偶函数，所以，所以. 又， 所以，所以. 所以，即是以8为周期的周期函数. 所以函数的周期为，且. 又当时，，结合函数图象的周期性和对称性，做出函数的部分图象如下： 令， 则. 所以为定义在上的偶函数. 当时， 又，所以当时，也是以8为周期的周期函数. 当时，；当时，. 所以当时，函数的图象如下图： 因为关于的方程有4个不同实根，即直线与的图象有4个不同交点. 当时，，所以，所以. 观察图象可知，当直线经过原点及点，即时， 因为，所以直线与的图象有3个公共点； 当直线经过原点及点，即时，因为，所以直线与的图象有5个公共点. 当时，直线与的图象有4个公共点. 根据函数为偶函数，可得： 当时，直线直线与的图象有4个公共点，则. 所以当时，方程有4个不同实根. 故答案为：（且）； 【点睛】方法点睛：已知方程根的个数，求参数的取值范围的常用方法： （1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围. （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解. （3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线与函数的图象的交点个数问题；另一种是转化为两个函数的图象的交点个数问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，进而可得，再由等差数列的性质、等比数列的知识列方程可得，即可得解； （2）由，结合等比数列前n项和公式、裂项相消法及分组求和法即可得解. 【详解】（1）在比数列中，设等比数列的公比为，由， 得，∴， ∵，，成等差数列，∴， 从而有，得， ∴； （2）由，且， 得， ∴， . 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，数列求和的方法技巧有： （ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． （ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，. （1）求证：平面； （2）若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由菱形性质得出，结合线面垂直的性质得出，从而由线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，由向量夹角的余弦的坐标公式即可得解. 【小问1详解】 因为底面是平行四边形，且是等边三角形， 所以四边形是菱形，则有， 又平面，平面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 设， ∵是等腰三角形， ∴，， 以O为坐标原点，射线，分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系， 如图， 则，，，， 所以，， 设与所成角为， 所以 ， 即与所成角的余弦值为. 17. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立． （1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）求出的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的数学期望； （2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，由条件概率公式代入求解即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， ∴的分布列如下： 0 1 2 3 P ． 【小问2详解】 记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”， ． 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，，且右焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于（异于）两点，直线的交点为. ①证明：点在定直线上 ②设直线交点为，问是否为定值？若是，求出该值，若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②是，9. 【解析】 【分析】（1）由题意知，，由抛物线焦点可得椭圆焦点，进而可得椭圆方程. （2）①设直线：，联立直线与椭圆方程可得，，写出直线、方程，两式作商即可. ②由①知，点、点都在定直线上，结合直线、方程可得、，由，及，，计算即可. 【小问1详解】 由抛物线的焦点为，则椭圆的半焦距为， 又，得，则， 所以椭圆的方程是. 【小问2详解】 ①证明：设直线：，，，且，，如图所示， 联立， 则，，， 又，， 则，解得. 即证点在定直线上. ② 同理可知点在定直线上， 点在直线上，令，得； 同理点在直线上，令，得； 又，， ， 为定值9. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间; （2）若，求证:; （3）若使得，求证:. 【答案】（1）单调递减区间是，无增区间. （2）证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得最大值，再得到在上递减； （2）时函数值恒为负数，所以研究的最大值，借助导函数得到在区间上小于0，所以函数单减，从而得到函数值一定小于0，得证； （3）利用导函数求单调区间，由此得出的所在区间，构造直线使得与的交点见距离等于不等式两边的值，再由线段长短得出相应结论. 【小问1详解】 当时，，， 则 令，则， 令，∵， ∴， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴， ∴的单调递减区间是，无增区间. 【小问2详解】 ∵， 当时，显然成立， 当时，，令， ∴， ∴在区间上单调递减，∴， ∴在区间上单调递减，∴， 综上所述，当时，. 【小问3详解】 ， ∴，令，则，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，∴. 不妨设，则，， 先证：， 易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标为， 令，则， 当时，，此时， ∴当时，图像在下方. ∴， ∴， 再证，设，， 易知直线方程为，直线方程为， 则直线，与直线交点的横坐标为，， ∴， ∵，同理可证：， ∴，类似的可以证明， ∴，即， ∴ 【点睛】思路点睛：本题不等式证明可以分别证明两边成立，因为是与的交点，可以构造其他交点使得线段长度等于不等式两端的值，再证明点的位置，得到线段长度即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第六中学2024-2025学年第二学期高三一模数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知，则取得最小值时的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 5. 定义在上的函数满足，又，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（ ） A 1 B. 1或9 C. 9 D. 3 8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题的是真命题的是（ ）. A. 若，则； B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. （多选）在中，下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（ ） A. 或32 B. C. 当最小时的“雹程”是2步 D. 或4747 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若曲线在点处的切线过原点，则__________. 13. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，且，则______． 14. 已知定义在 上函数 满足 ，且 为偶函数，则的周期为_____; 当时，，若关于 的方程有 4 个不同实根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，. （1）求证：平面； （2）若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值. 17. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立． （1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级条件下，求他初评是C等级的概率． 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，，且右焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于（异于）两点，直线的交点为. ①证明：点在定直线上 ②设直线交点为，问否为定值？若是，求出该值，若不是，说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间; （2）若，求证:; （3）若使得，求证:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $