专题05 函数的嵌套问题 -2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题05 函数的嵌套问题 【方法技巧总结】 首先，要清晰理解每个函数的定义域、值域及对应关系，这是解决嵌套问题的基础。接着，从内到外逐步分析函数的嵌套结构，先计算内层函数的值，再将其作为外层函数的输入。 在解题过程中，注意函数的运算顺序和优先级，确保按照正确的逻辑进行计算。同时，对于复杂的嵌套函数，可以尝试通过变量代换简化问题，将嵌套结构转化为更易处理的表达式。 【典型例题】 例1．函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，的图象如图所示， 则，令，则方程为，， 又，当时，若方程在内有两个不同的解， 只需只有一解，即函数与，只有一个交点， 又函数在上单调递减，所以，即； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，若方程在内有两个不同的解， 只需有两个不同的解， 即函数与，有两个不同的个交点， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 例2．（2025·高三·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：为单调函数， 当时，单调递减; 故当时，也是单调递减，故 要确保在R上单调递减，则， 解得：， 所以满足在R上单调递减时，实数a的取值范围为 当时，， 又在上单调递减，， 所以， 即在上的值域为 令，则或3， 即或， 要使得有4个不同的实数解， 则， 解得： 综上，实数a的取值范围为：，即 故选：C. 例3．定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【解析】令，作出函数的大致图象， 当时，， 故函数的图象关于直线对称， 因为关于的方程恰有个不同的实数根， 则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， 设方程的两根分别为、，且，则， 令，解得或，又因为，不妨设， 所以，则， 因此，. 故选：B. 例4．若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，可得或， 因为关于的长有6个不同的解， 所以或与函数的图象共有6个不同的交点， 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 例5．已知若关于的方程恰有3个不同的实数解，则等于（   ）． A．0 B． C． D．1 【答案】C 【解析】 方程恰有三个不同的实数解，则只能．由或， 因此，．． 故选：C. 例6．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 由可得， 所以，关于的方程、共有个不同的实数解. ①先讨论方程的解的个数. 当时，由，可得， 当时，由，可得， 当时，由，可得， 所以，方程只有两解和； ②下面讨论方程的解的个数. 当时，由可得，可得或， 当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意， 当时，由可得， 因为，由题意可得或或， 解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 例7．（多选题）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】令，则， 当时，，在单调递减，， 在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，，作出的图象如下： 若关于x的方程有四个不同的实数解，结合图像可知，在只有一个解， 记， ①当有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在， 由题意，有，解得； ②当有且仅有一个零点时，，即或时，需要才行，无解， 所以综上①②，a的取值范围是，故D正确. 因为，由得，所以，故B正确； 又，根据韦达定理可知中， ，， 所以，故C错误，A正确. 故选：ABD 例8．（多选题）已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】当时，，. ，为增函数,，为减函数, 且. 其简图如下， 设，由图可知当时，方程有三个根， 因为方程恰好有6个不同的实数解， 所以在上有两个不等的实数根， 则，解得. 故选：CD 例9．已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解，设，则方程有2个不等实根，且或，． 当，时，，满足题意； 当时，，解得． 综上，． 故答案为： 例10．已知函数，关于的方程.①当时，题中方程有 .个不同的实数根；②当题中方程恰有3个不同的实数解时，则的取值范围是 . 【答案】 2 【解析】，画出函数图像，如图所示： ①当时，方程化简为，，结合图象知方程有2个实数根； ②方程可变形为，当时有1个根， 显然，故必须有2个根，即与图象必有两个交点， 故或，解得或. 故答案为：；. 例11．设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m= 【答案】2 【解析】∵题中原方程有个不同的实数根，∴即要求对应于等于某个常数有个不同实数解和个不同的实数解，∴故先根据题意作出的简图： 由图可知，只有当时，它有三个根，故关于 的方程有一个实数根，∴，∴或，时，方程 或,有5个不同的实数根，∴． 例12．设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】作出函数的图象如下图所示， 令，则方程化为， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数根， 则方程在内有两个不同实数根， 因此需满足，解得， 可得实数的取值范围是. 故答案为： 例13．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数是偶函数，大致图象，如图所示： 方程， 分解因式得， 解得：或， 由函数的图象可知，只有个根， 所以需有个根才满足题意， 所以实数的取值范围是：， 故答案为：． 【过关测试】 1．（2025·河南安阳·模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】令，作出函数的图象如下图所示： 由于方程至多两个实根，设为和， 由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4， 由于关于x的方程有7个不同实数解， 则关于u的二次方程的一根为，则， 则方程的另一根为， 直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得. 所以且. 故选：C. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，若方程有7个不同的实数解,则的取值范围（    ） A．(2,6) B．(6,9) C．(2,12) D．(4,13) 【答案】C 【解析】由题,当时,； 当时,, 当时,；当,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以, 当时,,则；当时,,则, 画出的图象,如图所示, 因为有7个不同的实数解, 设,则, 设为方程的解, 则由图象可知有3个解,有4个解, ①,,将代入方程中可得,与条件矛盾,舍去； ②,,设, 则,即, 则可行域如图所示,设,即, 平移直线,与点相交时截距最小,与点相交时截距最大, 因为点,点,所以； ③,,则,即, 则可行域如图所示,即为线段, 平移直线,与点相交时截距最小,与点相交时截距最大, 因为点,点,所以, 综上,, 故选:C 3．（2025·重庆·一模）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（    ） A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6 【答案】A 【解析】由已知，，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值. f(x)的图象如下： 综上可考查方程的根的情况如下： （1）当或时，有唯一实根； （2）当时，有三个实根； （3）当或时，有两个实根； （4）当时，无实根. 令，则，所以该方程必有两不等实根， 且，不妨设， 当时，，此时有三个根； 当时，，此时有三个根； 当时，，此时有三个根； 综上所述，的值为3. 故选：A. 4．设定义域为R的函数，若关于x的方程有3 个不同的实数解x1、x2、x3且x1< x2<x3，则下列说法中错误的是（    ） A． B．1 + a + b = 0 C．x1 + x3 = D．x1 + x3 > 2x2 【答案】D 【解析】分段函数的图象如图所示： 由图可知，只有当时，它有三个根，其余的根为0或2个， 由，即， 解得，或． 若关于的方程有且只有3个不同实数解，只能为， 其解分别是，，0，因为，即，，， ，，，故正确的有ABC 故选：D． 5．定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为 A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或6 【答案】B 【解析】∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在上递减，在上递增， 作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是1，2，3. 或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解， 方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设， 若，则，，和都有两个根，原方程有4个根； 若，则，，∴，，有三个根，有一个根，原方程共有4个根； 若，则，，∴，，有一个根，有三个根，原方程共有4个根． 综上原方程有4个根． 故选：B. 6．（2025·高三·河南·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，可得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数， 当时，，且， 画出函数的图象，如图所示， 令，要使得有三个不同的实数解， 则有两个不同的实数根和， 且或， 若且时，此时无解； 若且时，令， 只需要，解得. 故选：C. 7．已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，图象如下图示， 令，要使原方程有6个不同的实数解，则有两个不同实根且， 若，则，则，此时，，显然此时不合题意， 故由图知：，即的两个零点分别在区间和内， 而开口向上，故. 故选：C 8．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，令，得， 当时，，递增；当时，，递减； 所以当时，取得极大值，图象如图所示： 方程，即为， 解得 或 ， 由函数的图象知： 只有一个解， 所以有两个解， 所以 ，解得， 故选：A 9．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，则或， 作出函数的图象，则可得：方程有且仅有2个不相等的实数根，设为， 由题意可得：方程有且仅有3个不相等的实数根（不能为），即， 结合图象可得：或， 故选：D． 10．（多选题）已知定义在上的函数，若函数的图象关于点对称，且函数，关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】ABC 【解析】若函数的图象关于点对称，则函数关于原点对称， 对于方程，令可得，即， ∵，则有两个不相等的实根，不妨设， 又∵，即，则有： 当时，则，如图1，可得有且仅有一个实根，有3个不相等的实根， 故关于的方程有4个不同的实数解； 当时，则，如图2，可得有且仅有一个实根，有2个不相等的实根， 故关于的方程有3个不同的实数解； 当时，则，如图3，可得、均只有一个实根， 故关于的方程有2个不同的实数解； 当时，则，如图4，可得有2个不相等的实根，有且仅有一个实根， 故关于的方程有3个不同的实数解； 当时，则，如图5，可得有3个不相等的实根，有且仅有一个实根， 故关于的方程有4个不同的实数解； 综上所述：关于的方程的实数解的个数有2或3或4. 故A、B、C正确，D错误. 故选：ABC. 11．已知函数，且关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 因为函数，做出图像如上图所示，因为关于x的方程有3个不同的实数解， 所以令，根据图像可得，有两个不同得实数根，又0不是方程的根， 且，记， 则有，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 12．（2025·高三·天津河西·期中）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则， 所以时，，所以在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以只保证与及共有四个交点即可， 所以只需，解得， 即可得正实数的取值范围. 故答案为： 13．设函数，若方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题设，函数的图象如下图示， 令，要使原方程有个不同的实数解，则有两个不同实根，且， 故由图知：，即的两个零点在区间内， 而开口向上，故，可得． 故答案为：. 14．已知函数，关于的方程恰有2个不同的解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】画出函数的图象，如图， 由， 即，即或， 因为关于的方程恰有2个不同的解， 结合图象可知，时有2个不同的解， 所以无解或， 则或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 15．已知函数，关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【解析】作出的图象： 因为，故， 解得：或， 由题意，与和的图象共3个公共点， 由图象可得或， 故或， 所以的取值范围为或. 故答案为：或. 16．已知函数，且关于x的方程有4个不同的实数解，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，，且， 作出函数图象如图所示： 设，则方程为，因为直线最多与函数有3个交点， 则该一元二次方程有两不等实根，则，解得或， 设其两根分别为， ①当与函数图象有1个交点，与函数图象有3个交点时， 则，，设，因为， 则，即，解得； ②当与函数图象有2个交点，与函数图象有2个交点时， 此时为，则，，，无解，舍去； 综上所述. 故答案为：. 17．已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，的图象如图所示， 则，令，则方程为，即，， 又，当时，若方程在内有两个不同的解，只需只有一解，即函数与，只有一个交点， 又函数在上单调递减，所以， 即； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，若方程在内有两个不同的解， 只需有两个不同的解， 即函数与，有两个不同的个交点， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 18．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若方程仅有两个不同的实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，令， 则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 又，故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，； 且当时，， 画出的图象如下： 设，则， 易知不是上述方程的解，则， 画出的图象， ①当时，，即原方程仅有一解，不符题意； ②当时，，此时存在，使得，符合题意； ③当时，无解，不符题意； ④当时，，此时存在，使得，符合题意； ⑤当时，方程的两个解满足， 此时存在，使得，不符题意. 综上， 故答案为： 19．（2025·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】因为，令，得到，解得或， 又当时，，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，时，， 其图像如图，所以，当时，有2上解，有2个解， 又因为方程有7个不同的实数解，所以当时，有3个实数解， 又时，，则， 所以时，，时，， 即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又当时，，当时，， 又当时，有3个实数解， 所以或， 解得或， 故答案为：或. 20．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知函数，关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】令， 则， 解，得， 当时，，由图可知，有两个实数解，有一个实数解， 此时方程有3个不同的实数解，不满足题意； 当时，，由图可知，有3个实数解，有一个实数解，满足题意； 当时，，有两个实数解，有一个实数解，不满足题意； 当时，，由图可知，有1个实数解，有1个或2个实数解，不满足题意； 当时，，由图可知，有1个实数解，有3个实数解，满足题意； 当时，，由图可知，有1个实数解，有2个实数解，不满足题意. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 21．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】作出函数的大致图象，如图所示， 令，则可化为， 则或， 则关于的方程恰有5个不同的实数解 等价于的图象与直线的交点个数之和为5个， 由图可得函数的图象与直线的交点个数为2， 所以的图象与直线的交点个数为3个， 即此时，解得. 故答案为：. 22．函数，若关于的方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】定义域为， 当时，，当或时，，即在上单调递增，在上单调递减， 其中，且， 令，要想关于的方程有6个不同的实数解， 则方程要有两个位于上的根，则，解得或， 不妨设方程的两个根为，且，则，由两根均小于，则. 令，则有，又，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为： 23．定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则 ． 【答案】/0.125 【解析】作出的图象如下图所示 设，由图象知， 当时，方程有三个根， 当或者时，方程有两个根 则方程等价于， 则方程有5个不同的解，，，，， 等价于方程有两个根和或， 不妨设，由图象可得，五个根，，，，中， 有关于直线对称，关于直线对称，还有一个根为， 所以， 所以. 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的嵌套问题 【方法技巧总结】 首先，要清晰理解每个函数的定义域、值域及对应关系，这是解决嵌套问题的基础。接着，从内到外逐步分析函数的嵌套结构，先计算内层函数的值，再将其作为外层函数的输入。 在解题过程中，注意函数的运算顺序和优先级，确保按照正确的逻辑进行计算。同时，对于复杂的嵌套函数，可以尝试通过变量代换简化问题，将嵌套结构转化为更易处理的表达式。 【典型例题】 例1．函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·高三·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（   ） A．1 B． C． D．0 例4．若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5．已知若关于的方程恰有3个不同的实数解，则等于（   ）． A．0 B． C． D．1 例6．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例7．（多选题）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D． 例8．（多选题）已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 例9．已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为 ． 例10．已知函数，关于的方程.①当时，题中方程有 .个不同的实数根；②当题中方程恰有3个不同的实数解时，则的取值范围是 . 例11．设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m= 例12．设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 例13．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 【过关测试】 1．（2025·河南安阳·模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，若方程有7个不同的实数解,则的取值范围（    ） A．(2,6) B．(6,9) C．(2,12) D．(4,13) 3．（2025·重庆·一模）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（    ） A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6 4．设定义域为R的函数，若关于x的方程有3 个不同的实数解x1、x2、x3且x1< x2<x3，则下列说法中错误的是（    ） A． B．1 + a + b = 0 C．x1 + x3 = D．x1 + x3 > 2x2 5．定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为 A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或6 6．（2025·高三·河南·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知定义在上的函数，若函数的图象关于点对称，且函数，关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 11．已知函数，且关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围为 ． 12．（2025·高三·天津河西·期中）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是 . 13．设函数，若方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为 . 14．已知函数，关于的方程恰有2个不同的解，则实数的取值范围是 ． 15．已知函数，关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是 . 16．已知函数，且关于x的方程有4个不同的实数解，则实数m的取值范围为 . 17．已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为 . 18．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若方程仅有两个不同的实数解，则的取值范围是 . 19．（2025·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 20．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知函数，关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围为 . 21．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 22．函数，若关于的方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围为 . 23．定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$