专题01 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题01 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题 【方法技巧总结】 首先，需明确函数的奇偶性．奇函数满足，偶函数满足．利用奇偶性，可将不等式转化为更简单的形式，或确定函数在特定区间的性质． 其次，分析函数的单调性．若函数在某区间内单调递增，则自变量越大，函数值越大；若单调递减，则自变量越大，函数值越小．根据单调性，可去掉不等式中的函数符号，转化为自变量之间的不等式． 最后，结合奇偶性与单调性求解不等式．先利用奇偶性简化不等式，再根据单调性去掉函数符号，得到自变量之间的不等式，进而求解． 【典型例题】 例1．（2025·辽宁·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为. 故选：A. 例2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，的定义域为， ∵，∴为奇函数， ∵，且在上为减函数， ∴在上为增函数. ∵，∴， ∴，解得，即的取值范围为. 故选：B. 例3．（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以为奇函数， 又，故在上单调递增， 由，得，所以， 若，，即，只需， 令，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，故. 故选：D. 例4．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，都有成立， 不妨令，则都有成立， 即对任意，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，则， 所以不等式或或， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B 例5．（2025·高三·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 由在上单调递增，可知，在上单调递增， 又奇函数， 所以由，可得， ∴，， ∴在上有解，设，， 易知时，，时，， ∴在单调递增，在单调递减，即， ∴， 故选：A 例6．（2025·高三·河北邢台·期末）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，由对恒成立， 所以的定义域为， 又 ， 所以函数为奇函数，由复合函数的单调性可得在上为单调递增函数， 由，可得， 所以，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集是. 故选：A. 例7．（2025·高三·全国·阶段练习）已知函数，不等式对恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】定义域显然为，，是奇函数， ， 易知，，均在区间上为减函数，又是奇函数， 故且在上单调递减， 不等式，即， 结合函数的单调性可得，即， 设，，故单调递减，故， 当，即时取最大值，所以． 故选：C． 例8．（2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】, 则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， 即函数在上单调递增， ∴，即，∴， 即. 故答案为：. 例9．（2025·高三·江苏南通·期末）已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 故函数为偶函数，， 当时，， 因为函数在上均为减函数， 故函数在上为减函数， 由得， 则，即， 即，解得且， 故使不等式成立的实数的取值范围是. 故答案为：． 【过关测试】 1．（2025·新疆喀什·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，即时, 此时,由, 可得，即，解得，结合，得到. 当时，即时， 此时，由, 可得，解得. 结合：，得到. 因为是奇函数，所以，. 当时，时， ， 由，可得，即，此时无解. 综合以上情况，不等式在上的解集为. 故选：A 2．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为， ，为奇函数， 又，所以在上单调递增， 所以即， 即的取值范围是. 故选：C 3．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 4．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，， 函数是偶函数，求导得，令， 求导得，函数在上递增， 当时，，函数在上单调递增， 不等式， 则，令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， 当时，，令函数，求导得， 函数在上递增，当时，，成立， 当时，，不成立， 所以不等式的解集为. 故选：C 5．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 则在上单调递增，因为，所以是奇函数. 因为等价于， 所以，即恒成立， 所以. 故选：B. 6．（2025·高三·江苏南京·开学考试）定义在上的奇函数在上单调递增，且则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则， 又由在上单调递增，且， 则在上为增函数，且， 则在区间上，在区间上， 在区间上，在区间上， 不等式或， 所以或， 所以或， 所以或， 解得：或或 即不等式的解集为 故选：D. 7．（2025·高三·天津红桥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，则即为， 对于任意不等实数，不等式恒成立， 可知在上单调递减，且， 可得，解得. 故选：C. 8．（2025·高三·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为定义在上的奇函数，即， 等式两边同时求导得，即， 即①，所以函数为偶函数， 因为为奇函数，则②， 联立①②可得， 当时，，仅当时取等号，所以函数在上为增函数， 由函数为偶函数，由可得，可得， 即，整理得，解得， 因此不等式的解集为. 故选：B. 9．（2025·广西柳州·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以， 即，又也是偶函数，所以， 所以，即， 因为函数是R上的减函数，也是减函数， 所以函数是R上的减函数； 令，即，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以由，可得，解得， 因此，实数的范围是， 故选：C. 10．（2025·高一·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设，所以， 则， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得． 故选：D 11．（2025·高三·辽宁丹东·期中）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 所以不等式可化为， 即，因为是奇函数且在上单调递增， 所以，则， 所以在上恒成立，则， 即实数的取值范围是. 故选：A 12．（2025·高三·湖南·期中）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R， 又，所以为奇函数. 又，在定义域R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以， 即，解得， 故选：A. 13．（2025·山西临汾·三模）已知函数，关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】因为，则，可知的定义域为， 且， 所以为偶函数； 当，则，即， 可得，可知在内单调递增， 又因为，结合偶函数性质可知：， 此时，可得， 若，则，即， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即符合题意； 若，则，即， 构建， 因为在内单调递增，则在内单调递增， 且， 可知在内存在唯一零点， 由解得； 综上所述：不等式的解集为， 此时，可得， 所以. 故选：B. 14．（2025·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为偶函数， 所以，所以， 令， 因为为偶函数， 则，即， 即， 所以， 当时，，即在上单调递减，则在上单调递增， 由，即， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围是． 故选：A． 15．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称， 所以为奇函数. 令，则，所以为偶函数， 对于，有，所以在上单调递增， 所以在上单调递减. 由，得，， 当时，变形为，即，解得； 当时，变形为，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：B 16．（2025·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 因为 ， 所以为偶函数. 所以， 又在上单调递增， 所以，即，解得. 故选：C 17．（2025·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则， 又因为函数也是偶函数，所以，得， 因为为减函数，为增函数，所以为减函数， 令，得， 所以时，，在上单调递减， 根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以，即，即，得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 18．（2025·高二·山西运城·期末）定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得. 令，则，即为偶函数. 当时，，所以在上单调递增； 所以在上单调递减. 由， 得，即. 又为偶函数，所以， 因为在上单调递减， 所以，即，解得，或， 所以a的取值范围为. 故选：C. 19．（2025·全国·模拟预测）设定义在上的奇函数，其中为自然对数的底数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是定义域为的奇函数，设， 则单调递增， 所以当时，，且单调递增， 当时，，且单调递增， 因此是上的增函数， 结合是上的奇函数，可得是上单调递增的奇函数． 由， 可得， 因此， 解得， 故选：A． 20．（2025·陕西西安·二模）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于函数是定义在上的偶函数， 所以的图象关于对称， 且在上的单调递增，在区间上单调递减. 由， 得， 所以， 所以，即， 所以. 故答案为： 21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】的定义域为， ∵，∴函数是上的增函数， ∵，∴函数是奇函数， ∴由得， ∴， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 22．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】设， 而是定义在上的奇函数，即， 故，即为偶函数； 对任意的，不妨设，则 ， 又对任意的满足， 当时，，则，即， 而，故， 则在上单调递减， 又为偶函数，故在上单调递增， ，故，则， 而不等式，即为不等式或， 即或， 故或， 即不等式的解集为， 故答案为： 23．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知定义在R上的偶函数，且函数在上单调递增，的解集是 ． 【答案】 【解析】令关于对称，在上递增，在上递减， 而，故在上单调递增，即在上单调递增， 又是定义在R上的偶函数，， 所以，即，解集为. 故答案为：. 24．（2025·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由已知得：， 所以，即 则不等式等价于， 再由， 可得在上单调递增，所以，解得， 故答案为：. 25．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数，若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由题意，得，， 所以，即函数关于点中心对称． 因为恒成立，所以当时，， 当时，． 所以有唯一的解． ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增， 又，， 故在R上单调递增， ， 由对称性可知， 下面证明，过程如下： 若时，则，且，则，， ， 此时， 同理可得当时，， 当，即时，，，满足，即． 故， 当时，， 当时，令，解得， 当时，， 又不等式，所以． 由，得．由，得． 所以原不等式的解集为． 故答案为： 26．（2025·陕西·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】依题意，， 故， 故函数的图象关于中心对称. 当时，，单调递减， 故在上单调递减，且 因为函数的图象关于中心对称， 所以在上单调递减，且. 而，故或或， 解得或，故所求不等式的解集为. 故答案为： 27．（2025·陕西榆林·一模）已知函数是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】令函数， 因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称， 故是定义在上的奇函数； 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 由，得， 则，则，解得， 故不等式的解集为. 故答案为： 28．（2025·高三·湖南·阶段练习）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】令函数，因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称， 故是定义在上的奇函数．因为是定义在上的增函数， 所以也是定义在上的增函数．由， 得，则， 则解得， 故原不等式的解集为． 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题 【方法技巧总结】 首先，需明确函数的奇偶性．奇函数满足，偶函数满足．利用奇偶性，可将不等式转化为更简单的形式，或确定函数在特定区间的性质． 其次，分析函数的单调性．若函数在某区间内单调递增，则自变量越大，函数值越大；若单调递减，则自变量越大，函数值越小．根据单调性，可去掉不等式中的函数符号，转化为自变量之间的不等式． 最后，结合奇偶性与单调性求解不等式．先利用奇偶性简化不等式，再根据单调性去掉函数符号，得到自变量之间的不等式，进而求解． 【典型例题】 例1．（2025·辽宁·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例4．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例5．（2025·高三·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例6．（2025·高三·河北邢台·期末）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 例7．（2025·高三·全国·阶段练习）已知函数，不等式对恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例8．（2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为 ． 例9．（2025·高三·江苏南通·期末）已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是 ． 【过关测试】 1．（2025·新疆喀什·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·江苏南京·开学考试）定义在上的奇函数在上单调递增，且则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·天津红桥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 8．（2025·高三·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·广西柳州·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·高一·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·高三·辽宁丹东·期中）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·高三·湖南·期中）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山西临汾·三模）已知函数，关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．0 D．1 14．（2025·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·高二·山西运城·期末）定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·全国·模拟预测）设定义在上的奇函数，其中为自然对数的底数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·陕西西安·二模）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ． 21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ． 22．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为 ． 23．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知定义在R上的偶函数，且函数在上单调递增，的解集是 ． 24．（2025·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 25．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数，若，则关于的不等式的解集为 ． 26．（2025·陕西·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 27．（2025·陕西榆林·一模）已知函数是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 28．（2025·高三·湖南·阶段练习）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$