精品解析：湖北省武汉市硚口区2025年九年级第一次模拟考试数学试题

2025年九年级三月数学训练试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列四个数最小的是（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小是解题的关键． 根据有理数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴是最小的数， 故选A． 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3. 不透明的袋子中只有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球、下列事件是必然事件的是（ ） A. 2个球都是黑球 B. 2个球都是白球 C. 2个球中有黑球 D. 2个球中有白球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、2个球都是黑球是不可能事件，不符合题意； B、2个球都是白球是随机事件，不符合题意； C、2个球中有黑球是随机事件，不符合题意； D、2个球中有白球是必然事件，不符合题意； 故选：D． 4. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是一道关于三视图的题目，熟练掌握主视图的定义是解题的关键． 正面观察该几何体，将看到的图形和选项中的图形进行对照即可解答． 【详解】解：从正面看几何体得到的图形是下面一个长方形，上面是一个圆柱体的侧面也是长方形， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，根据完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方运算法则计算即可 【详解】解：A．，计算错误，故选项不符合题意； B．，计算错误，故选项不符合题意； C．，计算错误，故选项不符合题意； D．，计算正确，故选项符合题意； 故选：D 6. 如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线尺规作图，垂直平分线性质，三角形外角的性质，根据题意综合运用这些知识点是解题关键． 根据尺规作图作线段垂线可得，，平分，根据垂直平分线性质得，，故． 【详解】解：根据尺规作图作线段垂线可得， ，平分， 根据垂直平分线性质得， ， ， 是的外角， 即， ， ， 故选D． 7. 在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 利用阻力阻力臂动力动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力和阻力臂分别是20牛和5米， ∴动力关于动力臂的函数解析式为：， 则，是反比例函数，B选项符合， 故选：B． 8. 四张背面无差别的卡片，正面分别写着数字1，2，3，4．从中随机一次抽取两张卡片，则两张卡片上的数字的和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两个数字的和为偶数的结果数有4种， ∴这两张卡片上的数字的和为偶数的概率是， 故选：B． 9. 如图，是的直径，是的弦，是的中点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂径定理，全等三角形的性质，熟练掌握是解题的关键． 连接交于点，是的中点，，，先证明和全等，得，设的半径为，在中根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点， 是的中点， ，， 在和中： ， ， ， 设的半径为，则， 则在中：， 即， 解得， ， 故选C． 10. 如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线6个交点的横坐标之和是（ ） A. 18 B. 20 C. 36 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键． 先求出坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将带入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 2025年3月，有3000多名记者报名采访全国两会，数量进一步增长，将数据3000用科学记数法表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 计算的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减，根据同分母分式加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记录的二十四节气如图所示，从夏至到冬至“晷长”逐渐变大，相邻两个节气“晷长”变化的量均相同．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（古代问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设小雪的“晷长”是尺，由相邻两个节气“晷长”变化的量均相同可得，解方程即可求出小雪的“晷长”． 【详解】解：设小雪的“晷长”是尺， 相邻两个节气“晷长”变化的量均相同， ， 解得：， 小雪的“晷长”是尺， 故答案为：． 14. 如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是________米．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 如图所示，作于点，于点，求出、的长度，根据，即可解题． 【详解】解：如图所示，作于点，于点， 则， ， 所以． 故答案为． 15. 如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，正方形的性质，三线合一性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 作于，得到，则，证明、，则，，，，则，即． 【详解】解：如图所示，作于， ∵， ∴ ∴， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 又， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 16. 抛物线（，，是常数，）经过点，下列五个结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②若，则抛物线经过两个定点； ③若，则抛物线与轴有且只有一个公共点； ④若点，，在抛物线上，且，则； ⑤若，关于的不等式的解集恰好有5个整数解，则． 其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像及性质，熟练掌握是解题的关键． 根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：①：当时，， 则抛物线经过点， 又抛物线经过点， 抛物线的对称轴是直线，故①错误； ②：当时，抛物线经过点，点，故②正确； ③：若，即抛物线，将点带入抛物线得：， ， 则， 则抛物线与轴有且只有一个公共点，故③正确； ④：如图所示，抛物线的对称轴是直线， 又， 抛物线开口向上， 或者，故④错误； ⑤：抛物线的对称轴是直线，， ， 若关于的不等式的解集恰好有5个整数解，即，，，，； 则当时，，当时，，即， 解得，故⑤正确； 故答案为②③⑤． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求满足不等式组的整数解． 【答案】，0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解． 【详解】解：解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是． 是整数，的取值是，0，1，2，3． 18. 如图，在中，点，分别在和上，且经过对角线的中点． （1）求证：； （2）连接和，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）或或平分（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行四边和菱形的判定，解题的关键熟练掌握平行四边和菱形的判定定理； （1）根据平行四边形的性质得出，．进而利用证明三角形全等即可； （2）根据平行四边形的判定与性质和菱形的判定解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵是的中点， ∴． ∴． 【小问2详解】 添加， 理由：∵， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 添加， 理由：∵， ， 在中 ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴四边形是菱形； 添加平分，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ． ∵是的中点， ∴，． 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 综上所述：添加或或平分（答案不唯一）． 19. 学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行分析，把成绩（满分分）分成四个等级（，，，）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据信息作答： （1）随机抽取了________名学生，扇形统计图中，________，“等级”所对应的扇形圆心角的大小是________； （2）补全条形统计图，随机抽取学生的成绩的中位数落在________等级； （3）如果全校一共有人参加朗诵比赛，根据抽样调查的结果，估计成绩不低于分的人数． 【答案】（1）；； （2）图见解析； （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图，数据的分析，结合扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题的关键． （1）利用等级的人数与其占比即可运算出总人数，即可求出等级的人数，获取的占比，利用等级的占比即可求出圆心角度数； （2）由（1）中所求的等级人数作图即可；根据中位数的特征求出中位数即可； （3）利用总人数分以上的占比即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的， ∴总人数为：（人） ∴的人数为：（人） ∴ ∴所对应的扇形圆心角的大小是： 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由（1）可得：等级的人数为人， 作图可得： ∵总人数为人， ∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值， ∴中位数落在等级； 故答案为：B； 【小问3详解】 解：由题意可得：（人）， 答：成绩不低于分的人数为人． 20. 如图，是的切线，为切点，是直径，是弦，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）连接，交于点，连接，若，． ①求的长； ②直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质定理可得，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行内错角相等可得，由等边对等角可得，进而可得，再结合，，利用可证得，于是可得，即，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）①由，可得四边形是平行四边形，于是可得，由切线长定理可得，再结合，可得垂直平分，则，再结合，可知是的中位线，由三角形的中位线定理可得，由此即可求出的长；②由垂直平分可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由（1）得，则，进而可得，由此可证得，于是可得，即，进而可得，由此即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：①，， 四边形是平行四边形， ， ，是的切线， ， 又， 垂直平分， ， 又， 是的中位线， ； ②垂直平分， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线长定理，三角形的中位线定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等边对等角，线段垂直平分线的判定，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条． （1）在图1中，画出的高； （2）在（1）的基础上，在上画点，连接，使； （3）在图2中，画； （4）在（3）的基础上，在上画点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图、相似三角形的判定与性质、正切的定义、平行四边形的定义等知识点，理解相关知识成为解题的关键． （1）根据垂直的定义以及格点的特点即可解答： （2）根据正切的定义、格点的特点以及（1）的作图即可解答； （3）根据平行四边形的定义作图即可； （4）根据格点的特点构造相似三角形求出相关线段的长度，然后运用勾股定理求解发现作法，然后作图即可． 【小问1详解】 解：如图1：线段即为所求． 【小问2详解】 解：如图1：点G即为所求． 【小问3详解】 解：如图2：即为所求． 【小问4详解】 解：如图：点E即为所求． 22. 某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示． （1）求与的函数关系式； （2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价． 【答案】（1） （2）当销售单价为元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是元 （3）元、元、元、元、元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式为，结合图形利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程求解，即可解题； （3）根据利润的表达式，即可解题． 【小问1详解】 解：设，将，带入解析式， 得：， 解得， 即． 【小问2详解】 解：设日销售利润为， 则， 易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元． 【小问3详解】 解：日销售利润为， 由题意得，即， 化简得，即， 为正整数， 满足条件的销售单价为、、、、． 23. 如图，是四边形的对角线，已知． （1）如图1，点在的延长线上，若，求证：； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形外接圆、圆内接四边形的性质，正切的定义等，熟练掌握是解题的关键． （1）分别证明、即可； （2）连接，以为半径作圆，易得点、点在圆上，四边形为圆内接四边形，根据托勒密定理得，即，又弦所对圆周角，，，，； （3），如图所示，构造三角形，即可求出的值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：如图所示，连接，以为半径作圆， 易得点、点在圆上， 四边形为圆内接四边形， 根据同弦所对圆周角相等，设，，，，，，，，，， 如图所示，分别将，，的边长与、、相乘，得： 将上述三个三角形拼接，得： ， 新图形为平行四边形， ， 即，即， 又弦所对圆周角， ，， ， ． 【小问3详解】 解： ， 如图所示，作等腰三角形，为锐角，，，设，， 则，， ， ， ， ， 根据上述结论，， 则， 如图所示，作矩形，设， 则， 根据上述结论，， ， ， 答：． 24. 如图1，抛物线交轴于点，（点在点的左边），交轴于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图2，连接，点在抛物线对称轴上，将线段绕点旋转得到对应线段，若线段的中点恰好在抛物线上，求点的坐标； （3）如图3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，点在直线上，过点画两条不平行于轴的直线，，直线与抛物线仅有一个公共点，直线与抛物线仅有一个公共点，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1），， （2） （3）见解析，定点的坐标 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数与一元二次方程，抛物线与坐标轴交点坐标，中心对称等知识点； （1）令，解一元二次方程，点的坐标可求，令，求出的值即可求出点的坐标； （2）先求出线段的中点坐标，再根据中心对称的性质求出点的坐标，最后求出点的坐标； （3）先求出直线平移后直线，设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，，分别把三条直线与抛物线联立，然后消元计算即可． 【小问1详解】 解：令，则，解得， ，， 令，则， ； 小问2详解】 解：设线段的中点为，如图， ，， ，， 线段绕点旋转得到对应线段， 与关于点对称， 点关于点对称， ，， 抛物线的对称轴为， ， ，解得， 把代入，得， ， ， ； 小问3详解】 解：∵， ∴直线解析式为：， ∴平移后直线， 设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，， ∵直线与抛物线仅有一个公共点， ∴联立，整理得方程有两等根， ∴，， ∴，， 同理可得，， 联立直线与可得， 解得， 代入可得， ∵在直线上，即 ∴， 整理得， 联立与抛物线可得， 整理得 ∴， ∴代入得， 整理得， ∴直线解析式为， ∴当时，，即过定点， ∴直线经过定点，该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级三月数学训练试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列四个数最小的是（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中只有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球、下列事件是必然事件的是（ ） A. 2个球都是黑球 B. 2个球都是白球 C. 2个球中有黑球 D. 2个球中有白球 4. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（ ） A B. C. D. 8. 四张背面无差别的卡片，正面分别写着数字1，2，3，4．从中随机一次抽取两张卡片，则两张卡片上的数字的和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，是的弦，是的中点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ） A 18 B. 20 C. 36 D. 24 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 2025年3月，有3000多名记者报名采访全国两会，数量进一步增长，将数据3000用科学记数法表示是________． 12. 计算结果是________． 13. 我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记录的二十四节气如图所示，从夏至到冬至“晷长”逐渐变大，相邻两个节气“晷长”变化的量均相同．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是________尺． 14. 如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是________米．（参考数据：） 15. 如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是________． 16. 抛物线（，，是常数，）经过点，下列五个结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②若，则抛物线经过两个定点； ③若，则抛物线与轴有且只有一个公共点； ④若点，，在抛物线上，且，则； ⑤若，关于的不等式的解集恰好有5个整数解，则． 其中正确的结论是________．（填写序号） 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求满足不等式组的整数解． 18. 如图，在中，点，分别在和上，且经过对角线的中点． （1）求证：； （2）连接和，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 19. 学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行分析，把成绩（满分分）分成四个等级（，，，）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据信息作答： （1）随机抽取了________名学生，扇形统计图中，________，“等级”所对应的扇形圆心角的大小是________； （2）补全条形统计图，随机抽取学生的成绩的中位数落在________等级； （3）如果全校一共有人参加朗诵比赛，根据抽样调查的结果，估计成绩不低于分的人数． 20. 如图，是的切线，为切点，是直径，是弦，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）连接，交于点，连接，若，． ①求的长； ②直接写出长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条． （1）在图1中，画出的高； （2）在（1）的基础上，在上画点，连接，使； （3）在图2中，画； （4）在（3）的基础上，在上画点，使． 22. 某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示． （1）求与的函数关系式； （2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价． 23. 如图，是四边形的对角线，已知． （1）如图1，点在的延长线上，若，求证：； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）． 24. 如图1，抛物线交轴于点，（点在点的左边），交轴于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图2，连接，点在抛物线对称轴上，将线段绕点旋转得到对应线段，若线段的中点恰好在抛物线上，求点的坐标； （3）如图3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，点在直线上，过点画两条不平行于轴直线，，直线与抛物线仅有一个公共点，直线与抛物线仅有一个公共点，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$