2025年上海市中考数学一轮复习专题16：二次根式

专题16：二次根式 一、选择题： 1.下列实数中，有理数是(    ) A. B. C. D. 2.在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3.若二次根式有意义，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 4.下列二次根式中，是最简二次根式的个数是(    ) A. B. C. D. 5.在下列各式中，二次根式的有理化因式是(    ) A. B. C. D. 6.若是二次根式，则，应满足的条件是(    ) A. ，均为非负数 B. ，同号 C. ， D. 7.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 8.设、为实数，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.已知，则的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 10.如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分面积为(    ) A. B. C. D. 11.若等式在实数范围内成立，其中，，是两两不同的实数，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 12.化简： ______． 13.已知，则           ． 14.若，则的取值范围是          ． 15.计算：           ． 16.已知关于的方程，则          ． 17.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是          ． 18.计算：           ． 19.如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落书柜、衣柜与地面均无缝隙在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的至少为          精确到个位，参考数据： 20.已知、、是两两不相等的实数，且满足，则的值为          ． 21.当时，多项式的值为______． 三、解答题： 22.计算： 23.计算：． 24.已知，，求的值． 25.先化简，后求值：，其中． 已知，求的值． 26.猜想与探究． 观察下列各式及其验证过程． ． 验证： ． ． 验证： ． 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证． 针对上述各式反映的规律，写出用为任意自然数，且表示的等式，并给出证明． 27.观察下列等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 按照以上规律，解决下列问题． 写出第个等式：           写出你猜想的第个等式：          用含的式子表示，并证明． 28.先阅读下列解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即：，， 所以。 问题： 填空：           ，           ； 化简：请写出计算过程 29.本小题分 阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以再例如：求  的最大值．做法如下：解：由，可知，而，当时，分母    有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： 由材料可知，          ； 比较和的大小； 式子的最小值是          ． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：．，不是有理数，不合题意； B.，不是有理数，不合题意； C.，是有理数，符合题意； D.，不是有理数，不合题意； 故选：． 直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 2.【答案】  【解析】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、，故和不是同类二次根式，不符合题意； B、，故和是同类二次根式，符合题意；     C、，故和不是同类二次根式，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不符合题意；     故选：． 3.【答案】  【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，理解被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件分析即可． 【详解】解：二次根式有意义， 解得 故选C 4.【答案】  【解析】解：最简二次根式是，； 故选：． 根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答． 本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键． 二次根式的有理化因式就是与原式相乘可以将原式中的根号化去的式子，即可得出答案． 【解答】 解：， 二次根式的有理化因式是：． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解决问题的关键根据二次根式的定义得出根式有意义的条件，再逐个判断即可． 【解答】 解：是二次根式， ， A.  、可以都是负数，故本选项错误； B.  可以，但，故本选项错误； C.  、可以都是负数，故本选项错误； D. ，故本选项正确； 故选D． 7.【答案】  【解析】【分析】根据二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化的步骤即可解答． 【详解】解：与不能合并， 错误， 故项不符合题意； ， 正确， 故项符合题意； ， 错误， 故项不符合题意； ， 错误， 故项不符合题意； 故选． 8.【答案】  【解析】【分析】 首先根据二次根式的定义即可确定的值，进而求出的值，代入原式即可得出的值． 本题考查的是根号下的数为非负数，去绝对值后为非负数． 【解答】 解：根据题意，有意义， 而与互为相反数， 则， 故； 所以； 故选A． 9.【答案】  【解析】解：由已知， 得，且； 解可得：． 故选C． 等式左边为算术平方根，右边的结果应为非负数，且二次根式有意义，故有，且． 本题考查了二次根式的意义与化简．二次根式化简规律：当时，；当时，． 10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 根据二次根式的性质进行化简即可． 本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质和化简方法是掌握解答的关键． 13.【答案】  【解析】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，根据二次根式的被开方数是非负数求得、值，进而代值求解即可． 【详解】解：在中，，， ，解得，则， ， 故答案为：． 14.【答案】    【解析】根据二次根式的性质化简，可以得到． 【详解】解：， ，即． 故答案是：． 15.【答案】  【解析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断，的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ， 原式， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】【分析】 根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可． 本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键． 【解答】  解：根据题意得，，即，    ，   等式两边分别平方，    解得：， ，符合题意，    故答案为． 17.【答案】  【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得，解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 18.【答案】  【解析】本题考查了二次根式的混合运算，逆用积的乘方公式是解题的关键．逆用积的乘方公式进行化简，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 19.【答案】  20.【答案】  【解析】、、是两两不相等的实数且满足，则原式． 21.【答案】  【解析】分析 本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 求出，再变形得出，再依次代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可． 解答 解：， ， ， ． 22.【答案】解：原式 ．  【解析】本题考查了实数的运算，涉及分数指数幂的运算，负整数指数幂的运算，分母有理化，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 利用分数指数幂的意义，分母有理化，负整数指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可． 23.【答案】解：原式 ．   【解析】本题考查了二次根式混合运算、零指数幂，熟练掌握化简二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质和零指数幂的意义进行化简，再进行二次根式的乘除运算，最后再进行加减运算即可． 24.【答案】解：原式 ， ，， 原式．  【解析】首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数求解即可． 此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握以上知识点是关键． 25.【答案】【小题】 解： ， 当时， 原式． 【小题】 ， ， ．   【解析】  本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的运算是解答的关键． 根据二次根式的运算及分母有理数，结合完全平方公式化简原式，然后代值求解即可；   先分母有理数求得值，再利用完全平方公式化简原式，然后代值求解即可． 26.【答案】解：． 验证：． 由题设及第题的验证结果，可猜想：对任意自然数都有 ． 证明：．   【解析】此题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质．观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系， 还要注意右边必须是一种特殊形式． 27.【答案】解： ； ， 理由如下： 证明：左边， 左边右边， 等式成立． ．  【解析】解：由题意： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式为：， 故答案为：； 见答案． 本题考查数字类规律探索，分式的加减运算和二次根式的化简，理解题意发现数字间的规律是解题关键． 根据数字规律求解； 根据数字规律及二次根式的性质计算． 28.【答案】【小题】   【小题】   【解析】  由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对的形式化简后就可以得出结论了． 【详解】解： ； 29.【答案】【小题】 【小题】 ， ， 而，， ， ； 【小题】   【解析】  本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： 根据分子有理化的方法进行求解即可； 【详解】解：， 故答案为：．   利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；   利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值得到的最小值． 由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值，所以的最小值为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$