2025年上海市中考数学一轮复习专题15：轴对称图形与等腰三角形

专题15：轴对称图形与等腰三角形 一、选择题： 1.下列图形不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，和关于直线对称，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.到三角形的三个顶点距离相等的点是(    ) A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 4.小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是(    ) A. B. C. D. 5.若点到的三边的距离相等，则点为(    ) A. 三角形三条边上中线的交点 B. 三角形三边上高的交点 C. 三角形三个内角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 6.若一个三角形三个内角度数之比为，则此三角形的三条边之比为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则应把阴影凃在图中标有哪个数字的格子内(    ) A. B. C. D. 8.下列命题中错误的是有(    ) A. 等腰直角三角形的斜边上的高等于斜边的一半； B. 如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角为； C. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边中垂线的交点； D. 在角的内部包括顶点，到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线． 9.“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着成线剪去一个角，再打开后的形状是(    ) A. B. C. D. 10.图中所示三种沿折叠纸带的方法，如图所示，展开后测得；如图，展开后测得且；如图，展开后测得，其中能判定两条边线的是(    ) A. B. C. D. 11.如图，为内一点，，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点若，则的周长为    ． A. B. C. D. 12.如图，在中，用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线，那么下列作法一定正确的是          (    ) A. B. C. D. 13.已知如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数应是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 14.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是          ． 15.由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图，衣架杆若衣架收拢时，，如图，则此时，两点间的距离是          ． 16.如图，已知平分，，若，则________． 17.以线段为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是          ． 18.已知直角坐标平面内三点和，，那么是          三角形． 19.已知，点在轴上且最短，则点的坐标为           20.将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为          ． 21.如图，在中，，，是边的中点，交于点那么           ． 22.已知，，是的三边，，则的形状是________． 23.在中，，以为边在外作等边，设点、分别是和的重心，则两重心与之间的距离是          ． 24.如图，在凸四边形中，，且，，则_______． 25.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于          ． 26.如图，小明将两把完全相同的长方形直尺放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点，在这把直尺上的刻度读数分别是，，则的长度是          ． 27.如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞次后，它与边的碰撞次数是          ． 28.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为          ． 三、解答题： 29.如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上． 若和关于直线对称，请画出； 将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出，并画出平移方向． 30.如下图，已知中，，是内一点，且，试说明的理由． 31.年月，中国传统节日“春节中国人庆祝传统新年的社会实践”被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录某校七年级开展了对春节贴窗花的项目化学习，要求同学们学习并自制窗花积极参与活动． 请同学们阅读“设计与制作窗花”的项目化学习实施过程，并解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作窗花 任务一：认识窗花 同学们查阅了有关窗花的历史，种类，结构，制作等方面的资料，发现很多窗花都是轴对称图形，请观察下列窗花，从中选出不是轴对称图形的窗花图案(    ) A.B.C.D. 任务二：设计窗花 制作窗花前要有一定的设计项目组的同学设计的窗花是一个轴对称图形，如图所示是窗花的一部分。请你帮助他们以直线、为对称轴在图中画出窗花的全部形状． 任务三：制作窗花 在上述设计图中，每个格子的边长为，该窗花的面积为           32.如图，中，，点在上，点在外部，且，，在上取一点，使． 求证：； 已知：，，求的长． 33.在中，为的中点，为上一点，，延长至，且，联结、 求证： 如果平分，求证： 34.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标是整数的点称为整点，记三个顶点都是整点的三角形为整点三角形，如图，已知整点，，请在所给的网格区域含边界上按要求画整点三角形． 在图中画一个等腰且的面积为． 在图中画一个，是点落在坐标轴上． 35.如图，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点在上． 求证：； 求证：如图，当点在的延长线上，为等边三角形． 36.已知：如图所示，中，，是上一点，于，交于，且有求证： 37.已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且． 求证：； 当点是边的中点时，求证：． 38.已知：如图，中，的平分线和的垂直平分线相交于点，延长到点，，垂足为，，垂足为，若，，求的长． 39.如图，已知，是的中点，平分求证： 平分； ． 40已知在等边中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】如图，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：           填“”“”或“”． 【特例启发，解答题目】如图，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并证明结论． 【拓展结论，设计新题】在等边中，点在直线上，点在的延长线上，且，若的边长为，，求的长．请你画出相应图形，并解答 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，先根据轴对称图形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：和关于直线对称， ， ， ， 故选：． 3.【答案】  【解析】根据垂直平分线的性质，可得到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 【解答】解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左右翻折，即可得到原图象，实际时间为点的时针关于过时、时的直线的对称点是点，那么点的时钟在镜子中看来应该是点的样子，则应该在和选项中选择，更接近点． 故选A． 5.【答案】  【解析】此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质． 根据三角形的内角角平分线的性质即可判断． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点应是这个三角形的三个内角的平分线的交点， 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质的应用等知识点，设三角形的三个角的度数是，根据，求出三角形三个角的度数，根据含度角的直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，代入求出即可，熟练掌握勾股定理，含度角的直角三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】解：设三角形的三个角的度数是， ， ，，， 如图， ， ， 由勾股定理得：， ， 故选：． 7.【答案】  【解析】分析 本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点．从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点可得答案． 解答 解：如图所示， 把阴影凃在图中标有数字的格子内所组成的图形是轴对称图形， 故选C． 8.【答案】  【解析】根据等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理逐项判定即可． 【详解】解：等腰直角三角形的斜边上的高就是等腰直角三角形斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 等腰直角三角形的斜边上的高等于斜边的一半， 选项正确，不符合题意； 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半， 如图，是顶角为锐角的等腰三角形且， 作的中线， ， ， ， 如图，是顶角为钝角的等腰三角形，且， 作的中线， ， ， ， ， ， ， 综上，这个等腰三角形的顶角为或 选项不正确，符合题意； 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边中垂线的交点， 选项正确，不符合题意； 角的内部到角的两边距离相等的点，在角的平分线上，点动成线， 在角的内部包括顶点，到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线， 选项正确，不符合题意； 故选：． 9.【答案】  【解析】本题考查剪纸问题，动手操作判断即可． 【详解】解：将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是： ． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了折叠问题，平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．根据平行线的判定定理，对各图中的条件进行分析，即可解答． 【解答】 解：，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故符合题意； ，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故符合题意； 测得，不能判定两直线平行，故不符合题意． 故选A． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了求作关于直线的对称点的作法和线段垂直平分线的性质，利用轴对称的性质得出对应线段相等是解题关键． 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得的周长． 【解答】解：如图所示： 与关于对称， 为线段的垂直平分线． ． 同理可得：． ， 的周长． 故选C． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段的垂直平分线． 利用基本作图对各选项逐一进行判断，即可得解． 【解答】 解：、由基本作图得，则不一定是直角三角形斜边上的中线，故此项作法错误； B、由基本作图得，则不一定是直角三角形斜边上的中线，故此项作法错误； C、由基本作图得点是边的中点，则一定是直角三角形斜边上的中线，故此项作法正确； D、由基本作图得是的平分线，不是直角三角形斜边上的中线，故此项作法错误． 故选C． 13.【答案】  【解析】当是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与、顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，当是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线上的格点都可以作为点，然后相加即可得解． 【详解】如图，分情况讨论： 为等腰的底边时，符合条件的点有个； 为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个． 总共个点 故选C． 14.【答案】  【解析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】 此题考查等边三角形的判定与性质，根据有一个角等于度的等腰三角形是等边三角形，再根据等边三角形三条边相等求解． 【解答】 解：如图，连接． 因为，收拢后的， 所以是正三角形． 故AB． 16.【答案】  【解析】解：平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边的性质可得． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 17.【答案】线段的垂直平分线线段的中点除外  【解析】满足以线段为底边且，根据线段的垂直平分线判定得到点在线段的垂直平分线上，除去与的交点交点不满足三角形的条件． 【详解】解：以线段为底边，， 点在线段的垂直平分线上，除去与的交点交点不满足三角形的条件， 以线段为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是：线段的垂直平分线线段的中点除外． 故答案为：线段的垂直平分线线段的中点除外． 18.【答案】等边  【解析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 是等边三角形． 故答案为：等边． 19.【答案】  【解析】要使点在轴上且最短，作点关于轴对称点，连接交轴于点，即为所求． 【详解】解：作点关于轴对称点，连接交轴于点， 则此时使最小， ， 坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 故答案为．    20.【答案】  【解析】【分析】 根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 【解答】   解：直尺的两边平行，        ，        又，     是等边三角形，      点，表示的刻度分别为，，      ，            线段的长为， 故答案为． 21.【答案】  【解析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意可得垂直平分，则，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再用分别表示出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 是边的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 22.【答案】等腰三角形  【解析】解：可变为， ， 因为，，为的三条边长， 所以，的关系要么是，要么， 当时，，，不合题意； 当时，，，不合题意． 那么只有一种可能． 所以此三角形是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 23.【答案】    【解析】如图：取中点，连接根据含度角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理得出，根据等边三角形的性质得出，，那么，利用勾股定理求出然后证明，得出． 【详解】解：如图：取中点，连接 在中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ． 点、分别是和的重心， ， 又， ， ， ． 故答案为：．    24.【答案】  【解析】解：过点作于，交于，连接，过点作于，交的延长线于，如图所示： ，且，， ，， ，， ， ，， ，， ， ， 即是的平分线， 又， ， 在中，， ， ，， ，， ， ， 即是的平分线， 又，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ． 故答案为：． 过点作于，交于，连接，过点作于，交的延长线于，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得是的平分线，是的平分线，则，，进而得，则是的平分线，由此得，继而得，据此可得的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用三角形内角和定理进行角的计算是解决问题的关键． 25.【答案】  26.【答案】  【解析】如图所示，连接，并延长，作，． ，，， ．   ， ， ， ． 点、在这把直尺上的刻度读数分别是，， ， 故答案为． 27.【答案】  【解析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图： 根据图形可得，从点开始，发光电子与长方形的边，每碰撞次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞次， ， 发光电子与边的碰撞次数是． 故答案为． 28.【答案】或  【解析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当落在边上时，如图： 设交于点， 由折叠知：， ，， ，， 设，则在中， 在中， 即． 当落在边上时，如图 因为折叠，   ． 故答案为：或 29.【答案】【小题】 解：如图，作出各顶点关于直线对称的点，再顺次连接，即为所作， 【小题】 解：如图，找出将各顶点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度的对应点，再顺次连接各点，即为所作；平移方向如图所示．   【解析】  本题考查了作图轴对称变换、作图平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． 利用网格作出各顶点关于直线对称的点，再顺次连接即可；   利用平移的性质作出图形即可． 30.【答案】证明：， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 直线是的垂直平分线上， ．  31.【答案】解：； 如图即为所求； ．  【解析】【分析】 本题考查轴对称图形和作轴对称图形的方法，求阴影部分面积的割补法． 根据轴对称图形的特征，左右两部分折叠后不能重合，可知选项的图形不是轴对称图形； 根据作轴对称图形的方法，找到窗花形状的关键点，作出关键点的对称点，连接对称点可得图形； 根据轴对称的性质，求出阴影部分的面积乘以可得答案． 【解答】 选线、、左右对折后完全重合，选项B对折后不能重合，所以选项图形不是轴对称图形； 见答案； 阴影部分的面积是， 窗花的面积是 32.【答案】【小题】 证明：在与中 ， ． 【小题】 解：由知，， ， ， ， ，则， 是等边三角形， ， ．   【解析】  本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度中等． 由全等三角形的判定定理证得结论；   由中全等三角形的性质和等边三角新的判定与性质得到：，则． 33.【答案】【小题】 为的中点， ， 在与中， ≌， ， ， ， ； 【小题】 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ．   【解析】  根据证明与全等，再利用等量代换证明即可；   根据角平分线的定义和等腰三角形的性质进行证明即可． 34.【答案】【小题】 解：如图所示，等腰即为所求； 由网格的特点可得； 【小题】 解：如图所示，即为所求； 可证明，则， 再证明，则．   【解析】  本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形： 如图所示，取整点，则等腰即为所求；   如图所示，取整点，则即为所求． 35.【答案】【小题】 证明：和都是顶角为的等腰三角形， ，， ， ， ， ， ； 【小题】 证明：当点在的延长线上时， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形．   【解析】  本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定； 证明即可得到；   由得到，当点在的延长线上时，即可证明，得到，，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形判定即可． 36.【答案】证明：过作于，如下图： ， ， 又 ， ， 在与中， ≌， ．   【解析】过作于，由等腰三角形三线合一，可以得到；证明≌，可以得到，从而得到结论． 37.【答案】【小题】 证明：连接． ，且， ， 又， ， ， ； 【小题】 证明：由可知，， 在与中， ，，， ， ，， 在与中， ，，， ， ， ， 又为的中点， 垂直平分．   【解析】  连接，先根据，且可知，再根据，即可得出，进而可得出，由等角对等边可知；   先根据中可知，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质可得出，，同理证明，得出，推出，由等腰三角形三线合一即可得出． 38.【答案】解：平分，，， ， 点在的垂直平分线上，  ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ，  ，，， ．  【解析】此题考查了直角三角形全等的判定及性质，角平分线的性质等知识点． 判定，，得出，所以，即可得出结果． 39.【答案】【小题】 证明：如下图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分； 【小题】 证明：由可知平分， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， 在中，， ．   【解析】  本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． 过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立；   根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可证结论成立． 40.【答案】【小题】 【小题】 解：，证明如下； 由题意知，， 如图，过作，交于， ，，， 为等边三角形，， ，即， ， ， ， ，，， ， ， ； 【小题】 解：由题意知，作图如图， 过作，交的延长线于， 同理，为等边三角形，， ， ， 的长为．   【解析】  由等边，点为的中点，可得，，由，可得，则，，进而可得； 【详解】解：等边，点为的中点， ，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：；   由题意知，，如图，过作，交于，证明为等边三角形，，则，证明，则，进而可得；   由题意知，作图如图，过作，交的延长线于，同理，为等边三角形，，则，根据，计算求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$