2025年上海市中考数学一轮复习专题14：全等三角形

专题14：全等三角形 一、选择题： 1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(    ) A. 两边对应相等； B. 斜边和一个锐角对应相等； C. 一直角边和一个锐角对应相等； D. 一条直角边和一条斜边对应相等． 2.下列命题中，其逆命题是真命题的是(    ) A. 对顶角相等 B. 全等三角形对应角相等 C. 两个全等三角形的面积相等 D. 两直线平行，内错角相等 3.已知图中的两个三角形全等，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是(    ) A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 5.如图，≌，如果，，，那么的长是(    ) A. B. C. D. 无法确定 6.为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得根据的原理是(    ) A. B. C. D. 7.如图是一个平分角的仪器，其中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是(    ) A. B. C. D. 8. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(    ) A. 带去 B. 带  去 C. 带去 D. 带和去 9.如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点、间的距离，可延长至，使，延长至，使，则≌，从而通过测量就可得、间的距离，其全等的根据是  (    ) A. B. C. D. 10.如图是的正方形网格，以点．的两个顶点作位置不同的格点三角形顶点在网格横线与竖线的交点上的三角形称为格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画几个(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 11.在中，，，是边上的中线，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，则和的关系为(    ) A. B. C. D. 13.如图，，的延长线交于点，，，，则等于    ． A. B. C. D. 二、填空题： 14.如图，若≌，且，，则           15.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则           ． 16.我们规定：在四边形中，是边上的一点，如果与全等，那么点叫做该四边形的“等形点”，在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么的长是          ． 17.如图，≌，点、的对应点分别是点、，点在边上，如果，那么 ______度 18.在中，高和交于点，且，则__________． 19.如图：已知在中，，垂足为在边上，分别交线段、线段于点、，若，，，那么的长是          ． 三、解答题： 20.如图所示，是一个长为，宽为的长方形，沿途中虚线剪成四个全等的小长方形，然后按图所示的形状拼成一个较大的正方形． 请用种方法表示图中阴影部分的面积只需表示，不必化简； 比较的两种结果，你能得到怎样的等量关系． 请你用中得到的等量关系解决下面问题，如果，，求的值． 21.如图，已知≌． 如果，，求的长； 如果，，求的度数． 22.如图，已知线段、、，求作使得，，边上的高为此题需要尺规作图，无需写作法，无需作出全等图形，需要写结论． 23.如图，两车从路段，的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达，两地，两车行进的路线平行那么，两地到路段的距离相等吗？为什么？ 24.已知：如图，，，且，求证：． 25.如图，≌，，，，相交于点，求的度数． 26.如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且连接，点、分别是、的中点，求证：． 27.某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： 如图，在中，若，则有； 某同学顺势提出一个问题：既然正确，那么进一步推得，即知若把中的替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出，并提供了以下证明方法： 证明：分别延长，至，两点，使得 【问题解决】 完成的证明； 把中小军的证明过程补充完整． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定方法，掌握判定两个直角三角形全等的一般方法有：、、、、是解题的关键根据直角三角形全等的判定方法解答即可． 【解答】 解：、两条直角边对应相等，或一条直角边和一条斜边对应相等，才能判定两个直角三角形全等，故选项A符合题意； B、斜边和一个锐角对应相等，利用，能判定两个直角三角形全等，故选项B不符合题意； C、一直角边和一个锐角对应相等，可以利用或，能判定两个直角三角形全等，故选项C不符合题意； D、一条直角边和一条斜边对应相等，利用，能判定两个直角三角形全等，故选项D不符合题意． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； B、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； C、两个全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； 故选：． 分别写出原命题的逆命题，再判断真假即可． 本题考查了命题与定理的知识，正确写出一个命题的逆命题是解题的关键． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】解：根据三角形的稳定性可固定窗户． 故选：． 根据三角形的稳定性即可解决问题． 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】本题考查全等三角形的实际应用，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：，， 又， ； ； 故选A． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】【分析】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案． 【解答】 解：由全等三角形的判定，知满足“”， 故选C． 9.【答案】  【解析】解：在和中， ≌． 故选：． 根据已知：，，对顶角，利用可判断≌． 本题考查了全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 10.【答案】  【解析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定，勾股定理等知识，取格点，，，，分别连接，，，，，，，，由可得，，，，即可得出答案，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，，，，分别连接，，，，，，，， 由图可知，， ， ， ， ， ，， 在和中， ， 同理：，，， 共有个与全等， 故选：． 11.【答案】  【解析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得， 在和中， ， ， 中，， ， ． 故选：． 12.【答案】  【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断出根据可证得，可得出，继而可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， ， ， ． 故选：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键． 设与交于点，要求的大小，可以在中利用三角形的内角和定理求解，转化为求的大小，再转化为在中求就可以． 【解答】 解：如图，设与交于点， ， ，， ， ， ， ． 故选B． 14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】或 或  【解析】根据平行线的性质，得到，分两种情况讨论：当时当时，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图，当时，则， 如图，当时， ，， ， ， ， 故答案为：或． 17.【答案】  【解析】解：≌， ，， ． 故答案为：． 由全等三角形的性质得到，，由等腰三角形的性质即可求出． 本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得到，． 18.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．根据题意画出两个图形，证≌，推出，推出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【解答】 解：分为两种情况： 如图， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即； 如图， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ； 故答案为或． 19.【答案】  【解析】利用已知条件可以得到，，根据，得到：，再根据对顶角相等得到，进一步得到：，再利用，证明即可求出． 【详解】解：，， ， 又 ， 故答案为： 20.【答案】从图形整体来看，可图中阴影部分的面积为，从图形部分来看，可图中阴影部分的面积为和； 由可得等式：； 由可得等式， 可得，， 又，均为正数， ， 当，时， ．  【解析】从整体和部分两个角度，可分别表示图中阴影部分的面积为和； 由的两种结果，可得到； 由所得结果，可得，从而可计算出此题结果． 此题考查了数形结合解决数学问题的能力，关键是根据图形面积对完全平方公式进行变式应用． 21.【答案】解：≌， ，， 又， ， ； ， ， ．  【解析】根据全等三角形的性质，可得出，根据，，得出，从而得出的长； 根据全等三角形的性质可得出，即可得出，计算即得出答案． 本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 22.【答案】解：如图，即为所求．   【解析】作射线，在射线上截取，使得，在上任意取一点，作，使得，过点作，以为圆心为半径画弧，交以点或，连接，，，，或即为所求． 本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23.【答案】解：，两地到路段的距离相等． 证明：，， ． ， ． 在和中． ， ≌， ． ，两地到路段的距离相等．  【解析】要判断，两地到路段的距离是否相等，可以由条件证明≌，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论． 本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键． 24.【答案】证明：，， ． 在和中， ≌， ，， 在和中， ≌， ， ．  【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．证明≌，可得，，再证明≌，可得，即可证明． 25.【答案】解：≌， ，， ， ，， ．  【解析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和及对顶角，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，求出，根据对顶角相等计算即可． 26.【答案】证明：， ，， ， 在和中 又点、分别是、的中点 ， ．   【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，，推出，从而证明，得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明． 27.【答案】【小题】 证明：， ， 在和中， ， ． 【小题】 解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ．   【解析】  本题是一道三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立；   根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$