精品解析：广东省梅州市梅县外国语学校2024-2025学年高二下学期第一次段考数学试卷

广东梅县外国语学校2024-2025学年度第二学期高一第一次段考 数学试卷 满分：150分 考试用时：120分钟 一、单选题 1. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图象为　　 A. B. C. D. 4. 如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 7. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 8. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象的一条对称轴是直线 C. 图象的一个对称中心是点 D. 函数是偶函数 10. 已知两个不共线的单位向量的夹角为，则下列结论正确的是（ ） A. 向量在上的投影向量为； B. ； C. ； D. . 11. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 有最大值 C. 的定义域为 D. 在的最小值为 三、填空题 12. 已知函数则__________． 13. 已知函数，则____________. 14. 在中，，，，，记，，用，表示_______；若，则的最小值为_______． 四、解答题 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. （1）若，求的值； （2）设，，，，求的值； 17. 设是不共线的两个非零向量. （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数的值. （3）已知向量满足.求； 18. 已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为. （1）求和的值； （2）若，求的单调递增区间； （3）若，且方程有解，求的取值范围. 19. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”. （1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”； （2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论； （3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东梅县外国语学校2024-2025学年度第二学期高一第一次段考 数学试卷 满分：150分 考试用时：120分钟 一、单选题 1. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性定义判断各个选项即可. 【详解】对于，定义域为，而，则为奇函数，A选项错误； 对于定义域为，，则为偶函数，B选项正确； 对于定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，C选项错误； 对于定义域为，令，，不相等，也不互为相反数，是非奇非偶函数，D选项错误． 故选：B． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合同角三角函数的商数关系求出的值，再根据正切的二倍角公式计算即可． 【详解】由，解得， 所以． 故选：A． 3. 函数的大致图象为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可． 【详解】函数， 则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D， ，排除B， 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键． 4. 如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】用、作为一组基底表示、，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】依题意，，， 所以， 所以 . 故选：A． 5. 在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断三角形为直角三角形，根据投影向量的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知在中，点是的中点，且， 故， 则在上的投影向量为 . 故选：C 6. 如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】A 【解析】 【分析】先求得扇形的圆心角，然后求得米，再利用勾股定理和扇形面积公式求得正确答案. 【详解】如图，连接．因为是弧的中点，所以，米． 因为，所以，所以， 所以是等边三角形，则． 因为米，所以米，米， 则该扇形菜地的面积是平方米． 故选：A. 7. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解． 【详解】由题意可知， 所以， 所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象， 即的图象， 故选：A 8. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果. 【详解】若函数在上单调递增， 由， 得， 所以，又， 取，得， 若函数在上单调递减， 由， 得， 所以， 又， 取，得， 所以的取值范围是， 故选：C 二、多选题 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象的一条对称轴是直线 C. 图象的一个对称中心是点 D. 函数是偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期可得根据最低点可求解，即可判断A，代入即可求解BC，化简，即可求解D. 【详解】由函数的部分图象知，，即，解得 过点，解得， ，选项A错误； 当时，的一条对称轴是直线，选项B正确； 令，解得的对称中心是，选项C错误； ，是定义域上的偶函数，选项D正确. 故选:BD. 10. 已知两个不共线的单位向量的夹角为，则下列结论正确的是（ ） A. 向量在上的投影向量为； B. ； C. ； D. . 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用向量的投影向量、向量的平方、向量垂直的判定以及向量数量积的相关概念和运算.对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】解：，两个单位向量的夹角为，故根据投影向量定义可得，向量在上的投影向量为，故A正确； 向量的平方等于模的平方，所以，故B正确； 是不共线的单位向量， 故利均为非零向量， ，故C正确； ，故不正确. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 有最大值 C. 的定义域为 D. 在的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义，正弦函数的性质即可判断A、B、C，令，构造函数，求函数最小值即可判断D． 【详解】对于A，，所以是周期函数，A正确； 对于B，，分母可以无限接近，所以无最大值，故B错误； 对于C，，， 所以，故C错误； 对于D，令，， 所以，，即， 此时， 所以原函数，当且仅当时取等号， 又，此时函数单调递减，所以当时，，故D正确， 故选：AD. 三、填空题 12. 已知函数则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数结合对数运算及指数运算求解. 【详解】因为， 所以． 故答案为:． 13. 已知函数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角比的关系和二倍角公式求解即可. 【详解】， 又，所以或， 由题可知不合题意，所以，所以， ， 故答案为：. 14. 在中，，，，，记，，用，表示_______；若，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解． 【详解】因为为的中点， 则，可得， 两式相加，可得到， 即，所以； 因为，则，可得， 得到， 即，即． 于是． 记， 则， 在中，根据余弦定理：，即， 于是， 由和基本不等式可得， 故，当且仅当取得等号， 可得， 所以时，有最小值． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数式，进而求出，再利用诱导公式求得值. （2）由（1）的信息，利用齐次法求得值. 【小问1详解】 由， 得，所以. 【小问2详解】 . 16. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. （1）若，求的值； （2）设，，，，求的值； 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得； （2）由，将用表示，利用三点共线即得. 【小问1详解】 因， 所以， 又因为的中点， 所以， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 因，，，， 所以，，又因， 所以， 又因，，三点共线， 所以，即. 17. 设是不共线的两个非零向量. （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数的值. （3）已知向量满足.求； 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可； （2）由向量共线的性质即可求得参数； （3）利用已知可求得，由，可求模. 【小问1详解】 由， 得， ， 所以，且有公共点， 所以三点共线. 【小问2详解】 由与共线，则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或，实数的值是 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以. 18. 已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为. （1）求和的值； （2）若，求的单调递增区间； （3）若，且方程有解，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用周期求，把代入求出； （2）对利用复合函数单调性法则列不等式，求出单调递增区间； （3）先求出若时，的值域，即可求出k的范围. 【小问1详解】 依题可得：，则， 又函数图像的一个对称中心为， 所以，则，， 又，则； 【小问2详解】 由（1）知， 当时，由，得，， 得函数单调递增区间为； 【小问3详解】 若，， 由得， ，，， 要在时有解，则. 19. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”. （1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”； （2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论； （3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，. 【答案】（1）不是，是； （2）充分不必要条件，证明如下： “为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件.证明如下： 若为2阶零和函数，则存在常数，使得，， 即，因此，即函数为周期函数； 反之函数为周期函数， 如，对，，为周期函数， 对任意正常数，， 因此函数不是2阶零和函数， 所以“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件. （3）是，不是，理由如下： 函数是“3阶零和函数”，取，， ， 所以函数是“3阶零和函数”； 函数不是“3阶零和函数”， 假定函数是“3阶零和函数”， 则存在常数，，， 即 对成立， 则恒成立， 由，得， 因此，平方相加整理得， 则或， 由，同理得， 于是或， 则，或或或， 即，或或或，显然不成立， 因此不存在常数，使得，， 所以函数不是“3阶零和函数”. 【解析】 【分析】（1）利用恒等式判断，取计算，结合定义判断. （2）利用定义求出周期说明充分性，举例说明必要性不成立推理即得. （3）取计算，结合定义判断；利用反证法推理导出矛盾判断. 【小问1详解】 函数，不满足对一切实数成立， 所以函数不是“2阶零和函数”； 取，，， 所以是“2阶零和函数”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $