精品解析：辽宁省县域重点高中2024-2025学年高三下学期二模数学试卷

辽宁省县域重点高中2024~2025学年度高三二模试卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知集合，，若，则m的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格： 分数 锻炼 合计 坚持锻炼 不坚持锻炼 分数 100 80 180 分数<600 50 70 120 合计 150 150 300 依据小概率值的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（ ） 附：，． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 0.001 B. 0.005 C. 0.01 D. 0.05 5. 已知椭圆，直线与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段的三等分点，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，将该正四棱台截取四个三棱锥，，，后得到多面体，则该多面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行四边形中，，，，E为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图是因不慎丢失部分图象后，函数的局部图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一个对称中心 C. 图象的对称轴方程为 D. 的图象是由函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的 11. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过拋掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果地相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 若每局比赛甲获胜的概率，则该场比赛甲3:2获胜的概率为 B. 若某局比赛甲先发球，则该局比赛中打完前4个球时甲得3分的概率为 C. 若某局比赛甲先发球，双方比分为8:8，则该局比赛甲以11:9获胜的概率为 D. 若某局比赛目前比分为10:10，则该局比赛甲获胜的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是________． 13. 已知均为锐角，，，则________，________． 14. “双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A的大小； （2）若，的平分线交于点D，且，求的面积． 16. 已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，当直线l经过点F且时，． （1）求C的方程； （2）设O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，且，求面积的最小值． 17. 如图①，在矩形中，，，M为的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接，（如图②）． （1）证明：平面； （2）已知Q是线段上的动点，且，直线与平面所成角的正弦值为，求． 18. 已知函数． （1）当时，证明：在上单调递增； （2）当 ，时，求的零点； （3）当，时，若在上有2个零点，求b的取值范围． 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． （1）求，的值； （2）证明：是等比数列，并求的通项公式； （3）求的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省县域重点高中2024~2025学年度高三二模试卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则先求出，可得，进而求解即可. 【详解】由，则， 则，即. 故选：B. 2. 已知集合，，若，则m的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据求解即可. 【详解】由，， 因为，所以，则m的最大值为1. 故选：C. 3. 函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知，函数在上单调递增，且，进而结合特例判断ACD；结合导数判断B. 【详解】由图象可知，函数在上单调递增，且. 对于A，由，则，， 显然，不符合题意； 对于B，，，则， 所以函数在上单调递增， 且时，；时，；时，，符合题意； 对于C，由，则，， 显然，不满足题意； 对于D，由，则， 下面证明：，即证明， 即证明，即证明，显然成立， 所以，不符合题意. 故选：B. 4. 某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格： 分数 锻炼 合计 坚持锻炼 不坚持锻炼 分数 100 80 180 分数<600 50 70 120 合计 150 150 300 依据小概率值的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（ ） 附：，． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 0.001 B. 0.005 C. 0.01 D. 0.05 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的值，结合独立性检验的结论求解即可. 【详解】由题意，， 结合表格数据及选项，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关， 则m的值可能是0.05. 故选：D. 5. 已知椭圆，直线与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段的三等分点，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示结合题意先求出，再代入椭圆方程求解即可. 【详解】由直线，不妨设，设， 则， 如图，因为M，N是线段的三等分点， 则，， 则，解得，，，， 则，又M，N两点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，判断奇偶性，再单调性的定义判断函数的单调性，进而求解不等式. 【详解】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于 轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为. 故选：A. 7. 在正四棱台中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，将该正四棱台截取四个三棱锥，，，后得到多面体，则该多面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过正四棱台的特点，结合图形关系找出多面体的球心和半径，进而求解即可. 【详解】如图，连接，设， 由，可知四边形为边长为的正方形， 将正四棱台补形成正四棱锥，易知， 所以，设， 易知为的中点，连接，则，可得， 又，， 所以，则， 又，所以，同理， 易知为正方形的中心， 设多面体外接球的半径为， 又， 则为多面体外接球的球心，且， 则其外接球的表面积为. 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，构造函数，利用导数分析其单调性，可得函数在上单调递增，结合可得，进而得到，再通过比较和的大小得到，进而得出选项. 【详解】， 设， 则， 设，则， 令，得， 所以函数在上单调递减，又， 所以当时，，则， 此时函数在上单调递增，又， 所以，则，即； 又，，则， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行四边形 中，，，，E为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用给定条件，利用向量的基底表示及数量积的运算律逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，则，D正确. 故选：BCD 10. 如图是因不慎丢失部分图象后，函数的局部图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一个对称中心 C. 图象的对称轴方程为 D. 的图象是由函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的 【答案】AC 【解析】 【分析】结合函数图像求出的解析式即可判断A；代入检验判断B；结合正切函数的性质判断C；根据函数图象的伸缩变换及平移判断D. 【详解】由图象可知的最小正周期为，故A正确； 由，则，即， 由图象的对称性可知为函数的一个对称中心，且在函数图象上， 所以，因为，所以， 则， 当时，， 所以不是图象的一个对称中心，故B错误； 令，解得， 所以函数的对称中心为， 则图象的对称轴方程为，故C正确； 由函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到， 再向右平移个单位长度， 得到，故D错误. 故选：AC. 11. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过拋掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果地相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 若每局比赛甲获胜的概率，则该场比赛甲3:2获胜的概率为 B. 若某局比赛甲先发球，则该局比赛中打完前4个球时甲得3分的概率为 C. 若某局比赛甲先发球，双方比分为8:8，则该局比赛甲以11:9获胜的概率为 D. 若某局比赛目前比分为10:10，则该局比赛甲获胜的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式、独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式及全概率公式逐项分析求解. 【详解】对于A，甲3:2获胜的事件是第5局甲获胜，前4局甲胜2局，概率为，A正确； 对于B，打完前4个球时甲得3分的事件是甲发2球得2分的事件与甲发2球得1分的事件和， 其概率为，B错误； 对于C，比分为8:8后由甲发球，甲以11:9获胜的事件是4次发球，前3球甲胜2球，第4球甲胜， 其概率为，C正确； 对于D，设打成后再打2个球时甲的得分为，则， ，， 设该局比赛甲获胜为事件 ，则， 由全概率公式，得 ，解得，则该局比赛甲获胜的概率，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数 的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知均为锐角，，，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平方关系可求解；结合及两角和的余弦公式求出，，进而可得，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】因为均为锐角，所以，则， 所以； 由，则， 又， 所以，， 则， 所以. 故答案为：；. 14. “双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点， 在中，由正弦定理得， 则，设，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式作商得， 设，， 由双曲线的定义可知，， ， 解得，则，，，， 所以，则，即， 在中，， 则，则，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A的大小； （2）若，的平分线交于点D，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解. （2）利用三角形面积公式，结合给定的角平分线得，再利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由的平分线交于点D，，且， 得，整理得， 由余弦定理得，解得（负值舍）， 所以的面积. 16. 已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，当直线l经过点F且时，． （1）求C的方程； （2）设O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，且，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦点弦的性质列式求得，得解； （2）设直线与抛物线方程联立得根与系数关系，由，结合，可得，求得，得恒过定点，由代入运算得解. 【小问1详解】 由题，易知直线的斜率存在，设，，， 联立，消去 整理得，， 则， 由抛物线定义得，， ，又， ，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 设直线，，，， 由，又， ，解得， 联立，整理得， 则，，所以，即，且， 故直线恒过定点， 又，所以， ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 17. 如图①，在矩形 中，，，M为的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接，（如图②）． （1）证明：平面； （2）已知Q是线段上的动点，且，直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：在矩形 中，，， 易得，则，即， 在四棱锥中，平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）在矩形 中，分析图形关系易得，在四棱锥中，由平面平面可得平面，可得，进而求证即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接， 由，则， 又平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，以的方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，由，得，即， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，又，则. 18. 已知函数． （1）当时，证明：在上单调递增； （2）当，时，求的零点； （3）当，时，若在上有2个零点，求b的取值范围． 【答案】（1） 当时，，求导得， 函数在上单调递减，，因此， 所以在上单调递增. （2）0； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，结合不等式及余弦函数性质推理得证. （2）把代入，利用导数求出函数的最大值点即可. （3）把代入，求出函数的导数，按分段讨论，结合函数零点存在性质定理确定零点个数即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当，时，的定义域为，，即0是的零点， 求导得，令，求导得， 当时，，，函数在上单调递减， ，函数在上单调递增，当时，， ，函数在上单调递减，因此， 所以函数有唯一零点0. 【小问3详解】 当，时，，函数， 求导得，令，求导得， 当时，，则， 当时，，则，当时，， 函数在上单调递减，当时，， 存在，使得，当时，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，而，则函数在上有唯一零点； ，若，即时，在上有唯一零点， 因此函数在上有2个零点； 若，即，在上没有零点，函数在上有1个零点； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，当且仅当时取等号，函数在上有1个零； 当时，，，且， 又，则存在唯一零点，当时，， 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，即函数在上有唯一零点， 又当 从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于负无穷大，， 因此函数在上有1个零点，此时函数在上有2个零点， 所以函数在上有2个零点，的取值范围是. 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． （1）求，的值； （2）证明：是等比数列，并求的通项公式； （3）求的数学期望． 【答案】（1）， （2）证明：因为，，， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得A盒子中没有红球的概率为，进而根据规则求解即可； （2）由题意可得，整理可得，进而求证，再求解的通项公式； （3）由题意可得,，整理可得，进而求解的分布列，再计算数学期望即可. 【小问1详解】 由题意，A盒子中没有红球的概率为， 则，， ， . 【小问2详解】 证明略；. 【小问3详解】 当，时，,① ,② 由①②得，，又， 所以，则， 的可能取值为0，1，2， 则， ，， 则的分布列为： 0 1 2 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $