2025年上海市中考数学一轮复习专题23：解直角三角形

专题23：解直角三角形 一、选择题： 1.在中，，如果，那么的值是(    ) A. B. C. D. 2.在中，，如果，那么的值是(    ) A. B. C. D. 3.在中，，那么的值等于(    ) A. B. C. D. 4.若，则的正切值的范围是(    ) A. B. C. D. 5.如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围的说法中，正确的是(    ) A. ； B. ； C. ； D. ． 6.在中，，，则等于(    ) A. B. C. D. 7.在中，，设、、所对的边分别为、、，则(    ) A. B. C. D. 8.一飞机从距离地面米的高空测得一地面监测点的俯角是，那么此时飞机与监测点的距离是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9.已知飞机离水平地面的高度为千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标的俯角为，那么这时飞机与目标的距离为    千米． A. B. C. D. 二、填空题： 10.计算：           ． 11.已知，如果，那么           ． 12.中，，，：的值 ______． 13.如果是锐角，，那么 ______． 14.如图，在中，、分别是边、上的中线，，，那么______． 15.小红沿坡比为：的斜坡上走了米，则她实际上升了______米． 16.如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是          ． 17.阅读理解：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为特征三角形问题解决：如图，在中，为钝角，，，如果是特征三角形，那么线段的长为          ． 三、解答题： 18.计算： 19.学过勾股定理后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆高度，得到如下信息：测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图根据以上信息，求旗杆的高度． 20.如图，在直角梯形中，，，，，． 求梯形的面积； 连接，求的正切值． 21.在中，，，． 求证：； 若点为的中点，，，，求的长． 22.如图，一艘海轮位于小岛的南偏东方向、距离小岛海里的处，该海轮从处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛北偏东方向的处． 求该海轮从处到处的航行过程中与小岛之间的最短距离结果保留根号； 如果该海轮以每小时海里的速度从处沿方向行驶，求它从处到达小岛的航行时间结果精确到小时参考数据：， 23.图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图是基座的高，是主臂，是伸展臂，已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． 参考数据： 求点到地面的高度； 若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 24.如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是米，那么这栋楼的高度是________米精确到米参考数据：，，， 25.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于轴、轴于、两点，一次函数的图像经过点和点，与轴交于点． 求一次函数的解析式及点的坐标； 求证：； 如果点在射线上，且与相似，求点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：在中，，， ， 故选：． 根据互余两角三角函数的关系进行解答即可． 本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系是正确解答的关键． 2.【答案】  【解析】解：在中，， ， ． 故选：． 根据互余两角三角函数的关系得出即可． 本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及互余两角三角函数的关系是正确解答的前提． 3.【答案】  【解析】本题主要考查三角形定理和求一个锐角的余弦值，根据三角形定理求出，再求出即可 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 故选： 4.【答案】  【解析】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义和记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 利用锐角正切随角度的增大而增大得到，然后根据特殊角的三角函数值对各选项进行判断． 【详解】解：， ， 即 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是锐角三角函数的增减性，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键． 先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【解答】 解：，，， 又，余弦函数随角增大而减小， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握勾股定理和锐角三角函数的定义． 【解答】 解：如图： 设， ， ，， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题． 【解答】 解：中，，、、所对的边分别为、、， ，即，故A选项不成立，选项成立； ，即，故C选项不成立，选项不成立． 故选B． 8.【答案】  【解析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解． 【详解】如图所示： 由题意得，，米， 在中，， 米． 故选C． 9.【答案】  【解析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意，画出图形，利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：由题意，为飞机离水平地面的高度，为飞机与目标的距离，画图如下： 则：，，， 在中，； 故选A． 10.【答案】  【解析】首先明确和，然后运算即可． 【详解】 11.【答案】  【解析】本题主要考查了三角函数的关系，掌握成为解题的关键． 利用列式计算即可． 【详解】解：，， ，解得：． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：过点作于点， 在中，， ， 设，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 根据解直角三角形，作，利用，设，，表示出长，再利用，表示出长，即可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由条件可知， ， 故答案为：． 先求出，再代入即可求出答案． 此题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握该知识点是关键． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数定义，解答本题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，作于点，根据余弦定义求出长，根据等腰三角形性质求出长，根据平行关系易证∽，再根据相似三角形的对应边成比例结合线段的和差关系求出即可． 【解答】 解：作于点， 、分别是边、上的中线，，， ，，， ，， ，，∽， ，， ， ， ， 得， ， 故答案为． 15.【答案】  【解析】解：设铅直距离为，则水平距离为， 根据题意得：， 解得：负值舍去， 则她实际上升了米， 故答案为： 根据题意设铅直距离为，则水平距离为，根据勾股定理求出的值，即可得到结果． 此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解本题的关键． 16.【答案】  【解析】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数和勾股定理，是解题的关键． 根据正弦值求出的长，根据勾股定理求出的长，根据，得到，进而求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是角平分线的性质，新定义，解直角三角形等知识． 由题意可分：设，，则在上截取一点，使得，此种情况不符合题意设，，过点作于点，过点作于点，然后根据锐角三角比及勾股定理可进行求解． 【解答】 解：由题意可分：设，，则在上截取一点，使得，如图所示： ， ， ，则， ，为钝角，故不存在； 设，，过点作于点，过点作于点，如图所示： 是特征三角形，即，且， ， 平分， ， ， ， 设，则，，则有， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得：或舍去， 故答案为：． 18.【答案】解：原式 ．   【解析】把特殊角的三角函数值代入，再按实数的运算法则计算即可． 19.【答案】解：设，根据题意得： 在中，， 即：， 解得：． 答：旗杆的高度为米．   【解析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可． 20.【答案】解：过作于， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 梯形的面积； 过作于， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ．  【解析】过作于，推出四边形是矩形，得到，，根据勾股定理得到，于是得到梯形的面积； 过作于，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，，于是得到结论． 本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 21.【答案】【小题】 ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小题】 在中已证明， ，是直角三角形， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ．   【解析】  利用两边的比值相等并且它们的夹角相等的两个三角形相似即可先证明：，由此得到，进而可证明；   由可证明：，所以，所以是直角三角形，并且，由此可求，再根据已知条件求出的长即可得到的长． 22.【答案】【小题】 解：过点作于点， 由题意，得：海里， 海里； 答：海轮从处到处的航行过程中与小岛之间的最短距离为海里； 【小题】 由知：海里， 由题意，得：， 海里， 小时； 答：它从处到达小岛的航行时间为小时．   【解析】  本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形： 过点作，解，求出的长即可；   解，求出的长，利用时间等于路程除以速度，进行求解即可． 23.【答案】【小题】 解：过点作于，延长交于， 则四边形为矩形， ，， 则， 点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； 【小题】 由可知，四边形为矩形， 则， ， ， ， ， 又， ， ．   【解析】  过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案；   由可知，四边形为矩形，则，可得，进而可得，求得，由，可得，由可得答案． 24.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是解直角三角形的应用的有关知识． 作交于，在直角三角形中和直角三角形中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长． 【解答】 解：作交于， 由题意可得，，，，， 在中，，，， ， 在中，，， ， ， 即这栋楼的高度约是 25.【答案】【小题】 解：直线交轴于点， 令中，，则 ， 一次函数的图像经过点和点，则 解得： 一次函数的解析式为：； 一次函数的图像与轴交于点， 当时，则， ， 点则坐标为； 【小题】 证明：过点作轴的垂线，垂足为点， 点， ， ， 直线交轴于点， 令，则中， ， ， ， ， ， ； 【小题】 解：由知：， 如图，当点与点关于轴对称时，，即且相似比为， 此时，； 如图，当时，过点作轴的垂线，垂足为， 当点在轴上时，， ， 不存在这种情况； 点在轴下方， ，， ， 点在射线上，且位于轴下方，直线解析式， 设点，则， ， ，即， ，即 舍去或， 此时，； 综上，点的坐标为或．   【解析】  先求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；令一次函数，即可求出点的坐标；   过点作轴的垂线，垂足为点，再求出点的坐标，求出，利用的正切值相等即可证明结论；   分和，两种情况讨论即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$