精品解析：天津市第五十五中学2024-2025学年高二下学期3月学情调研数学试题

天津市第五十五中学2024-2025学年第二学期 高二年级3月学情调研 (数学) 一、单选题 1. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可． 【详解】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选： 2. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C 3. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A 8 B. 3 C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的几何意义分析求解即可. 【详解】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为3， 即，，所以. 故选：C. 4. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ） A. 5.25 B. 10.5 C. 5.5 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义，可得答案. 【详解】∵，∴． 故选：B 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数图像，确定函数单调性，进而可判断； 【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增， 结合选项，只有A符合； 故选：A 6. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 7. 已知为的导函数，若，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导，由，建立等式，解方程即可求解. 【详解】由题意得， 则由，得， 解得或． 故选：D. 8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 9. 已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，构造函数，讨论函数的单调性，将转化为，结合单调性解不等式即可求解. 【详解】由题意知，在上单调递增，则， 不等式恒成立转化为，即， 设，则， 所以在上单调递减，则， 由，得， 即，所以，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D 二、填空题 10. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的导函数，当得，得，进而可得. 【详解】由可得， 故，得， 故，， 故答案为： 11. 已知函数，则_______. 【答案】​ 【解析】 【分析】对求导，得，代值即可求出结果. 【详解】因，则， 所以. 故答案为：. 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 13. 过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入解出切点坐标，即可得切线方程. 【详解】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一） 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 15. 已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设将问题化为在上，并利用导数求区间上最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设，则在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而， 由，则在、上，在上， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 而， 要使对，，使成立， 所以，只需在上，则，可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：在上为解题的关键. 三、解答题 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上最小值为1. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由上易知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 由上可知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，. （1）求和通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出的公差和的公比后可得和的通项公式. （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，解得或（舍），故. 又，故，故. （2）， 故， 所以， 所以 ， 故. 【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 19. 已知椭圆的短半轴长为1，离心率为. （1）求的方程； （2）设的上､下顶点分别为､，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据短半轴长和离心率求出，可得椭圆的方程； （2）设，求出点的坐标，利用斜率公式求出和，再相乘可得结果. 【详解】（1）依题意可知，，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意可知，， 设，则，直线：，令，得，即， ，， 所以. 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，分类讨论可求单调区间； （2）由已知可得，令，可得，进而由单调性可得，求得函数的最大值即可. 【小问1详解】 的定义域为. 关于的方程， 当时，，，所以上单调递增. 当时，，此时， ，所以在上单调递增. 当时，则是方程的两根. 又，所以， 令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，可得，即. 令，易知单调递增. 由，可得，则，即. 设，则，当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 所以，则的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问的解决关键是，转化得，从而利用同构法即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第五十五中学2024-2025学年第二学期 高二年级3月学情调研 (数学) 一、单选题 1. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 2 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A 8 B. 3 C. 4 D. -4 4. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ） A. 5.25 B. 10.5 C. 5.5 D. 11 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 6. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为的导函数，若，则（ ） A 0 B. C. 2 D. 0或2 8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知，则__________． 11. 已知函数，则_______. 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 13. 过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程_______． 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 15. 已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________. 三、解答题 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值． 18. 已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，. （1）求和的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 19. 已知椭圆短半轴长为1，离心率为. （1）求的方程； （2）设的上､下顶点分别为､，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$