精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度第二学期高一第一次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角与角的终边相同，则可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出与终边相同的角的集合，得到答案. 【详解】与终边相同的角的集合为， 当时，，D正确，其他选项均不合要求. 故选：D 2. 已知向量，，且，则（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直坐标运算求出，再根据向量加减的坐标运算和向量模的计算公式即可. 【详解】由，可得，代入坐标运算可得，解得， 所以，得， 故选：B． 3. 半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可. 【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为. 故选：D 4. 在中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】∵为边上的中线，∴， ∵E为的中点，∴， ∴， 故选：D. 5. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 6. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，在单调递增，在单调递增，故A错误；对于B，作出函数的大致图象，由图可知，B正确；对于C，函数在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减，故A错误； 对于B，作出函数的大致图象如图所示，函数的最小正周期为，且在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数最小正周期为，由，得，当时，在单调递减，故C错误； 对于D，函数最小正周期为，故D错误. 故选：B. 7. 如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分别用基底，表示出，利用向量运算进行求解. 【详解】因为点E为中线BD的三等分点，点F为BC的中点， 所以,, 所以 因为是边长为4的等边三角形，为中线， 所以，， 所以， 所以. 故选：A. 8. 已知函数的图象如图所示，图象与X轴的交点为，与y轴的交点为N，最高点为，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应函数为，则=（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图形也计算周期求，再利用最高点求，最后利用垂直求，再通过平移求，即可求解. 【详解】 由图得周期，由，所以， 当时，，，则， 当时，，即， 由得：， 整理得：，， 即， 将的图象向左平移1个单位得到的图象对应函数为， 则， 即， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，可以作为基底的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐一判断选项中的两向量是否平行，若平行不能作为基底，不平行可以作为一组基底. 【详解】A选项，设，无解，与不共线，故可以作为一组基底，A正确； B选项，设，故，无解，故与不共线， 可以作为一组基底，B正确； C选项，设，解得，解得， 故与共线，不能作为一组基底，C错误； D选项，，故，无解， 故与不共线，可以作为一组基底，D正确. 故选：ABD 10. 已知向量，，则下列说法正确是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量共线和垂直的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角的坐标表示一一判断即可． 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误； 对于D：若，则，即，即，解得， 当时，，，，，显然， 当时，，，，，此时，故D错误． 故选：AB． 11. 设是定义在上的函数，若函数是偶函数，是奇函数，且当时，，下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的最小值是 C. 函数在上单调递增 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义推导出函数图象既关于直线对称，又关于点对称，进而可推导出函数是周期为的周期函数，由此可作出函数的图象，逐项判断即可. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，，，即， 所以函数图象既关于直线对称，又关于点对称， 所以，且，所以，于是， 所以，所以函数是周期为的周期函数. 当时，，作出函数的图象如图所示， 因为，所以，， 则函数的图象关于点对称，故A正确； 的最小值是，故B错误； 因为在上单调递增，且， 所以上单调递增，故C正确; ，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. cos2–sin2=________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：原式． 考点：余弦的二倍角公式. 13. 已知向量满足，则向量与夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角公式得，从而得解. 【详解】因为， 所以， 设向量与的夹角为， 则， 又，所以. 故答案为： 14. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【详解】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出的值； （2）根据向量垂直的坐标表示得出的值． 【小问1详解】 由得，∴，∴ 【小问2详解】 由已知， 又，∴，解得 16. 已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． （1）求； （2）求的值； （3）若角是三角形内角，且，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）或1 【解析】 【分析】（1）根据角终边过点，利用三角函数的定义求解； （2）由（1）得到，根据，利用商数关系求解； （3）由，得到，由（1）得到，再和，利用两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 解：因为角终边过点， 所以点P到原点的距离为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， ； 【小问3详解】 因为是三角形内角，且， 所以， 由（1）知：， 所以， 当时，， ； 当时，， . 17. 已知向量. （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的最大值以及对应的的值. 【答案】（1）1； （2）时，取最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用题给条件列方程即可求得的值； （2）先利用向量的数量积化简的解析式，再利用三角函数性质即可求得的最大值以及对应的的值. 【小问1详解】 ， ， ，. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以， 所以， 由，可得，所以， 所以， 当，即时，取最大值，最大值为. 18. 如图，在平行四边形中，为的中点，，与、分别相交于，两点. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理计算即可； （2）应用平面向量基本定理表示向量，再应用垂直得到数量积为0进行计算，结合基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 因为E为AD的中点， 所以， 所以，，故. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为BE⊥AF，所以， 所以， 则， 所以， 所以， 当且仅当时，取到最小值， 故的最小值为. 19. 定义非零向量. 若函数解析式满足，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”． （1）已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点A运动时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可. （2）根据题中条件求得的值，继而求得，利用二倍角公式求得的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围. 【小问1详解】 因为向量为函数的“源向量”， 所以 ， 则方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 所以在上有且仅有四个不相等的实数根， 令， ①当时， ②当时，， 所以. 其图象为： 结合，，，最大值为3， 故当在上有且仅有四个不相等的实数根时， 的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得：，其中， 当，即时，取最大值. 故， 则， 令，由于， 故，即 则，解得， 所以（）. 因单调递增，所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期高一第一次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角与角的终边相同，则可能是（     ） A B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（　　） A. B. 5 C. D. 3. 半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（ ） A B. C. D. 4. 在中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数的图象如图所示，图象与X轴的交点为，与y轴的交点为N，最高点为，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应函数为，则=（ ） A. B. 0 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，可以作为基底的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则与夹角为锐角 D. 若，则 11. 设是定义在上的函数，若函数是偶函数，是奇函数，且当时，，下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的最小值是 C. 函数在上单调递增 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. cos2–sin2=________. 13. 已知向量满足，则向量与的夹角为________． 14. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． （1）求； （2）求的值； （3）若角是三角形内角，且，求的值． 17. 已知向量. （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的最大值以及对应的的值. 18. 如图，在平行四边形中，为中点，，与、分别相交于，两点. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值. 19. 定义非零向量. 若函数解析式满足，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”． （1）已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点A运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $