精品解析：辽宁省本溪市本溪满族自治县县级重点高中协作体2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

高二下学期第一次月考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4本卷命题范围：人教B版选择性必修第二册第四章第2节~第3节，选择性必修第三册第五章第1节~第3节5.3.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐个选项进行验证即可判断. 【详解】时，，时，，时，，故ACD错误； 令，解得，故不是数列中的项. 故选：C 2. 已知数列是公比为的等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式即可求解. 【详解】由题意得，由，得. 故选：B. 3. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分布可得，再结合已知即可得. 【详解】离散型随机变量服从两点分布，则， 又，所以. 故选：A. 4. 如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为37厘米，第5级的宽为45厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第2级的宽度是（ ） A. 41厘米 B. 40厘米 C. 39厘米 D. 38厘米 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列基本量运算求解可得. 【详解】设从第级开始，各级的宽度从小到大构成等差数列，公差为， 由题意可得，则，解得. . 故选：C. 5. 某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 100 合计 200 若根据列表得，则这200名教师中，去年未体检的人数为（ ）（附：，） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】据独立性检验的原理与知识，列式计算即可得结论． 【详解】由于（*）， 又， 则可得，代入（*）式可得： ，解得或（舍）. 故选：D. 6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 7 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得成等差数列， 故，即， 解得. 故选：C 7. 若随机变量的分布列为 0 1 2 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机概率的性质可得，根据随机变量的分布列确定随机变量的分布列，从而可得，联立解得的值，于是可得的值. 【详解】由分布列可得，即①， 又， 则随机变量的分布列为 0 1 4 所以，即②， 联立①②可得：， 则. 故选：A. 8. 已知数列满足，对任意，都有，设，则对任意，下列结论恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】赋值得到数列的递推关系，再构造等比数列求通项，进而得，再作差比较法证明数列单调性，求出最小项，结合排除法即可判断选项，D项特殊项验证可得. 【详解】因为对任意，都有， 取，得， 所以，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， ， 当时，，即； 当时，，即. 所以当时最小，排除AC； D项，因为，，即时，D不成立. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若回归方程，则变量与负相关 B. 在分类变量，的列联表中，越小，与有关的可能性越大 C. 若关于的回归方程为，则直线至少经过一个样本点 D. 以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的性质可判断A，C；根据分类变量，的列联表的性质可判断B；由非线性回归方程与线性回归方程的转化关系求解即可得的值. 【详解】对于A，若回归方程为，由于，则变量与负相关，故A正确； 对于B，在分类变量，的列联表中，越小，说明两个变量有关系的关系越弱，越大，说明两个变量有关的关系越强，故B不正确； 对于C，若关于的回归方程为，则直，故C不正确； 对于D，以拟合一组数据，设，则， 若关于的回归直线方程为，则，所以，则，故D正确. 故选：AD. 10. 已知某品牌的一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若，则，． A. 该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，计算可判断结论. 【详解】因为使用寿命X（单位：小时）服从正态分布， 所以，可得该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时，故A正确； 所以，故B错误； 由，可得，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 11. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，设，若数列的前项和为，则的值可能是（ ） A. 148 B. 150 C. 152 D. 154 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，可得，再分析各项的特征，进而可得出的各项，进而可得出答案. 【详解】所以， 所以， 观察各项：， 从第2项起奇偶性分别为：奇偶奇，奇偶奇，奇偶奇，， 且为奇（偶）数时，也是奇（偶）数， 所以的各项依次为:， 所以数列的前150项和为， 因为， 所以的值可以是148，150，152. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：分析各项的特征，得出的各项，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】计算出、、的值，分析可知，对任意的，，结合数列的周期性可求得的值. 【详解】因为数列满足，且，则， ，，， 以此类推可知，对任意的，， 因为，故. 故答案为：. 13. 已知等差数列前项和为，且，，则取得最小值时，____________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得以及，即可求解. 【详解】由可得，其中为公差， 由可得， 因此， 根据等差数列的性质得： 当时，；当时，. 因此当时，取得最小值， 故答案为：. 14. 设随机变量，其中且，，若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由二项分布期望的性质计算可求得，利用二项分布的概率公式计算可求得，由方差公式计算即可得出结果. 【详解】因为，所以，，， 由，得，所以， ， 由，得，即，解得， 所以，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人. （1）用列联表表示上述数据； （2）是否有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表见解析； （2）有. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，列出列联表. （2）利用（1）中数据求出的观测值，再与临界值比对判断得解. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 关注 不关注 合计 男性消费者 50 50 100 女性消费者 30 70 100 合计 80 120 200 【小问2详解】由（1）得的观测值为 所以有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关. 16. 下表为2018年~2024年某公司年利润（单位：亿元）的统计表，其中2018年~2024年对应的年份代码依次为1~7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年利润 2.2 2.5 2.9 3.6 4.1 4.6 5.3 （1）由上表数据，是否可用线性回归模型拟合与之间的关系？请用相关系数加以说明； （2）求关于的线性回归方程. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度高； 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）可用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，利用相关系数公式求出相关系数，即可判断. （2）根据给定的数据，利用最小二乘法公式求出回归直线方程. 【小问1详解】 依题意，，， 则相关系数 ，与的线性相关程度高， 所以可用线性回归模型拟合与之间的关系. 【小问2详解】 依题意，， 由（1）得，， 所以关于的线性回归方程为. 17. 已知等差数列的前项和为. （1）求证：数列是等差数列； （2）若是递增数列，，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件求得，通过作差即可求证； （2）通过裂项相消法求和即可求证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， 所以， 所以数列是公差为的等差数列. 小问2详解】 由（1）知数列是公差为的等差数列， 因为，即， 因为，所以， 所以， 所以 得证. 18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票． （1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望； （2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？ ②举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入是增加了，还是减少了？ 【答案】（1）分布列见解析，40 （2）①减少了；②增加了 【解析】 【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望； （2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加． 【小问1详解】 由题意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90． ，， ，， ，， ，， 所以X的分布列为 X 10 15 20 35 40 65 70 90 P 【小问2详解】 ①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量n人，则门票收入为120n元， 举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入减少了． ②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，， 则期望值为． 不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为， 举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了 19. 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，对电动汽车市场产生了重大影响，某品牌电动汽车采取抽奖促销活动，每位顾客只能参加一次．抽奖活动规则如下：在一个不透明的口袋中装有个球，其中有4个黑球，其余都是白球，这些球除颜色外全部相同，顾客将口袋中的球随机地逐个取出，并放入编号为1，2，3，，的纸盒内，其中第次取出的球放入编号为的纸盒．若编号为1，2，3，4的纸盒中有4个黑球，则获得优惠券10000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有3个黑球，则获得优惠券5000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有2个黑球，则获得优惠券1000元；其他情况不获得优惠券． （1）已知，顾客甲参加了此品牌电动汽车的促销活动，求顾客甲获得优惠券的概率； （2）设随机变量表示最后一个取出的黑球所在纸盒编号的倒数，证明：的期望小于． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）由超几何分布的概率公式以及互斥加法公式即可求解； （2）写出的分布列即得期望表达式，通过放缩得，进一步证得，从而即可得证. 【小问1详解】 设顾客甲获得的优惠券金额为元，“顾客甲获得优惠券”为事件， 则， 所以， 即顾客甲获得的优惠券的概率为； 【小问2详解】 随机变量的分布列为： 随机变量的期望为， 因为， 所以， 又， 所以 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期第一次月考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4本卷命题范围：人教B版选择性必修第二册第四章第2节~第3节，选择性必修第三册第五章第1节~第3节5.3.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是公比为的等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为37厘米，第5级的宽为45厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第2级的宽度是（ ） A. 41厘米 B. 40厘米 C. 39厘米 D. 38厘米 5. 某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 100 合计 200 若根据列表得，则这200名教师中，去年未体检的人数为（ ）（附：，） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 7 D. 2 7. 若随机变量分布列为 0 1 2 若，且，则（ ） A B. C. D. 8. 已知数列满足，对任意，都有，设，则对任意，下列结论恒成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若回归方程，则变量与负相关 B. 在分类变量，的列联表中，越小，与有关的可能性越大 C. 若关于的回归方程为，则直线至少经过一个样本点 D. 以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则. 10. 已知某品牌的一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若，则，． A. 该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时 B. C. D. 11. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，设，若数列的前项和为，则的值可能是（ ） A. 148 B. 150 C. 152 D. 154 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，且，则___________． 13. 已知等差数列前项和为，且，，则取得最小值时，____________． 14. 设随机变量，其中且，，若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人. （1）用列联表表示上述数据； （2）是否有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？ 附：，其中 0.1 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 16. 下表为2018年~2024年某公司年利润（单位：亿元）的统计表，其中2018年~2024年对应的年份代码依次为1~7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年利润 2.2 2.5 2.9 3.6 4.1 4.6 5.3 （1）由上表数据，是否可用线性回归模型拟合与之间的关系？请用相关系数加以说明； （2）求关于的线性回归方程. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度高； 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 17. 已知等差数列前项和为. （1）求证：数列是等差数列； （2）若是递增数列，，求证：. 18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票． （1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望； （2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？ ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？ 19. 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，对电动汽车市场产生了重大影响，某品牌电动汽车采取抽奖促销活动，每位顾客只能参加一次．抽奖活动规则如下：在一个不透明的口袋中装有个球，其中有4个黑球，其余都是白球，这些球除颜色外全部相同，顾客将口袋中的球随机地逐个取出，并放入编号为1，2，3，，的纸盒内，其中第次取出的球放入编号为的纸盒．若编号为1，2，3，4的纸盒中有4个黑球，则获得优惠券10000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有3个黑球，则获得优惠券5000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有2个黑球，则获得优惠券1000元；其他情况不获得优惠券． （1）已知，顾客甲参加了此品牌电动汽车的促销活动，求顾客甲获得优惠券的概率； （2）设随机变量表示最后一个取出的黑球所在纸盒编号的倒数，证明：的期望小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $