精品解析：2025届上海浦东新区高三二模数学试卷

2025年上海浦东新区二模数学试卷 考生注意： 1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 不等式的解为____________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：不等式化为，解一元二次不等式即可． 详解：不等式化为，解得， ∴不等式的解集为，故答案为． 点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题 2. 已知向量，若，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示求解． 【详解】解：因为，所以， 得， 解得， 故答案为：-2 3. 设圆 方程为，则圆 的半径为____________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆 的方程化为标准方程，可得出圆 的半径. 【详解】将圆 的方程化为标准方程可得，故圆 的半径为. 故答案为：. 4. 若，则函数的最小正周期为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 5. 若关于 的方程的一个虚根的模为，则实数 的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设关于 的方程的两根虚根为，则且，即可求出 的值，再代入检验. 【详解】设关于 的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于 的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于 的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 6. 设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 7. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】-252 【解析】 【分析】用二项式定理即可. 【详解】根据二项式定理，第r+1项为 ，由于是常数， ，r=5， 其常数项系数为=-252.， 故答案为：-252. 8. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为 ，则 的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 9. 李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为____________． 【答案】 【解析】 【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算. 【详解】，则该学生的成绩为从小到大排列的第个， 故该生的成绩为 ， 则这10名学生的成绩的平均数为， 方差为 故答案为： 10. 如图，某建筑物垂直于地面，从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为，从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为__________米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【解析】 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和 ，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】在中，已知从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 11. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【详解】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 12. 已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数 ，使得； ②对任意的正整数 和 ，都有． 则满足以上条件的数列共有__________个． 【答案】 【解析】 【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况. 【详解】因为，，可知的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数 ，使得， 对于②：对任意的正整数 和 ，都有， 可知为奇数，即， 令，则，可得或； 令，则，可得或； 综上所述：对任意的正整数 ，. 且，可得，， 即确定，不相等，有2种可能， 此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又因为存在小于的正整数 ，使得， 可知对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 综上所述：符合题意的数列共有个. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知集合，集合，全集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值不等式确定结合 ，再由集合得交集、补集运算即可求解. 【详解】，可得 可得：， 所以， 故选：D 14. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性可得等价于，结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为等价于， 则可以推出，即必要性成立； 但不能推出，例如，即充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 15. 研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 变量 与变量 的相关性变强 B. 相关系数 的绝对值变小 C. 线性回归方程不变 D. 拟合误差Q变大 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，，求出相关系数 ，即可判断A，B选项，再利用回归直线方程过样本中心点可判断C选项，D利用残差平方和进行判断即可. 【详解】设变量x，y的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 则， ， ， 则相关系数. 可知相关系数 的值不变，变量 与变量 的相关性不变，故A，B错误； 对于C，因为，所以不变， 且线性回归方程过样本中心点，即，均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变，所以拟合误差Q不变，故D错误. 故选：C. 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点 ，若对于上的任意一点 ，均存在上两点 ， ，使得原点 到直线 ， 和 的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点 作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于 ， 两点，连接 . 根据直线与圆的位置关系，当 与圆相切时，满足给定条件. 当 与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近 ，直到 与圆相切；同理，当 与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近 直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得 与圆相切，故①正确. 判断命题②： 当 在双曲线顶点时，过 作圆的切线，交双曲线于另外两点 ， . 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段 ，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确. 故选：A. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知函数的表达式． （1）若函数是奇函数，求实数 的值； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【小问1详解】 因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. 【小问2详解】 对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 18. 如图，四边形 为长方形，平面 ，，． （1）若分别是的中点，求证： ∥平面； （2）边 上是否存在点，使得直线 与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 法一：取 中点 ，连接、 ， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵平面， 在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面的一个法向量 ∵， 且 在平面外 ∴平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）法一：几何法：取 中点，连接、，通过，即可求证；法二：向量法：求得平面法向量取平面的法向量 由，即可求证； （2）法一：几何法：作，垂足为 ，连接，确定直线 与平面所成的角为，进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：作，垂足为 ，连接， ∵平面 ， 在平面 内， ∴，又为平面内两条相交直线， ∴平面， ∴直线 与平面所成的角为， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴边 上存在点，使得直线 与平面所成的角为， . 法二：设，则， ∴， 易知平面的一个法向量， 设与的夹角为， 则， 解得：， ∴边 上存在点，使得直线 与平面所成的角为，. 19. 为测试 、 两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从 到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 （1）分别估计 软件、 软件能正确解答数学问题的概率； （2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ （3）小浦决定采用这两款软件解答 道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】（1） 软件、 软件能正确解答数学问题的概率分别为、 （2）应该使用 软件来解决这道试题. （3）， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得 软件、 软件能正确解答数学问题的概率； （2）利用全概率公式计算出 、 软件分别能解答对第题的概率，比较大小后可得出结论； （3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量、的期望和方差，由题意可知、相互独立，可得出，，即可得出答案. 【小问1详解】 记 、 软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，. 【小问2详解】 记“ 软件能正确解答这道题”为事件 ，“ 软件能正确解答这道题”为事件 ， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以 软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用 软件来解决这道试题. 【小问3详解】 几何试题用 软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， . 20. 已知椭圆的方程为，右顶点为 ，上顶点为 ，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在 轴上，求 的值； （2）设椭圆的焦点在 轴上，直线 与相交于点 、 ，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在 轴上，点 在上，点 在上．若存在 是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线 的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点 重合），算出和直线的斜率.接着设出点 的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【小问1详解】 由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 【小问2详解】 由题，，，所以，直线 的方程为， 设的方程为，，， 联立直线 与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. 【小问3详解】 由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点 重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点 位于上，所以 ， 为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 21. 定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线 与曲线在点 处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； （2）若为“整数等差函数”，求实数 的最小值； （3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】（1）不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” （2） 无最小值； （3） 充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线 的斜率， 曲线在点 处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线 的斜率， 曲线在点 处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ， 为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 【解析】 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定 的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【小问1详解】 假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线 的斜率， 因为，所以曲线在点 处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线 的斜率， 因为，所以曲线在点 处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． 【小问2详解】 因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线 的斜率， 因为，所以曲线在点 处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故 的最小值为; 综上，实数 无最小值； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上海浦东新区二模数学试卷 考生注意： 1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 不等式的解为____________． 2. 已知向量，若，则______． 3. 设圆 方程为，则圆 的半径为____________． 4. 若，则函数的最小正周期为____________． 5. 若关于 的方程的一个虚根的模为，则实数 的值为____________． 6. 设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________． 7. 在的展开式中，常数项为__________. 8. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为 ，则 的值为____________． 9. 李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为____________． 10. 如图，某建筑物垂直于地面，从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为，从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为__________米．（保留一位小数） 11. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 12. 已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数 ，使得； ②对任意的正整数 和 ，都有． 则满足以上条件的数列共有__________个． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知集合，集合，全集为，则（ ） A. B. C. D. 14. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 变量 与变量 的相关性变强 B. 相关系数 的绝对值变小 C. 线性回归方程不变 D. 拟合误差Q变大 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点 ，若对于上的任意一点 ，均存在上两点 ， ，使得原点 到直线 ， 和 的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知函数的表达式． （1）若函数是奇函数，求实数 的值； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 18. 如图，四边形 为长方形，平面 ，，． （1）若分别是的中点，求证： ∥平面； （2）边 上是否存在点，使得直线 与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 19. 为测试 、 两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从 到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 （1）分别估计 软件、 软件能正确解答数学问题的概率； （2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ （3）小浦决定采用这两款软件解答 道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 20. 已知椭圆的方程为，右顶点为 ，上顶点为 ，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在 轴上，求 的值； （2）设椭圆的焦点在 轴上，直线 与相交于点 、 ，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在 轴上，点 在上，点 在上．若存在 是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 21. 定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线 与曲线在点 处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； （2）若为“整数等差函数”，求实数 的最小值； （3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $