精品解析：天津市第二中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024－2025（二）天津二中高二年级第一次月考 数学学科试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共120分，考试用时90分钟. 第I卷（选择题 共45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可. 【详解】， 故选：C. 2. 从5名男生，3名女生中选3人参作为志愿者，则这3人中既有男生，又有女生的选法共有（ ） A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】用总情况减去只有男生或只有女生的情况即可得出答案. 【详解】用总情况减去只有男生或只有女生的情况， 即， 故选：A. 3. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是增函数 C. 在时取得极大值 D. 在时取得极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项. 【详解】由图可知，在区间上递减；在区间上递增. 所以不是的极值点，是的极大值点. 所以ACD选项错误，B选项正确. 故选：B 4. 从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况． 5. 已知函数，是函数的导函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求导公式和法则求出导函数，代入即可. 【详解】，所以， 故选：A. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，由题可得导函数大于等于0在恒成立，参变分离，求最值即可. 【详解】，因为函数在区间上单调递增， 所以在恒成立， 在恒成立， 当时，，所以， 故选：C. 7. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出的范围． 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解， 所以成立， 由于，所以， ， 则实数的取值范围是． 故选：D. 8. 已知是定义在上的连续可导函数，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导，结合条件判断原函数单调性，即可得出答案. 【详解】构造函数，， 所以在上单调递减，， 故选：B. 9. 已知与都是定义在上的连续可导函数，如果与仅当时的函数值为0，且时，那么下列6种情形： ①和都在上单调递增； ②和都在上单调递减； ③0是的极大值，也是的极大值； ④0是的极小值，也是的极小值； ⑤0是的极小值，但不是的极值； ⑥0是的极大值，但不是的极值. 上述情形中不可能出现的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】举例特殊函数判断①、②、③、④、⑥均可以，根据极小值的定义和条件证明⑤不可以. 【详解】①，令，，易知与都是定义在上的连续可导函数，如果与仅当时的函数值为0，且都单调递增，，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 所以时，，满足，故①可能； ②，令，，由①可知，也成立，故②可能； ③，令，，显然合题意，故③可能； ④，令，，显然合题意，故④可能； ⑤，0是的极小值，在0附近存在一个区间D，当，且时，，又时，所以当，且时，，所以0也是的极小值，故⑤不可能； ⑥，令，，结合图像判断，显然符合题意，故⑥可能， 故选：A. 第II卷（非选择题 共75分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上. 10. 函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【解析】 【详解】函数有意义，则： ，且： ，由 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为，故答案为. 11. 某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则不同的报名方法数为___________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】将符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项的方法，第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项的方法，再根据分类加法原理求解. 【详解】符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项， 第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项，其中第一类中含4种不同的报名方法， 第二类中的报名方法可分三步完成，第一步从100米，200米中选择一项，第二步从跳高，跳远两项比赛选择一项，第三步从余下的三项比赛中选择两项参赛， 故第二类方法共有种，由分类加法原理可得共有16种方法. 故答案为：16. 12. 已知函数的导函数为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求导得，然后令，即可得到结果. 【详解】因为，则， 令，则，即， 所以 故答案为： 13. 过原点作曲线的切线，则切线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，设切点坐标，写出切线方程，将原点代入即可. 【详解】，设切点为， 则切线的斜率为，所以切线方程为， 将原点代入得，解的， 所以切线方程为， 故答案为：. 14. 设集合，，则满足且的不同集合的个数是______（结果用数字表示）. 【答案】24 【解析】 【分析】根据条件且，即可确定集合的元素取值情况，然后确定集合P的个数即可． 【详解】集合的子集有：共个； 又，， 所以不能为：，共8个， 则满足且的集合的个数是． 故答案为：． 15. 已知函数（是自然对数的底数），对任意的，存在，有，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将问题转化为，再利用导数求得，利用二次函数的性质分类讨论求得，从而求得的取值范围. 【详解】因为对任意的，存在，有， 所以， 因为，所以， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 因为开口向下，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，则， 所以，则，故； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，故； 当，即时，在上单调递增， 所以，即，故； 综上：，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． 三、解答题：本大题共3小题，共45分，将解题过程及答案填写在答题卡上. 16. 已知函数，. （1）求的极大值点和极小值点； （2）若，使得成立，求实数的取值范围； （3）求证：时，. 【答案】（1）极大值点为，极小值点为 （2） （3）证明如下： 设，即证. 则，令 ， 于是在单增，因此时，， 于是在单增，因此时，， 于是原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）由（1）求得在区间上的最大值，最小值即可求解； （3）通过二次求导确定函数单调性即可求证； 【小问1详解】 ， . 令解得或，列表如下： 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以极大值点为，极小值点为. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以， 所以在区间上的最大值为， 最小值为. 时，值域为，因此实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 17. 从甲、乙等6人中选4人参加米接力比赛. （1）甲跑第一棒的排法有多少种？ （2）甲、乙均参加，且不相邻上场的排法有多少种： （3）甲、乙两人均不跑中间两棒的排法有多少种？ 【答案】（1）60 （2）72 （3）144 【解析】 【分析】（1）甲跑第一棒，从剩下的5人里选出3人排序即可； （2）不相邻问题，插空法； （3）特殊位置优先安排. 【小问1详解】 甲跑第一棒，从剩下的5人里选出3人排序即可，即； 【小问2详解】 先从剩下的4人里选出2人排好，共种情况， 排好的2个人会产生3个空，选2个空，将甲乙排进去即可，共情况， 所以总情况为： 【小问3详解】 先从剩下的4人里选出2人排到中间两棒，共种情况， 再从剩下的4人里选2人排前后两棒，共种情况， 所以总情况为： 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，求导后求出，同时求出，由点斜式写出切线方程；  （2）求导，进一步求出导函数的零点，分和三种情况讨论三种情况讨论原函数的单调性，由在区间上的最小值为求解的取值范围； （3）构造辅助函数，问题转化为函数在上单调递增，求解的范围．求导后分和讨论，时借助于二次函数过定点及对称轴列式求解． 【小问1详解】 由，则 ，所以切线方程为, 【小问2详解】 , 令 , 当时，在上单调递增，,满足题意， 当时，在上单调递减， ,（舍）, 当时，在上单调递减， 在上单调递增，（舍）, 综上， 【小问3详解】 令 ,, 令，只要在上单调递增即可. 在上恒成立. , 在上恒成立. 当时，恒成立； 当时，原不等式, 当时，原不等式，左边无最大值，不合题意（舍）, 综上，. 【点睛】本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学数学思想方法，是难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025（二）天津二中高二年级第一次月考 数学学科试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共120分，考试用时90分钟. 第I卷（选择题 共45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 从5名男生，3名女生中选3人参作为志愿者，则这3人中既有男生，又有女生的选法共有（ ） A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 3. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是增函数 C. 在时取得极大值 D. 在时取得极小值 4. 从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 5. 已知函数，是函数的导函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的连续可导函数，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知与都是定义在上的连续可导函数，如果与仅当时的函数值为0，且时，那么下列6种情形： ①和都在上单调递增； ②和都在上单调递减； ③0是的极大值，也是的极大值； ④0是的极小值，也是的极小值； ⑤0是的极小值，但不是的极值； ⑥0是的极大值，但不是的极值. 上述情形中不可能出现的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题 共75分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上. 10. 函数的单调递增区间为_______. 11. 某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则不同的报名方法数为___________.（用数字作答） 12. 已知函数的导函数为，且，则______． 13. 过原点作曲线的切线，则切线的方程为______. 14. 设集合，，则满足且的不同集合的个数是______（结果用数字表示）. 15. 已知函数（是自然对数的底数），对任意的，存在，有，则的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共3小题，共45分，将解题过程及答案填写在答题卡上. 16. 已知函数，. （1）求的极大值点和极小值点； （2）若，使得成立，求实数的取值范围； （3）求证：时，. 17. 从甲、乙等6人中选4人参加米接力比赛. （1）甲跑第一棒的排法有多少种？ （2）甲、乙均参加，且不相邻上场的排法有多少种： （3）甲、乙两人均不跑中间两棒的排法有多少种？ 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $