22.2平行四边形的判定同步练习 2024-2025学年 冀教版数学八年级下册

22.2平行四边形的判定 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是（  ）      A．BC∥AD B．BC=AD C．AB=CD D．∠A+∠B=180° 2．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD∥BC，AB＝CD B．AO＝OC，BO＝OD C．AD＝CB，AB∥CD D．∠A＝∠B，∠C＝∠D 3．如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（   ） A．AB∥DC B．∠B＝∠D C．∠A＝∠C D．AB＝BC 4．▱ABCD中，E，F为对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BFDE一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．刘师傅要检验一个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检验的是(      ) A．AB∥CD，AB=CD B．AB∥CD，AD=BC C．AB=CD，AD = BC D．AB∥CD，AD∥BC 6．如图所示，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是(   ) A．S1=S2 B．S1>S2 C．S1<S2 D．不能确定 8．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的动点，过点D作交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（   ） A．一直不变 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 10．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（　　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 11．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组对角相等 C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 12．已知四边形ABCD中，对角线BD被AC平分，那么再加上下述中的条件（    ） 可以得到结论: “四边形ABCD是平行四边形”． A．AB=CD B．∠BAD=∠BCD C．∠ABC=∠ADC D．AC= BD 二、填空题 13．已知，添加一个条件 ，使得四边形为平行四边形． 14．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为 ． 15．四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，当CD= 时，四边形ABCD是平行四边形． 16．如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB=6，∠BAC=40°，则CD的长度为 ，∠ACD的度数为 °． 17．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点的平行四边形有 个．                                                                             三、解答题 18．如图，在⊿OAB中，∠OAB=90°.OA=AB=6.将⊿OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到⊿OA1B1 （1）线段A1B1的长是   ∠AOA1的度数是 （2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形 ; （3）求四边形OAA1B1的面积 . 19．已知：如图，在中，E，F分别是和上的点，且．求证：过的中点O． 20．如图，在平行四边形中，点A、C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 21．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF是等边三角形，求证：四边形ADEF是平行四边形.    22．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．    (1)将向右平移个单位长度后得到，请画出； (2)在平移的过程中，求扫过的面积． 23．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE，CF. （1）如图1，请你添加一个条件_____________，使得△BEH≌△CFH： （2）如图2，在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，并给出证明. 24．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC． (1)求证： ①△AOE≌△COF； ②四边形ABCD为平行四边形； (2)过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数． 《22.2平行四边形的判定》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A B D A A A C 题号 11 12 答案 C B 1．B 【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：根据平行四边形的判定， A、AB∥CD，BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形； C、AB∥CD，AB=CD，能判定四边形ABCD是平行四边形； D、AB∥CD，由∠A+∠B=180°，∴BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形； B、添加BC=AD，则不能判定是平行四边形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形． 2．B 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AO＝OC，BO＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选项B符合题意； C、由AD＝CB，AB∥CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的各种判定方法． 3．D 【分析】先根据AB＝CD，AD＝BC判断四边形是平行四边形；再根据平行四边形的性质找出正确的和不正确的结论作出选择即可. 【详解】∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∠B＝∠D，∠A＝∠C， AB＝BC不正确，因为平行四边形的临边不一定相等. 故选D. 【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质.熟知平行四边形的判定定理和性质定理，是正确解答此题的关键. 4．A 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【详解】解：如图，连接BD与AC相交于O， A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， 由BE=DF，无法判断OE=OF，故本选项符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， 即OE=OF， ∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴∠OBF=∠ODE， 在△BOF和△DOE中，， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴OE=OF， 又∵OB=OD， ∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，ADCB， ∴∠DAE=∠BCF， 在△ADE和△CBF中，， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， 即OE=OF， ∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明OE=OF是解题的关键． 5．B 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． B、由AB∥CD，AD=BC，无法判断四边形是平行四边形，四边形可能是等腰梯形． C、∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． D、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，属于中考常考题型． 6．D 【分析】本题考查平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证． 【详解】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定是平行四边形，故该选项不符合题意； 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是平行四边形，故该选项不符合题意； 、∵，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．可以判定是平行四边形，故该选项不符合题意； 、∵,∴，属于一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形，故该选项符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，相减即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB， ∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC， ∴四边形HBEM、GMFD都是平行四边形， 在△ABD和△CDB中 ∵， ∴△ABD≌△CDB（SSS）， 即△ABD和△CDB的面积相等； 同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等， 故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等． 8．A 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABD＝S△CBD． ∵BP是平行四边形BEPH的对角线， ∴S△BEP＝S△BHP， ∵PD是平行四边形GPFD的对角线， ∴S△GPD＝S△FPD． ∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S▱AEPG＝S▱HCFP， ∴S▱ABHG＝S▱BCFE， 同理S▱AEFD＝S▱HCDG． 即：S▱ABHG＝S▱BCFE，S▱AGPE＝S▱HCFP，S▱AEFD＝S▱HCDG． 故选A． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，可以把平行四边形的面积平分． 9．A 【分析】根据题意，易证，根据，可得四边形ABFD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】∵AC⊥BC，BF⊥BC， ∴， 又∵， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∴BF=AD，DF=DE+EF=AB， ∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长， ∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变． 故选∶A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形得判定和性质，熟练地掌握平行四边形得判定方法和性质是解题的关键．平行四边形对边平行且相等．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 10．C 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可构成①③； 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可构成②④； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可构成①②或③④， 一共有4种组合， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 11．C 【分析】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 一组对边平行，另一组对边相等，这个四边形有可能是等腰梯形可判定A；一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形可判定B；一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，是平行四边形，可判定C；一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形可判定D． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等，这个四边形有可能是等腰梯形．故此选项不符合题意； B、一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意； C、一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，是平行四边形，故此选项符合题意； D、一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 12．B 【分析】设BD与AC交于O点，已知条件为BO=DO，∠AOB=∠COD,结合选项条件应证出能判断平行四边形的条件，或举出反例证明不成立. 【详解】解：A、BO=DO，∠AOB=∠COD, AB=CD不能证出四边形ABCD是平行四边形, 反例如图， 故本选项错误； B、如图，在直线AC上任取一点C´,使OA=OC´, ∵BO=DO，∴四边形ABC´D是平行四边形， ∴AD∥BC´,AB∥C´D, ∴∠BC´A=∠C´AD, ∠AC´D=∠BAC´, ∴∠BC´A+∠AC´D=∠C´AD+∠BAC´, 即∠BC´D=∠BAD, ∵∠BAD=∠BCD ∴∠BC´D=∠BCD, ∴点C与点C´重合， ∴四边形ABCD是平行四边形. 故本选项正确； C、当BO=DO,∠ABC=∠ADC不能证出四边形ABCD是平行四边形, 反例如图， 故本选项错误； D、当BO=DO,AC=BD, 不能证出四边形ABCD是平行四边形, 反例如图， 故本选项错误. 故选：B. 【点睛】本题考查平行四边形的判定，根据已知条件证出判定平行四边形的条件及举出反例图形是解答此题的关键. 13．(答案不唯一) 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以加条件，即可得到四边形为平行四边形． 故答案为： 14．8 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 故答案为：． 15．4 【分析】直接利用平行四边形的判定方法得出AB＝CD时四边形ABCD是平行四边形． 【详解】解：当AB∥CD，且AB＝CD时，四边形ABCD是平行四边形， ∵AB∥CD，AB＝4， ∴当CD＝4时，四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键． 16． 6 40． 【分析】由两个三角形关于点O中心对称可得AD=BC，AB=CD，则可证明四边形ABCD为平行四边形. 【详解】解：由题意得AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=6，AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCA=40°. 故CD的长度为6，∠ACD的度数为40°． 【点睛】本题结合中心对称考查了平行四边形的判定及性质. 17．3 【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC是平行四边形；四边形EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形． 【详解】∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点， ∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB， ∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形． 故答案为3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容． 18．（1）6，90；（2）见解析；（3）36 【分析】（1）根据旋转的性质即可直接求解； （2）根据旋转的性质以及平行线的判定定理证明B1A1∥OA且A1B1=OA即可证明四边形OAA1B1是平行四边形； （3）利用平行四边形的面积公式求解． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知：A1B1=AB=6，∠AOA1=90°． 故答案是：6，90°； （2）∵A1B1=AB=6，OA1=OA=6，∠OA1B1=∠OAB=90°，∠AOA1=90°， ∴∠OA1B1=∠AOA1，A1B1=OA， ∴B1A1∥OA， ∴四边形OAA1B1是平行四边形； （3）S=OA•A1O=6×6=36． 即四边形OAA1B1的面积是36． 故答案为（1）6，90；（2）见解析；（3）36． 【点睛】本题考查旋转的性质以及平行四边形的判定和面积公式，证明B1A1∥OA是关键． 19．见解析 【分析】连接，利用两组对边分别平行可证明四边形是平行四边形，再证明与平行且相等，得到四边形是平行四边形，从而对角线互相平分． 【详解】如图，连接 四边形是平行四边， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 与互相平分， 是的中点， 过的中点． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 20．见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，连结，交于点O．证明，，从而可得结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：连结，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴． 即． ∴四边形是平行四边形． 21．见解析 【分析】根据等边三角形的性质推出∠BCE=∠FCA=60°，求出∠BCA=∠ECF，证△BCA≌△ECF，推出AD=EF=AB，同理得出FA=ED，即可得出结论． 【详解】证明：∵△BCE、△ABD、△ACF都是等边三角形， ∴AB=AD，AC=CF，BC=CE，∠BCE=∠ACF， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE， 即∠BCA=∠ECF， 在△BCA和△ECF中， ， ∴△BCA≌△ECF（SAS）， ∴AB=EF， ∵AB=AD， ∴AD=EF， 同理FA=ED， ∴四边形ADEF是平行四边形. 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 22．(1)作图见解析 (2)平方单位 【分析】本题考查平移作图，三角形的面积和平行四边形的面积， （1）分别将点、、向右平移个单位长度，得到点、、，然后顺次连接得到； （2）根据扫过的面积等于平行四边形的面积三角形的面积解答即可； 解题的关键是掌握平移的性质，平行四边形的判定与性质． 【详解】（1）解：如图所示：即为所作；    （2）连接、， ∵将向右平移个单位长度后得到，点、的对应点分别为点、， ∴，， ∴四边形是平行四边形， （平方单位）， ∴扫过的面积为平方单位．    23．（1）BE∥CF(2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH； （2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形． 【详解】解：（1）添加：BE∥CF， ∵BE//CF， ∴∠BEH=∠F， 又∵∠BHE=∠CHF，BH=CH， ∴△BEH≌△CFH（ASA）； （2）BH=EH时，四边形BFCE是矩形，证明如下： ∵△BEH≌△CFH， ∴BE=CF， ∵BE∥CF， ∴四边形BECF为平行四边形， ∵△BEH≌△CFH， ∴BH=CH，EH=FH， ∵BH=EH， ∴BH=CH=EH=FH， ∴BC=EF， ∴四边形BFCE是矩形. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大． 24．(1)①见解析；②见解析 (2)16° 【分析】（1）①由AD//BC，可得∠OAE＝∠OCF，然后根据ASA即可证明△AOE≌△COF；②同理可证△AOD≌△COB，由全等三角形的性质可得AD＝CB，又AD//BC，则可证四边形ABCD为平行四边形； （2）先根据平行线的性质可得∠EBD=∠DBF=32°，∠ABC＝180°−∠BAD=80°，由线段垂直平分线的性质得BE=DE，则∠EBD=∠EDB=32°，然后根据∠ABE＝∠ABC−∠EBD−∠DBF即可求得答案. 【详解】（1）证明：①∵AD//BC， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）； ②∵AD//BC， ∴∠OAD＝∠OCB， 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（ASA）， ∴AD＝CB， 又∵AD//BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）解：∵AD//BC，∠DBF=32° ∴∠EDB＝∠DBF=32°， 由（1）②得：四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD， 又∵EF⊥BD， ∴EF是BD的垂直平分线 ∴BE＝DE， ∴∠EBD＝∠EDB=32°， ∵AD//BC，∠BAD=100° ∴∠ABC＝180°−∠BAD=180°−100°=80°， ∴∠ABE＝∠ABC−∠EBD−∠DBF＝80°−32°−32°=16° 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$